Дискретизация спектров физически реализуемых сигналов

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СПЕКТРОВ ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМЫХ 

СИГНАЛОВ

Дегтярев А.Н.

Севастопольский Национальный технический университет,

99053, Севастополь, студгородок тел. (0692) 23-51-18, E-mail rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Аннотация – Наличие периодической составляющей в 

сигнале является условием, при котором возможна дискретизация его спектра. Дискретизация спектра рассматривается как разложение его в ряд по эквидистантным ортогональным с весом функциям. Эти функции имеют минимально-фазовые вещественные и мнимые части, модули 
спектров которых равны соответственно модулям преобразования Фурье  от вещественной и мнимой частей дискретизируемого спектра. Представлена процедура ортогонализации спектра сигнала.

I. Введение

Считают, что дискретизация спектра сигналов во 

многом аналогична дискретизации самих сигналов, 
для которых применима теорема В.А. Котельникова. 
Однако, такая дискретизация физически невозможна 
в силу теоремы Пэли-Винера, которая ограничивает 
крутизну спада частотной характеристики линейной 
инвариантной во времени системы. В работах [1] и 
[2] сформулирована и доказана теорема дискретизации сигналов в физически реализуемых системах. 
Однако в [1] и [2]  ничего не говорится о  дискретизации спектров сигналов. Для описания процедуры 
дискретизации спектров сигналов необходимо ответить на три вопроса. Каким должен быть сигнал, чтобы его спектр можно было дискретизировать? Какими должны быть базисные функции? Каким должен 
быть вес ортогональности базисных функций? 

II. Основная часть

Если сигнал 
)t(
f
имеет вид произведения пе
риодической 
)t(
q
и непериодической 
)t(
g
состав
ляющих, то его спектр имеет вид свертки:

,)
w
jn
jv
(
G
a

dw
)
w
n
w
(
a
)
jw
jv
(
G
)
jv
(
F

n

n

n

n

(1)

где  

n

n
)
w
n
w
(
a
- спектр 
)t(
q
, 
)
jv
(
G
- спектр 

)t(
g
. Тогда, F(jv) раскладывается в ряд по эквиди
стантным функциям 
)
w
jn
jv
(
G
, и наличие 
)t(
q
в 

сигнале является условием возможности дискретизации его спектра. Определим вес ортогональности 
функций 
)
w
jn
jv
(
G
. Из (1) следует, что вещест
венная 
)
jv
(
F
Re
и мнимая 
)
jv
(
F
Im
части 
)
jv
(
F

имеют вид:

n

n
n
)
jv
(
G
Re
a
)
jv
(
F
Re
,               (2)

n

n
n
)
jv
(
G
Im
a
)
jv
(
F
Im
,               (3)          

где 
)
jv
(
G
Re
n
и 
)
jv
(
G
Im
n
- вещественная и мни
мая части функции 
)
w
jn
jv
(
G
)
jv
(
G n
.

Условия ортогональности функций 
)
w
jn
jv
(
G

с вещественным весом 
)
v
(
h
с учетом (2) и (3):

.n
k
,0

,n
k
,1
dv
)
v
(
h
)}]
jv
(
G
Im{
j

)
jv
(
G
[Re{
)}]
jv
(
G
Im{
j
)}
jv
(
G
[Re{

n

n
k
k

Или:

.n
k
,0

,n
k
,1
dv
)
v
(
h
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Im
j

)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Im
j

)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Re

k
n

n
k

n
k
n
k

При использовании эквидистантного базиса мнимая 
составляющая левой части этого выражения всегда 
равно нулю. Тогда для определения веса ортогональности 
)
v
(
h
функций 
)
jv
(
Gn
имеем систему 

уравнений:

.k
n
,0

,k
n
,1
dv
)
v
(
h
]
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im

)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
[Re

n
k

n
k

(4)

Как и в [1], [2] будем искать вес, оптимальный по 
условию минимума его энергии:

min
dv
)
v
(
h 2
,                   (5)

и учитывать условия:

.k
n
,0

,k
n
,
dv
)
v
(
h
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im

,k
n
,0

,k
n
,
dv
)
v
(
h
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Re

2

n
k

1

k
n

(6)

Подставив (6) в (4), можно увидеть, что условия (6) 
являются также и условиями ортогональности функций 
)
jv
(
G n
, 
при 
этом 
1
2
1
. 
Поскольку 

)
jv
(
G
Re
n
и 
)
jv
(
G
Im
n
являются эквидистантны
ми функциями, то вес, минимизирующий функционал 
(5) при условиях (6),  является периодической функцией и можно записать:

.
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im

)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Re
)
v
(
h

0
n
k

n
k
n

0
n
k

n
k
n

(7)             

Подставим (7) в (6) и (5) и получим систему уравнений для определения 
n и 
n . В зависимости от  

величины чисел 
1 и 
2 , можно уменьшить или уве
личить влияние фазы базисных функций 
)
jv
(
Gn
на 

значение отсчетов спектра 
)
jv
(
F
.

