Прикладная эконометрика, 2011, №2 (22)


            ш—ш Научно-практический журнал Прикладная Эконометрика







ISSN 1993-7601

№2(22)2011

Главныйредактор
Айвазян Сергей Артемьевич — д-р физ.-мат. наук, акад, (иностранный член) НАН Армении, Центральный экономико-математический институт РАН (ЦЭМИ РАН), Московская финансово-промышленная академия (МФПА), Высшая школа экономики (НИУ ВШЭ), Московская школа экономики МГУ.
Заместитель главногоредактора
Пересецкий Анатолий Абрамович — д-р экон. наук, НИУ ВШЭ, ЦЭМИ РАН, Российская экономическая школа (РЭШ).
Ответственный секретарь
Сластников А. Д. — канд. физ.-мат. наук, ЦЭМИ РАН.

Членыредколлегии
Бродский Б. Е. — д-р физ.-мат. наук, ЦЭМИ РАН, НИУ ВШЭ.
Денисова И. А. — Ph. D., Центр экономических и финансовых исследований и разработок (ЦЭФИР), ЦЭМИ РАН.
Елисеева И. И. — чл.-кор. РАН, д-р экон. наук, Социологический институт РАН, Санкт-Петербургский университет экономики и финансов.
Ершов Э. Б. — канд. экон. наук, НИУ ВШЭ.
Канторович Г. Г. — канд. физ.-мат. наук, НИУ ВШЭ.
Карлеваро Ф. (Швейцария), д-р наук, Женевский университет.
Макаров В. Л. — акад. РАН, д-р физ.-мат. наук, ЦЭМИ РАН, РЭШ.

Максимов А. Г. — канд. физ.-мат. наук, Нижегородский филиал НИУ ВШЭ.
Мхитарян В. С. — д-р экон. наук, НИУ ВШЭ.
Рубин Ю. Б. — д-р экон. наук, МФПА.
Рудзкис Р. (Литва), д-р наук, Институт математики и информатики Литвы, Каунасский университет.
Слуцкин Л. Н. — Ph. D., Институт экономики РАН.
Суслов В. И. — чл.-кор. РАН, д-р экон. наук, Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН.
Харин Ю. С. (Беларусь) — чл.-кор. НАН Беларуси, д-р физ.-мат. наук, Белорусский государственный университет, НИИ прикладных проблем математики и информатики БГУ

С 2006 года журнал «Прикладная эконометрика» включен в список периодических изданий ВАК, рекомендованных для публикации результатов диссертационных исследований.

---------\                                          ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№ 2 (22) 2011 I

БАНКИ
Г. И. Пеникас Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска.................3

ФОНДОВЫЙ РЫНОК
Е. М. Бронштейн, Е. И. Прокудина, А. С. Герасимова, К. Г. Дубинская
Оценка взаимосвязей временных рядов курсов акций с помощью копула-функций . . 22

ЗДРАВООХРАНЕНИЕ
Л. П. Бакуменко, П. А. Коротков
Статистический анализ влияния качества питьевой воды на здоровье населения региона....................................... 32

ВЫБОРОЧНЫЕ ОБСЛЕДОВАНИЯ НАСЕЛЕНИЯ
Е. В. Черепанов
Стохастические методы анализа данных выборочных маркетинговых и социальных обследований.................. 48

ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ
В. А. Балаш, О. С. Балаш, А. В. Харламов
Эконометрический анализ геокодированных данных о ценах на жилую недвижимость....................................... 62
В. И. Малюгин, М. Е. Васильков
Непараметрический анализ стохастических систем с нелинейной функциональной неоднородностью......................... 78
Б. А. Путко
Определение характера роста основной тенденции временного ряда при малом количестве наблюдений..................................... 93

КОНСУЛЬТАЦИИ
Д. Фантаццини
Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. I.................................. 98


Contents.............................................................135
Abstracts............................................................136
Нашиавторы...........................................................138
Условияпубликациистатьи..............................................139

Читайте в номере •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

I № 2 (22) 2011

Г. И. Пеникас


    Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска¹

      Статья посвящена сравнению эффективности применения моделей «копула» и традиционного метода наименьших квадратов в операциях хеджирования. В работе рассмотрены как параметрический, так и полупараметрический способы оценки копулы. Эффективность приложения моделей «копула» проявляется в том, что полученное на их основе хеджирующее соотношение приводит к более низкой волатильности стоимости захеджированного портфеля и одновременно к более высокой доходности на периоде ретроспективного прогноза. Данный результат удается получить в задачах прямого хеджирования, тогда как в задачах перекрестного — метод наименьших квадратов дает лучшиерезультаты.
      Ключевые слова: копула, хеджирование (прямое и перекрестное), хеджирующее соотношение.
      JEL classification: С58, D81, G10.



