Математика в примерах и задачах. Ч. 2

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в  качестве учебного пособия
для  учащихся учреждений
образования, реализующих
образовательные программы 
среднего специального образования

Минск
«Вышэйшая  школа»
2014

Ìàòåìàòèêà

В двух частях

в примерах и задачах

Часть 2

Под общей редакцией Л.И. Майсени

УДК 51(075.32)
ББК 74.3я723
 
М34

А в т о р ы :  Л.И. Майсеня, М.А. Ка лугина, М.В. Ламчановская, 
И.Ю. Мацкевич, В.Э. Жавнерчик 

Р е ц е н з е н т ы : кафедра математических и естественнонаучных 
дисциплин УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (В.В. Тынкович); профессор кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, 
доктор физико-математических наук А.В. Метельский

Выпуск издания осуществлен по заказу Республиканского института 
профессионального образования и при финансовой поддержке Министерства 
образования Республики Беларусь

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства

ISBN 978-985-06-2500-7 (ч. 2) 
© Оформление. УП «Издательство
ISBN 978-985-06-2501-4 
“Вы шэйшая школа”», 2014

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Вторая часть учебного пособия «Математика в примерах и задачах» является логическим продолжением первой части.
В начале каждого параграфа книги дается необходимый теоретический материал, затем – решение нескольких задач и набор 
заданий трех уровней сложности. Предлагаемая структура учебного пособия делает возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении – каждый учащийся может решать задания доступного ему уровня сложности. Кроме того, 
учебное пособие может быть использовано в обучении на различных специальностях системы среднего специального образования с различными по содержанию (и сложности планируемого 
материала) учебными программами дисциплины «Математика». 
При этом представлен учебный материал для обучения математике как на основе общего базового образования, так и на основе 
общего среднего образования.
Характерной особенностью предлагаемого методического 
подхода является построение интегрированного курса из тем 
эле ментарной, высшей и дискретной математики. Поскольку на 
практике широко реализуется непрерывное образование в системе учреждений среднего специального и высшего образования, 
это способствует качественной реализации непрерывного продолжения обучения в университете.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам 
книги – коллективу кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Минского государственного высшего радиотехнического колледжа (особенно преподавателю высшей категории 
В.В. Тынкович) и профессору кафедры высшей математики № 1 
Белорусского национального технического университета доктору 
физико-математических наук А.В. Метельскому – за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания.
Авторы надеются, что предлагаемое издание будет содействовать активизации мыслительной деятельности учащихся и повышению эффективности учебного процесса при обучении математике.
Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220048, Минск.

Авторы

13. ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÅ ×ÈÑËÀ

13.1. Ìîäóëü è àðãóìåíò. 
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

Комплексное число z
a
bi
=
+
 в прямоугольной декартовой системе координат Оху 
изображается точкой М(a, b) (рис. 13.1).
Длина радиуса-вектора точки М называется модулем комплексного числа z и обозначается z  или r:

 
z
a
b
r
=
+
=
2
2
. 
(13.1)

Угол ϕ, образованный вектором ОМ с положительным направлением действительной оси Ох, называется аргументом числа z. Связь между аргументом ϕ комплексного числа и его действительной и мнимой частями выражается формулами:

 
tgϕ = b
a 
(13.2)

или

 

cos
,

sin
.

ϕ

ϕ

=
+

=
+

⎧

⎨
⎪⎪

⎩
⎪
⎪

a

a
b
b

a
b

2
2

2
2

 
(13.3)

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если 
ϕ – аргумент числа z, то ϕ
π
+2 n, n ∈Z, – также аргумент этого 
числа при любом целом n. Для однозначности определения аргумента его выбирают при условии ϕ
π
∈[ ,
)
0 2
 или ϕ
π π
∈ −
(
, ]. Такое 
значение аргумента называют главным и обозначают arg .z  Всюду 
далее будем рассматривать главное значение аргумента: ϕ = arg .z

На практике находить аргумент комплексного числа z имеет 
смысл согласно формуле (13.2) с учетом координатной четверти, 
в которой лежит это число (или с помощью формул (13.3)).
Запись комплексного числа в виде

 
z
r
i
=
+
(cos
sin )
ϕ
ϕ  
(13.4)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

M

a
O

b

ϕ

r

Рис. 13.1

Если z
r
i
1
1
1
1
=
+
(cos
sin
)
ϕ
ϕ  и z
r
i
2
2
2
2
=
+
(cos
sin
)
ϕ
ϕ  – комплексные числа, заданные в тригонометрической форме, то:

 
z
z
r r
i
1
2
1 2
1
2
1
2
⋅
=
+
+
+
(cos(
)
sin(
)),
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
(13.5)

 
z
z
r
r
i
z
1

2

1

2
1
2
1
2
2
0
=
−
+
−
≠
(cos(
)
sin(
)),
.
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
(13.6)

Для комплексного числа z
r
i
=
+
(cos
sin )
ϕ
ϕ  справедлива формула Муавра

 
z
r
n
i
n
n
n
=
+
(cos
sin
),
ϕ
ϕ
n ∈N. 
(13.7)

Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число:
1) z
i
= −5 ; 
2) z
i
=
−
4
4 3 ; 
3) z =
−
2
5.

