Прикладная эконометрика, 2011, №1 (21)


 ш—ш Научно-практический журнал




                Прикладная




            Эконометрика








ISSN 1993-7601

№1(21)2011

Главныйредактор
Айвазян Сергей Артемьевич — д-р физ.-мат. наук, акад, (иностранный член) НАН Армении, Центральный экономико-математический институт РАН (ЦЭМИ РАН), Московская финансово-промышленная академия (МФПА), Высшая школа экономики (НИУ ВШЭ), Московская школа экономики МГУ.

Заместитель главногоредактора
Пересецкий Анатолий Абрамович — д-р экон. наук, НИУ ВШЭ, ЦЭМИ РАН, Российская экономическая школа (РЭШ).

Ответственный секретарь
Сластников А. Д. — канд. физ.-мат. наук, ЦЭМИ РАН.

Членыредколлегии
Бродский Б. Е. — д-р физ.-мат. наук, ЦЭМИ РАН, НИУ ВШЭ.
Денисова И. А. — Ph. D., Центр экономических и финансовых исследований и разработок (ЦЭФИР), ЦЭМИ РАН.
Елисеева И. И. — чл.-кор. РАН, д-р экон. наук, Социологический институт РАН, Санкт-Петербургский университет экономики и финансов.
Ершов Э. Б. — канд. экон. наук, НИУ ВШЭ.
Канторович Г. Г. — канд. физ.-мат. наук, НИУ ВШЭ.
Карлеваро Ф. (Швейцария), д-р наук, Женевский университет.
Макаров В. Л. — акад. РАН, д-р физ.-мат. наук, ЦЭМИ РАН, РЭШ.

Максимов А. Г. — канд. физ.-мат. наук, Нижегородский филиал НИУ ВШЭ.
Мхитарян В. С. — д-р экон. наук, НИУ ВШЭ.
Рубин Ю. Б. — д-р экон. наук, МФПА.
Рудзкис Р. (Литва), д-р наук, Институт математики и информатики Литвы, Каунасский университет.
Слуцкин Л. Н. — Ph. D., Институт экономики РАН.
Суслов В. И. — чл.-кор. РАН, д-р экон. наук, Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН.
Харин Ю. С. (Беларусь) — чл.-кор. НАН Беларуси, д-р физ.-мат. наук, Белорусский государственный университет, НИИ прикладных проблем математики и информатики БГУ

С 2006 года журнал «Прикладная эконометрика» включен в список периодических изданий ВАК, рекомендованных для публикации результатов диссертационных исследований.

---------\                                         ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№ 1 (21)2011 I

ФИНАНСОВЫЕ РЫНКИ
Г. М. Раимова
Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов . . . . 3

НАЛОГИ
А. Ю. Кнобель, С. Г. Синельников-Мурылёв, И. А. Соколов
Качество администрирования налога на добавленную стоимость встранахОЭСРиРоссии................................................ 16

МИГРАЦИЯ
Е. С. Вакуленко, Н. В. Мкртчян, К. К. Фурманов
Моделирование регистрируемых миграционных потоков междурегионамиРоссийскойФедерации.................................. 35

ОБРАЗОВАНИЕ
О. В. Польдин
Прогнозирование успеваемости в вузе по результатам ЕГЭ ............ 56
М. А. Исакин, Г. В. Теплых
Исследование качества высшего инженерного образования по данным анкетирования студентов с помощью метода нелинейных главных компонент (NLPCA)........................ 70

ЭКОНОМИКА ТУРИЗМА
М. А. Беднова, Т. А. Ратникова Эконометрический анализ спроса на въездной туризм в России......... 97

ОБЩЕСТВО
О. А. Демидова
Моделирование доверия населения к основным социальным иполитическиминститутам: сравнительныйэконометрическийанализ.......114

НАУЧНАЯ ЖИЗНЬ
Е. С. Вакуленко, Е. Ю. Назруллаева Конференция Евразийского сообщества бизнеса и экономики (EBES).....133


Contents...........................................................138
Abstracts..........................................................139
Нашиавторы.........................................................141
Условияпубликациистатьи............................................142

    _?_2


Читайте в номере •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

I № 1 (21)2011

Г. М. Раимова


        Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов

      Статья посвящена различным способам понижения дисперсии оценки стоимости погодного опциона на примере модели на основе среднесуточной температуры.
      Ключевые слова: погодные опционы, стохастическая модель, оценивание стоимости опционов, метод Монте-Карло, статистическое моделирование, уменьшение дисперсии.



1. Введение

Цены на традиционные базовые активы формируются под воздействием экономических, политических и локальных факторов, в большинстве случаев отражая потребности, ожидания и мнения людей. Однако есть еще один, неподвластный человеческому влиянию, важный фактор — погодные условия. По оценкам специалистов, погода, прямо или косвенно, воздействует на 70% всего мирового бизнеса. Именно стремление человека уменьшить зависимость финансовой сферы от стихии привело к возникновению и развитию погодных финансовых инструментов (см., например, (Бейден, Смирнова, 2006; Михайлова, 2003)), которые естественно называть контрактами на характер изменения погоды или просто погодными контрактами.
   Разница между погодными контрактами и страхованием состоит в том, что второе предлагает защиту от редких событий, имеющих большой отрицательный эффект, а первые позволяют хеджировать от непрерывных (и потенциально небольших) изменений риск-фак-торов.
   Изменения погоды влияют на цену некоторых активов не напрямую, а через спрос на этот товар. Сильнее всего этому эффекту подвержен энергетический сектор. Люди начинают обогревать свои дома потому, что становится холодно, а не потому, что электричество дешевое. Это подтверждают и статистические исследования: корреляция между температурой и ценой на товар не очень значительна, но если сопоставить объем продаж (спрос на товар) с температурой, то корреляция становится чувствительной. Погодные контракты чаще являются инструментом для хеджирования рисков объемов, чем ценовых рисков.
   Целью настоящей работы является применение различных методов понижения дисперсии оценки стоимости погодного опциона и сравнительный анализ экспериментальных результатов. Работа построена следующим образом.
   Во втором разделе приведен краткий анализ производных ценных бумаг на погоду, основная терминология, а также особенности и принципы ценообразования погодных фьючерсов и опционов. В третьем разделе дан краткий обзор существующих методов моделирования изменения температуры и определены этапы построения оценки стоимости погодного опциона. В четвертом разделе приводится базовая модель расчета стоимости погодного опциона, исследованная в статье (Alaton et al., 2002). В данной статье рассматривался подход