1. Введение

В связи с переходом российской банковской системы на ведение учета в соответствии с международными стандартами финансовой отчетности (МСФО) особую актуальность приобретают вопросы корректного проведения операций хеджирования для их последующего учета. Основными являются следующие три вида операций хеджирования²:
   • хеджирование справедливой стоимости актива;
   • хеджирование денежных потоков;
   •    хеджирование инвестиций в зарубежные дочерние компании (также называемое хеджированием капитала).


  ¹ Автор выражает искреннюю благодарность С. А. Айвазяну за научное руководство при подготовке данного исследования, а также признательность Д. Фантаццини и А. В. Кудрову за комментарии, высказанные при обсуждении первых результатов работы на IX Международной конференции «Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества» (Москва, 24-26 августа 2010 г.).

  ² См. п. 86 стандарта IAS 39. Согласно МСФО, существует отдельный порядок учета операций хеджирования (подробнее см. пп. 71-102, AG 94-132 в стандарте IAS 39). Одним из принципов подготовки отчетности является представление финансового результата в рамках однородного массива операций. Так, в части операций хеджирования не допускается отдельно показывать полученные доходы (расходы) по базовому активу и расходы (доходы), связанные с форвардным активом, если операция хеджирования признана эффективной. В рамках стандарта эффективным (см. п. AG105 там же) признается хеджирование, если изменение стоимости хеджирующего инструмента составило 80-125% изменения стоимости хеджируемого. Соответственно, часть изменения стоимости, признанная неэффективной, выносится отдельной строкой финансового результата.

• Банки

Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска

----------\                                              ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА № 2 (22) 2011 I

   Несмотря на разную природу этих операций, их объединяет необходимость выбора оптимального хеджирующего соотношения. Исторически подходы к его определению изменялись от самого простого, когда выбиралось соотношение «один-к-одному», до более сложных, учитывающих распределения доходностей активов. Наиболее распространенным из них является метод наименьших квадратов (МНК), подробно описанный ниже, но он имеет существенный недостаток. Этот метод предполагает наличие линейной зависимости между доходностями двух активов, что, как будет показано далее, не соответствует действительности. Поэтому возникает потребность поиска модели хеджирования, позволяющей учесть негауссовский характер двумерного совместного распределения доходностей активов.
   Для решения данной задачи могут быть использованы модели «копула», поскольку на основе теоремы Склара они позволяют разделить этапы моделирования частных распределений и формы их «связки» (самой копулы). Отдельные исследователи (см., например, (Hsu et al., 2007; Lai et al., 2009)) предлагают модель «копула-GARCH», позволяющую повысить эффективность операций хеджирования. В данной же работе модели «копула» будут использованы для восстановления многомерного совместного распределения доходностей в рамках решения задачи поиска оптимального хеджирующего соотношения. Целью работы является анализ эффективности применения моделей «копула» в операциях прямого и перекрестного хеджирования в терминах снижения волатильности и повышения доходности захеджированного портфеля (по сравнению с МНК, где взаимосвязь доходностей активов описывается линейной регрессионной зависимостью).


2. Обзор литературы

   Для введения в проблематику хеджирования целесообразно рассмотреть работы, авторы которых существенным образом продвинулись в данной области. Выделим шесть основных работ: (Cecchetti et al., 1988; Myers, Hanson, 1996; Mello, Parsons, 2000; Chang, Wong, 2003; Hsu et al., 2007; Lai et al., 2009). Первые три из них носят теоретический характер и фокусируют свое внимание на модификации хеджирующего соотношения с целью учета полезности хеджирующего агента, дисконтирования будущей стоимости хеджируемого актива и учета издержек ликвидности, а остальные три являются прикладными и связаны с применением опционов и моделей «копула» в операциях хеджирования. Переходя от одной работы к другой, подробнее рассмотрим, как исторически развивалось исследование вопросов хеджирования.
   Отталкиваясь от статьи (Cecchetti et al., 1988), введем базовые понятия теории хеджирования.
   Допустим, существует позиция CASH в активе, изменение стоимости которой мы хотим за-хеджировать. Такая позиция называется текущей, хеджируемой, а актив — базовым, хеджируемым . Доходность³ цены базового актива будем обозначать RCASH, а ее дисперсию — о ²СASH.
   Пусть существует другой актив, открытие встречной позиции FWD в котором позволяет захеджировать риск изменения стоимости базового актива. Такой актив называют хеджирующим инструментом. Поскольку, как правило, для цели хеджирования текущей позиции, когда на балансе учитывается реальный актив, выбирается сделка с датой исполнения в бу