Р е ш е н и е. 1. В данном случае  r =
+ −
=
0
5
5
2
(
)
.  Точка, изображающая данное число, лежит на отрицательной части оси 

Oy (рис. 13.2), поэтому ϕ
π
= −
⎛
⎝⎜
2  можно счи
тать также, что ϕ
π
=
⎞
⎠⎟
3
2
.

Записываем число в тригонометрической 
форме:

z
i
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
2
2
cos
sin
.
π
π

2. Находим модуль заданного числа по формуле (13.1):

r =
+
=
4
4 3
8
2
2
(–
)
.

Для нахождения аргумента ϕ используем формулу (13.2):

tg
.
ϕ = − 3

Учитываем то, что число z лежит в IV 
координатной четверти (рис. 13.3), по
этому ϕ
π
= − 3
или 
5
ϕ
π
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
. Тогда, соглас
но формуле (13.4), получаем:

–5 

0 ϕ 

Рис. 13.2

ϕ

z

4
0
x

y

r

4 3
−

Рис. 13.3

z
i
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
3
3
cos
sin
.
π
π

3. Находим модуль комплексного числа:

r =
−
+
=
−
=
−
(
)
.
2
5
0
2
5
5
2
2
2

Заданное число является отрицательным 
действительным числом (рис. 13.4), поэтому 
ϕ
π
= .

Запись заданного комплексного числа 
в тригонометрической форме имеет вид

z
i
=
−
+
(
)(cos
sin ).
5
2
π
π

Пример 2. Выполнить в тригонометрической форме указанное действие над числами z1, z2. Ответ записать в алгебраической 
форме:

1) z
z
1
2
⋅
, если z
i
1
16
3
3
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
sin
,
π
π
z
i
2
1
8
6
6
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
sin
;
π
π

2) z
z
1
2
⋅
, если z
i
1
2
2
=
−
, z
i
2
3 2
12
12
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
sin
;
5
5
π
π

3) z
z

1

2
, если z
i
1
6
6
=
−
cos
sin
,
7
7
π
π z
i
2
1
2
6
6
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
sin
.
5
5
π
π

Р е ш е н и е. 1. Используя формулу (13.5), находим:

z
z
i
i
1
2
16 1
8
3
6
3
6
2
2
⋅
=
⋅
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+
cos
sin
cos
si
π
π
π
π
π
n
.
π
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

Учитывая, что cos π
2
0
=  и sin
,
π
2
1
=  получаем: z
z
i
1
2
2
⋅
=
.

2. Сначала представим число z1 в тригонометрической форме. 

Находим: z1
2
2
2
2
2 2
=
+ −
=
(
)
. Поскольку число z1 лежит в IV 

координатной четверти и tg
,
ϕ = −1  то ϕ
π
= − 4 . Следовательно,

z
i
1
2 2
4
4
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
sin
.
π
π

ϕ

2      5
−
0

Рис. 13.4

Теперь воспользуемся формулой (13.5):

z
z
i
1
2
2 2 3 2
4
12
4
12
⋅
=
⋅
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
cos
sin
π
π
π
π
5
5

=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+
⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟ =
+
12
6
6
12
3
2
1
2
6 3
6
cos
sin
.
π
π
i
i
i

3. Число z1 не записано в тригонометрической форме. Запишем его в этой форме, используя четность функции косинус 
и нечетность функции синус. Получаем:

cos
sin
cos
sin
.
7
7
7
7
π
π
π
π
6
6
6
6
−
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
i
i

По формуле (13.6) находим:

z
z
i
1

2
1 1
2
6
6
6
6
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
:
cos
sin
7
5
7
5
π
π
π
π

=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
2
3
3
1
3
cos
sin
.
π
π
i
i

Пример 3. Вычислить z9, если z
i
= − −
1
3 . Найти Rez9 и Im
.
z9

Р е ш е н и е. Представим заданное число в тригонометрической форме. Для него r = 2, tgϕ =
3 и соответствующая точка ле
жит в III координатной четверти, т.е. ϕ
π
= 4
3 . Получаем:

z
i
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
3
cos
sin
.
4
4
π
π

По формуле (13.7) находим:

z
i
i
9
9
2
9
3
9
3
512
12
1
=
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+
cos
sin
(cos
sin
4
4
π
π
π
2π)=

=
+
=
512
0
0
512
(cos
sin )
.
i

Поскольку z
i
9
512
0
=
+
, то Re
,
z9
512
=
Im
.
z9
0
=

Пример 4. Изобразить на комплексной плоскости множество 
точек, для которых:

1) z + =
1
2; 
2) π
π
6
3
<
≤
arg
;
z
 
3) 

z

z

>

≤
≤

⎧
⎨⎪

⎩⎪

1

0
4

,

arg
.
π

Р е ш е н и е. 1. Пусть z
x
yi
=
+
, тогда

z
x
yi
x
yi
+ =
+
+ =
+
+
1
1
1
(
)
.