Прямое преобразование Фурье 
)
...
(
x
от (2) и (3)                          

n

wx
jn

n
x
x
e
a
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
F
Re
,     (8)    

n

wx
jn

n
x
x
e
a
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
F
Im
,     (9)

Из (8) и (9) получаем

)
jv
(
G
Im

)
jv
(
F
Im

)
jv
(
G
Re

)
jv
(
F
Re
e
a

x

x

x

x

n

wx
jn

n
.  (10)

(8) и (9) можно переписать в виде

n

wx
jn

n

)
x
(
j

g

)
x
(
j

f
e
a
e)
x
(
r
e)
x
(
r

gr
fr
,         (11)

n

wx
jn

n

)
x
(
j

g

)
x
(
j

f
e
a
e)
x
(
i
e)
x
(
i

g
i
fi
,        (12)

где 
)
x
(
rf
, 
)
x
(
fr
, 
)
x
(
rg
,
)
x
(

gr
,
)
x
(
if
, 
)
x
(
fi
,
)
x
(
ig
и 

)
x
(

gi
- соответственно модули и фазы  функций 

)
jv
(
F
Re
x
, 
)
jv
(
G
Re
x
, 
)
jv
(
F
Im
x

)
jv
(
G
Im
x
. Из (10), (11), (12) следует, что  

)
x
(
j

g

gr
e)
x
(
r
и 

)
x
(
j

g

g
i
e)
x
(
i
являются спектрами, у ко
торых есть однозначная зависимость между мнимой 
и вещественной частями, то есть минимальнофазовыми спектрами.

III. Заключение

Процедура дискретизации спектра F(jv) сигнала 

заключается в следующем: 
- вычислить прямые преобразования Фурье 
)
...
(
x

от вещественной 
)
jv
(
F
Re
и мнимой  
)
jv
(
F
Im

частей спектра F(jv); 

- определить 
модули 
полученных 
функций 

)
jv
(
F
Re
и 
)
jv
(
F
Im
; 

- для полученных модулей сформировать мини
мально-фазовые 
функции 

)
x
(
j

g

gr
e)
x
(
r
и 

)
x
(
j

g

g
i
e)
x
(
i
, например, по методике [3]; 

- взять обратное преобразование Фурье от получен
ных минимально-фазовых функций и определить
вещественную 
)
jv
(
G
Re
и мнимую 
)
jv
(
G
Im

части спектра одного из эквидистантных сигналов; 

- определить вес ортогональности h(v) эквидистант
ных сигналов для разных значений параметра w ; 

- выбрать вес, соответствующий наибольшему зна
чению w .

IV. Список литературы

[1] Агаханянц Р.Е. Методы ортогонализации линейно неза
висимых функций / Р.Е. Агаханянц, А.Н. Дегтярев. –
Прикладные задачи математики и механики. Материалы 
XII научной конференции ученых Украины, России, Беларуси, 15-21 сентября, 2003 г. – г. Севастополь: Изд. 
СевНТУ, 2003 – с. 40-45. 

[2] Дегтярев А.Н. Ортогонализация функций, дискретиза
ция и восстановление сигналов в физически реализуемых системах / А.Н. Дегтярев, Р.Е. Агаханянц. – Зв’язок, 
№2(54), 2005 – с. 45-52.

[3] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реа
лизация. – М. Мир, 1982. – 592 с.

SAMPLING OF PHYSICALLY FEASIBLE 

SIGNAL SPECTRUM

A.N. Degtyarev, 

Sevastopol National technical university

Studgorodok, Sevastopol-99053, Ukraine                     

tel. (0692)23-50-18, 

E-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Abstract - Signal spectrum can be sampled only under the 

condition that the signal contains a periodic component. Spectrum sampling includes its expansion in series on equidistant 
orthogonal functions with some weight. These functions have 
minimum-phase real and imaginary parts having spectrum 
moduli equal to Fourier transformation moduli of real and 
imaginary parts of the spectrum being sampled, respectively. 
Signal spectrum orthogonalization procedure is given below.

I. Introduction

Sampling of signal spectrums is considered to be in many 

respects similar to the sampling of signals to which Kotelnikov 
theorem is applicable. However such sampling is physically 
impossible due to Pele-Winner theorem that limits down-slope 
of frequency characteristic with liniar invariant within system 
time. Proceedings [1] and [2] formulate and prove signal sampling theorem for physically feasible systems. However neither 
[1] nor [2] do not include any information on sampling of signal 
spectrums. It is necessary to answer to three questions in order 
to describe signal spectrum sampling procedure. What is that 
signal spectrum of which can be sampled? What are the basis 
functions? What should the basis function orthogonality weight 
be equal to?

II. Main part

If signal is represented by multiplication of periodical and 

non-periodic components, its spectrum has a form of convolution (1). Consequently, presence of a periodic component in the 
signal is required to allow sampling of its spectrum. Let’s determine orthogonality weight of the basis functions. It follows 
from (1) the real and imaginary parts of spectrum are as shown 
in (2), (3). When using equidistant basis and taking into account (2) and (3), orthogonality condition for basis functions is 
as shown in (4). We will try to find weigh meeting (5) while taking into account (6). Inserting (6) into (4) it becomes obvious 
that (6) are also orthogonality conditions for the basis functions. 
Since real and imaginary parts of the basis functions are equidistant functions, weight minimizing the functional (5) under 
conditions (6) is a periodical function that can be presented as 
(7). Let’s insert (7) into (6) and (5) to obtain set of equations for 
determining unknown coefficients. Depending on values of 
1

and 
2 , it is possible to increase or decrease influence of 

basis function phase on values of spectrum samples. Direct 
Fourier transforms from (2) and (3) are as shown in (8) and (9). 
(10) can be obtained from (8) and (9). (8) and (9) can rewritten 
into (11) and (12). It follows from (10), (11) and (12) that the 
basis signals have spectrums with unique relationship between 
real and imaginary parts, i.e. between minimum-phase spectrums.

III. Conclusion

Sampling procedure for F(jv) signal includes the following:

calculate direct Fourier transforms from real and imaginary 
parts of the spectrum; determine modules of the functions obtained; create minimum-phase functions for the modules determined, i.e. using procedure [3]; perform Fourier inversion to 
minimum-phase functions obtained and determine real and 
imaginary parts of spectrum of one of the equidistant signals; 
determine orthogonality weight of the equidistant signals for 
different values of 
w ; select the weight corresponding to the 

greatest w .