  ³ Под доходностью понимается однодневный логарифмический прирост цены актива.

Банки •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№ №2(22) 2011

дущем (срочная сделка), которая отражается на внебалансовых счетах, то позицию в хеджирующем инструменте принято называть хеджирующей, срочной, форвардной. Причем в случаях, когда хеджирующим инструментом является контракт на базовый актив, такое хеджирование называется прямым; когда на другой актив — перекрестным. Цена хеджирующего актива подчинена закону распределения ее доходности RFWD с дисперсией °FWD..
   Определим захеджированный портфель Н как линейную комбинацию из двух активов: хеджируемого (CASH) и хеджирующего (FWD). Пусть коэффициент h (хеджирующее соотношение) определяет долю хеджирующего инструмента в портфеле H. Тогда его доходность RH будет определяться формулой

Г. И. Пеникас

RH RCASH hRFWD ,
а дисперсия °Н портфеля H примет значение

° Н = ° CASH ⁺ h ° FWD — ² h ° CASH, FWD ,


(1)


(2)

где: RH, °H — случайная величина (логарифмической) доходности захеджированного портфеля и ее дисперсия; RCASH, °CASH — случайная величина (логарифмической) доходности базового (текущего, хеджируемого) актива и ее дисперсия; RFWD, °2FWD — случайная величина (логарифмической) доходности форвардного (срочного, хеджирующего) актива и ее дисперсия; h — хеджирующее соотношение; °CASH FWD — ковариация случайных величин доходностей RCASH и RFWD.


   Само понятие «хеджирование» предполагает нивелирование риска изменения стоимости базового актива, т. е. минимизацию дисперсии доходности захеджированного портфеля H, или д°²Н/дh = 0. Тогда, если подставить данное условие в формулу (2), получается следующее оптимальное хеджирующее соотношение h * , которое также равно коэффициенту регрессии RFWD на Rcₐₛₕ , что более подробно описано в Приложении 2.


h * = ° CASH, FWD ° FWD


(3)

   В статье (Cecchetti et al., 1988) также вводится принцип оптимального хеджирования. Последний отличается от традиционной минимизации дисперсии базового актива (см. формулу (3)) тем, что, исходя из понятия функции полезности инвестора, предлагает выбирать такой хеджирующий коэффициент h(t), который максимизирует следующую функцию:
J J log 0 + Rcash (t) - h(t)Rfwd(t))f (Rcash , Rfwd )dRcASHdRFWD , (4)
             RFWD RCASH

где f (Rcₐₛₕ , RFWD) — плотность двумерного гауссовского распределения с ковариационной матрицей, определяемой ARCH-моделью; остальные обозначения аналогичны введенным ранее с учетом момента времени t.

   В работе (Myers, Hanson, 1996) модифицирован расчет оптимального хеджирующего соотношения путем корректировки традиционного подхода в двух аспектах. Во-первых,


• Банки

Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска

----------\                                              ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА № 2 (22) 2011 I