Найдем модуль полученного комплексного числа:

z
x
y
+ =
+
+
1
1 2
2
(
)
.

Заданное равенство приобретает вид

(
)
.
x
y
+
+
=
1
2
2
2

Возводим его в квадрат и приходим к уравнению окружности

(
)
,
x
y
+
+
=
1
2
2
2
2

радиус которой равен 2, а центр находится в точке C(
,
).
−1 0 

Таким образом, множество точек, 
которые соответствуют заданному равенству 
z + =
1
2, лежат на данной 
окружности (рис. 13.5).
2. Пусть arg
.
z = ϕ  Из условия имеем 

π
ϕ
π
6
3
<
≤
. Геометрически это неравен
ство задает на плоскости множество 
точек, лежащих внутри угла с вершиной в точке ( ,
),
0 0 
 стороны которого 
составляют с положительным направ
лением оси Ох углы π
6 и π
3 , а также 

множество точек, лежащих на луче 

ϕ
π
= 3 (рис. 13.6).

3. Заданная система равносильна 
следующей:

x
y
2
2
1

0
4

+
>

≤
≤

⎧
⎨⎪

⎩⎪

,

.
ϕ
π

Решением системы будет пересечение множества точек, лежащих вне окружности x
y
2
2
1
+
= ,   и множества точек, лежащих 

внутри угла величиной π
4 и на его сторонах (рис. 13.7).

1
x

y

0
–1

1

–3

C

Рис. 13.5

x

y

0
π
3

π
6

Рис. 13.6

Ç à ä à í è ÿ

I óðîâåíü

1.1. Покажите число на комплексной плоскости, представьте 
его в тригонометрической форме:
1) z
i
= − −
2
2 ; 
2) z
i
= −
8
8 3 ; 
3) z
i
=
−
(
) .
5
2

1.2. Покажите число на комплексной плоскости, представьте 
его в алгебраической форме, найдите Rez и Im :
z

1) z
i
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5 2
4
4
cos
sin
;
π
π
 

2) z
i
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
3
cos
sin
.
2
2
π
π

1.3. Возведите в указанную степень число z, ответ запишите 
в алгебраической форме:

1) z9, если z
i
=
+
cos
sin
;
π
π
18
18  

2) z8, если z
i
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
12
12
cos
sin
.
π
π

1.4. Заданы числа z
i
1
1
= − − , z
i
2
2
2
=
+
, z
i
3
1
3
= +
, вычис
лите 4 1
3

2

z
z
z
⋅
 в тригонометрической форме.

II óðîâåíü

2.1. Представьте комплексное число в тригонометрической 
форме:

x

y

0
1
–1

Рис. 13.7

1) z
i
i
=
+
+
2
1
3 ;  
2) z
i
= −
−
(
,
,
) .
0 5 3
0 5
2

2.2. Даны комплексные числа z
i
1
2
2 3
= − +
 и z
i
2
1
= − . Представив их в тригонометрической форме, вычислите:

1) 5 1
2
z
z
⋅
; 
2) − z
z

1
3

2
4 ; 
3) z2
20.

2.3. Возведите в степень, результат запишите в алгебраиче
ской форме, найдите Rez и Im z, если z
i
i
=
+
−

⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
1
3
1

36
.

III óðîâåíü

3.1. Выполните действия и представьте ответ в алгебраической форме:

1) z
i

i
=
−
+

+

⎛

⎝

⎜
⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟
⎟
2
12
12

12
12

cos
sin

cos
sin
;

5
5

13
13

π
π

π
π
 
2) z
i
i

i
i
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

−
−

4
4
4

3
1
2

sin
cos

(
)(
)
.

π
π

3.2. Пусть z
i
1
3
4
= +
, z
i
2
4
3
= − +
. Найдите действительные 

значения a и b, для которых z
z
az
bz
1

2
1
2
=
+
.

3.3. Изобразите множество точек комплексной плоскости, 
координаты х и у которых удовлетворяют условию

x
i
x
yi
y
y
y
i
2
2
2
2
1
4
1
2
1
+ −
+
=
− +
−
−
.

3.4. Найдите комплексное число z, удовлетворяющее уравнению

(
)(
)
(
)(
)
.
i
z
i
iz
i
i
−
+
+
−
−
= +
1
2
1
3
4
1
7

3.5. Определите, при каких действительных значениях х и 
у комплексные числа z
y
xi
1
2
5
9
4
10
=
−
−
 и z
y
i
2
2
11
8
20
=
+
 являются сопряженными.
3.6. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, 
для которых:

1) π
π
3
4
<
≤
arg
;
z
5
 
2) 1
1
2
≤
+ − ≤
z
i
;