хеджирующее соотношение (3) домножается на дисконт-фактор, чтобы учесть будущую ожидаемую стоимость позиции (при динамическом подходе ежедневной корректировки срочной позиции). Во-вторых, учитывается коэффициент (лаговый полином) возвращения к среднему — фактически, коэффициент серийной автокорреляции доходности хеджируемой позиции. Его учет позволяет сделать вывод о том, что использование хеджирования целесообразно только в случае, когда инвестор не ожидает возвращения будущей цены к ее ожидаемому (среднему) уровню. Работа строится на основе модели срочного рынка с несмещенными ценами, т. е. в случае, когда цена срочного инструмента удовлетворяет условию мартингальности (Myers, Hanson, 1996, р. 15).
   В статье (Mello, Parsons, 2000) рассматривается стоимость хеджирования в привязке к стоимости фондирования и объемам доступной ликвидности. Авторы делают следующие выводы:
   а)   наличие значительной ликвидности стимулирует поддержание меньшего хеджирующего соотношения с целью максимизации доходности (в случае же ограниченной ликвидности приоритетом становится сохранение текущего размера хеджируемой позиции, поскольку в случае убытков организация будет не в состоянии их компенсировать из-за ограничений ликвидности);
   б)   хеджирование денежных потоков часто является неоптимальной стратегией в отличие от хеджирования справедливой стоимости, т. к. требует отвлечения существенных денежных потоков.
   В работе (Chang, Wong, 2003) рассматривается перекрестное хеджирование на валютном рынке ввиду отсутствия возможностей прямого хеджирования (например, для валютного треугольника стран Тайвань-Япония-США). Для исследования берутся данные о ежедневных котировках фьючерсов и опционов за период 1997-2001 гг. Авторы показывают, что по сравнению с применением только фьючерсов дополнение модели опционами повышает эффективность хеджирования в смысле минимизации дисперсии стоимости захеджирован-ного портфеля, которая определяется по формуле:

П = S,ₜS₂ₜXₜ + (F - S .) Hₜ +(P - max( S . - S ., 0)) Zₜ,      (5)
t  1,t 2,t t t 1,t t l            1, t — 1 1, l t

где Пₜ — стоимость захеджированного портфеля на момент t, выраженная в единицах третьей валюты; Xₜ — количество базового актива (число единиц национальной, хеджируемой, валюты) в момент t; S₁₁ — обменный курс иностранной валюты к третьей валюте в момент t; S₂ₜ — обменный курс национальной валюты к иностранной в момент t; Hₜ — количество проданных фьючерсов на валюту (купленных, если величина отрицательна) по цене фьючерсного контракта Fₜ в момент времени t; Zₜ — число проданных (купленных, если величина отрицательна) опционов на валюту с правом на продажу с ценой исполнения (страйком) S1₁—। и размером опционной премии Pₜ в момент времени t.

   В (Hsu et al., 2007) авторы исследуют повышение эффективности операций хеджирования за счет применения моделей «копула». В работе модели копула сравниваются с моделями DCC-, CCC-GARCH (модели условной гетероскедастичности с динамической и постоянной условной корреляцией соответственно). Частные распределения моделируются стандартным и нецентральным t-распределением. Оценка копул проводится параметрическим способом

        ⁶    ь

Банки •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

I № 2 (22) 2011

Inference For Margins (IFM), когда вначале оцениваются частные распределения, а затем — копула. В основе исследования лежат дневные данные биржевых индексов и фьючерсов на них за период 02.01.95-31.10.05. Авторы изучают применение копул к моделям прямого и перекрестного хеджирования. Так, если для анализа прямого хеджирования анализируются данные о динамике цен американского и английского биржевых индексов SP 500 и FTSE 100, то для перекрестного используются данные о ценах фондовой биржи Швейцарии MSCI и котировках швейцарского франка к доллару США. В итоге делается вывод, что копулы оказываются более эффективными при определении оптимального хеджирующего соотношения, причем гауссовская копула эффективна для операций прямого хеджирования, а копула Гумбеля — для перекрестного.
   В статье (Lai et al., 2009) также рассматриваются возможности применения копул к стратегиям хеджирования. Но, в отличие от (Hsu et al., 2007), моделирование частных распределений основано на моделях T-GARCH, позволяющих улавливать разное влияние на волатильность повышательных и понижательных движений исследуемой переменной. Основываясь на ежедневных данных о котировках пяти индексов стран Юго-Восточной Азии и фьючерсов на них за период с 01.01.98 по 10.06.05, авторы делают вывод о преимуществе использования копул в хеджировании, поскольку это позволяет повысить среднюю доходность инвестиционного портфеля и снизить его вариацию по сравнению с традиционными методами определения оптимального хеджирующего соотношения. Подобно (Hsu et al., 2007), в работе (Lai et al., 2009) отмечается, что особенно эффективной в части моделирования прямого хеджирования оказалась гауссовская копула и копула Стьюдента. Также указано, что использование копул целесообразно на высоковолатильных рынках (Корея, Тайвань), тогда как на стабильных (Япония, Сингапур) традиционные стратегии, основанные на методе наименьших квадратов, оказываются достаточными.



Г. И. Пеникас

3. Методология исследования


   Для цели проведения динамического хеджирования на каждый будущий момент времени t определяется хеджирующее соотношение на основе данных Qₜ_1, доступных до момента времени t _ 1 включительно. Данные Qₜ_1 включают совместное распределение случайных величин доходностей базового актива Rcₐₛₕ и срочного RFWD.
   Затем на момент времени t _ 1 извлекаются частные функции распределения случайных величин Rcₐₛₕ и RFWD и по ним оценивается копула. На основе полученной оценки параметра копулы проводится имитационное моделирование с 10000 генераций копулы. По сгенерированным данным копулы и функциям распределения восстанавливается совместное двумерное распределение. Оптимальное хеджирующее соотношение определяется коэффициентом h* (t), дающим минимальный убыток от портфеля с (купленной/проданной) позицией в базовом активе и встречной (проданной/купленной) — в хеджирующем активе, взятом в доле h* (t) при заданном уровне значимости, т. е.:


h* (t) = arg min { quantileₐ (Rcash (t) _ h(t)Rₐₐ (t)) } ,         (6)
h (t)

где quantileₐ (x) — квантиль уровня а распределения случайной величины x (%).

⁷


• Банки

Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска

----------\                                                ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№ 2 (22) 2011 I

   В рамках исследования будут рассмотрены 1% и 5%-ный уровни значимости.
   В момент времени t фиксируется доходность R*H (t) захеджированного портфеля, рассчитываемая по формуле:

                            RH (t) = RCash (t) - h * (t) RFwd (t),             (7)

где звездочка (*)у случайных величин доходностей обозначает их реализацию в момент t.

   Тогда сумма доходностей Rн захеджированного портфеля есть общий финансовый результат (далее PL — прибыль, если величина положительна, и убыток в противном случае) от захеджированного портфеля:

                                   R н =2 RH (t).                              (8)
t

   Хотя в (Kim et al., 2007) отмечается, что стоит отдавать предпочтение полупараметриче-ским методам оценки (когда берутся частные эмпирические функции распределения и по ним параметрически оценивается копула), чем полностью параметрическим в ситуациях, когда параметрически оцениваются частные распределения и копула, и нет априорной информации о виде частных распределений, в данной работе сравниваются оба метода. При параметрическом подходе оцениваются параметры распределения Стьюдента для частных распределений.
   В рамках исследования рассматриваются десять копул⁴ из основных семейств: эллипсообразные (гауссовская и Стьюдента с 5 и 10 степенями свободы), архимедовы (Клэйтона, Гумбеля, Франка), экстремальные (Коши, Галамбоса, Хайслера-Райса) и другие (Плаке). Наилучшей копулой для конкретной задачи хеджирования (прямого или перекрестного) признается та, которая дает наименьшее стандартное отклонение при проведении ретроспективного прогноза. При стандартном отклонении, меньшем, чем в случае применения МНК, наилучшей будет копула, приводящая к наибольшему финансовому результату. В таблице 1 приводятся аналитические формы записи, используемые в исследовании копул.

   Результат, полученный на основе копул, сопоставляется с расчетами в предположении многомерной нормальности. Причем используются два подхода. С одной стороны, анализируется результат при применении формулы (3), обозначаемый далее как МНК1. С другой стороны, следуя вышеописанному алгоритму параметрической оценки копулы, реализуется второй подход, когда генерируется гауссовская копула, а частные распределения оцениваются не в рамках распределения Стьюдента, а в рамках предположения о гауссовском распределении. Результат применения данного подхода далее обозначается как МНК2.
   В качестве критериев эффективности рассматриваются (на периоде ретроспективного прогноза):
   1)    минимизация волатильности в терминах стандартного отклонения случайной величины RH (t);
   2)   при выполнении первого критерия — максимизация суммарной доходности PL.


  ⁴ Подробнее о понятии копулы см. (Joe, 1997; Cherubini et al., 2004; Nelsen, 2006).

Банки •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№2(22) 2011



Таблица. 1. Основные функциональные формы двумерных моделей «копула»

Наименование копулы Формула двумерной копулы                   
                    С (u(I), и(2)); а --- параметр копулы;     
                   Эллипсообразные копулы                      
                    u7 7     1        ( 2аг1z2 - z1 z2 V .    
Гауссовская5        1 1  1      exPl ------1~-L 1 dzdz.,   (9)
                    -« 2л /1-a2 l 2(1-а2) ) 1 2               

Г. И. Пеникас

Стьюдента6 7 8 9 и Г u(f)     1         L Z2 + z22 - 2azz2)-¥    ,                    
                 J J I------eXpl1+       .     2x 1     dz1dz 2,                  (10)
                 -Л 2л V1-a2   l     v (1-a2)   |                                     
                 где v --- число степеней свободы копулы                              
                 Архимедовы копулы                                                    

Франка

--ln ’     (e-aи(1) -1)(e-aи(2) -1) ’ (11)
 a   [         (e-a-1) m-1      J         
Клэйтона                          [(и(1))-a + (и 2 ) -1J ' a                    (12)
Гумбеля        exp|-((-ln и (1))a + (-ln и (2))a)1/ a|                          (13)
                               Экстремальные копулы                                  
Галамбоса7     и(1)и(2)exp|[(-lnи(1)) a + (-lnи(2)) aJ Ua|                      (14)
               1 (1)( 1 a, lnи(1) )      (2)( 1 a, lnи(2) )l                        
Хаслера-Райса8 exp 1 - и(1) l --- + --- ln------ 1- и(2) l --- +---ln------- 11 (15)
               l la 2 lnи(2) I       la   2    lnи(1) II                            
                               Прочие копулы                                    
                                                      2                        
 1 + (a-1)( и(1) + и(2)) --^(1 + (a-1)( и(1) + и(2))) - 4 и(1) и (2)a(a-1) (16)
 2(a-1)                                                                        

   Альтернативными подходами к поиску оптимального хеджирующего соотношения являются модели коинтеграции (подробнее см. (Ghosh, 1993; Lien, 2004)), когда множитель, корректирующий краткосрочную динамику временных рядов в модели коррекции ошибок


  ⁵ (Cherubini et al., 2004, р. 63; Cech, 2006, р. 21).

  ⁶ Экстремальная копула Коши — это копула Стьюдента с одной степенью свободы.

  ⁷ (Ghoudietal.,1998,p.190).

  ⁸ (Bouyeetal.,2000,p.49).

  ⁹ В случае, когда параметр а равен единице, копула Плаке принимает форму независимой копулы (см. (Nelsen,

2006,р. 91)).

• Банки

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№2(22) 2011


(ЕСМ), соответствует искомому значению оптимального хеджирующего соотношения. Сравнение результатов применения моделей «копула» с коинтеграционными моделями не являлось предметом настоящего исследования.



4. Описание первичныхданных

  Для исследования использовались данные биржи «Российская Торговая Система» (РТС). В качестве базового актива были взяты обыкновенные акции компании ЛУКОЙЛ (LKOH). Для цели прямого хеджирования были отобраны фьючерсные¹⁰ контракты на обыкновенные акции ЛУКОЙЛ (LKOHF), для перекрестного — на акции компании Сургутнефтегаз (SNGSF), как компании с аналогичным профилем деятельности, что находит отражение в сонаправленном движении цен акций ЛУКОЙЛа и Сургутнефтегаза. В качестве периода исследования был выбран период с 28 апреля 2007 г. по 9 апреля 2010 г. (всего 693 наблюдения¹¹), поскольку в более ранний период активных торгов рассматриваемыми фьючерсными контрактами не наблюдалось. Динамика цен выбранных активов приводится на рис. 1.

Модели «копула» в задачах хеджирования ценового риска

LKOH ......... LKOHF    ------ SNGS --------- SNGSF

Рис. 1. Динамика цен выбранных активов (долл. за 1 акцию)

   Необходимо прокомментировать порядок построения временных рядов котировок срочных (фьючерсных) контрактов. Отдельный фьючерсный контракт имеет дату исполнения, после которой он официально не торгуется (это отличает его от акций, которые теорети

  ¹⁰ Источник: http://www.rts.ru/ru/forts/contractresults.html.

  ¹¹ В случае наличия пропущенных значений в котировках проводилась линейная интерполяция между двумя ближайшими доступными значениями.

_TgJ                                                                                     к
Банки •