³

• Финансовые рынки

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№ 1 (21)2011 I

к ценообразованию на основе модели «возвращения к среднему», который адаптирован к процессу ценообразования на погодные финансовые инструменты. В пятом разделе для базовой модели приводятся основанные на методе Монте-Карло формулы для моделирования траектории процесса изменения среднесуточной температуры и строится соответствующая оценка стоимости погодного контракта. В шестом разделе рассматриваются различные способы понижения дисперсии оценки, такие как: метод выделения главной части, метод симметричных выборок и метод квазислучайных последовательностей.
   В седьмом разделе обсуждаются особенности погодного опциона на зимний месяц. Так как в базовой модели рассматриваются изменения температуры в столице Швеции, учитывая климатические особенности Стокгольма в зимние месяцы, формулы для расчета можно упростить и получить приближенную формулу для стоимости опциона. Далее значения, полученные по упрощенным формулам, используются для проведения сравнительного анализа результатов вычислительного эксперимента. В восьмом разделе приведены результаты вычислительного эксперимента. Рассмотрены оценки стоимости опционов, полученные классическим методом Монте-Карло, оценки с использованием методов понижения дисперсии, и значения стоимости погодных опционов, полученные по приближенной формуле. В последнем разделе сделаны выводы по полученным численным результатам.



2. Основные погодные финансовые инструменты


Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов

   К настоящему моменту стандартизированы несколько индексов, учитывающих те или иные погодные факторы. Это стандартные температурные «индекс обогрева» HDD (Heating Degree Days) и «индекс охлаждения» CDD (Cooling Degree Days). Реже используются индексы на другие погодные факторы: количество осадков (rainfall, precipitation), уровень осадков и толщина снежного покрова (snowfall, snow depth), относительная влажность (relative humidity), скорость ветра и уровень охлаждения ветром (wind speed, wind chill).
   По аналогии с другими финансовыми инструментами, погодные финансовые контракты могут быть оформлены как опционы или фьючерсы: опционы страхуют от роста или падения температуры (или другого фактора), фьючерсы фиксируют прибыли и расходы сторон. На биржах торгуются погодные фьючерсы и опционы call и put. Далее напомним основные понятия, относящиеся к температурным погодным инструментам.
   Температура в k-ый день Тк определяется как среднее арифметическое между минимальной и максимальной температурой, зарегистрированной на метеостанции в данный день:

Т. =(Tₖmax + Tₖmⁿ ) /2 . k k k      k /


   Индексы HDD и CDD рассчитываются в предположении, что температура 65° по Фаренгейту (18° по Цельсию) является границей между необходимостью обогрева или охлаждения. Потребность в энергии на эти цели приблизительно пропорциональна отклонению температуры от 65°F.
   Индексы HDD и CDD в k-ый день определяются по разнице между зафиксированной температурой и 65°F. Если она положительна (отрицательна), то индекс CDD (HDD) в рассматриваемый день приравнивается к этой разнице (абсолютной величине разности), в противном случае он равен нулю:

   *                                                        л
Финансовые рынки •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА                                               /

I № 1 (21)2011

CDDₖ = max (Tₖ - 65,о), HDDₖ = max (65 - Tₖ, 0) .           (1)

   Индексы HDD и CDD за n дней (за период) определяются как сумма каждодневных величин:
n              n
Cₙ = 2 CDDk, Hₙ = 2 HDDk .                           (2)
k =1           k=1
   Если температура измеряется в градусах Цельсия, то в качестве границы обычно принимается 18°С.
   Указанные индексы являются основой для инструментов управления погодными рисками. Цены фьючерсного контракта, а также исполнения опциона выражаются в терминах индекса HDD или CDD за указанный период. Для установления расчетной цены по производному погодному инструменту (т. е. фактического значения индекса по истечении срока действия контракта) берутся официальные данные оговоренной в контракте метеорологической станции.
   Выплата по фьючерсному контракту определяется, исходя из разницы между ценой, по которой контракт был заключен, и расчетной ценой, которая становится известной по истечении срока действия контракта. Эта разница умножается на оговоренную в контракте фиксированную ставку пересчета (т. е. стоимостную оценку единицы индекса). Таким образом, номинальная стоимость фьючерсного контракта равна его текущей цене, выраженной в единицах индекса HDD или CDD, умноженной на стоимостную оценку единицы индекса.
   При заключении опционных контрактов оговариваются страйковая цена K и ставка пересчета р . Например, по опциону call на индекс HDD выплата % в день tₙ, следующий за днем исполнения, будет равна:
/ = {p-max ⁽Hₙ ⁻ K, о⁾}.                         ⁽3⁾
   Иногда оговаривается и ограничение на максимальную выплату MB . В этом случае выплата по опциону call на индекс HDD рассчитывается по формуле:

% = min {p-max (Hₙ - K, 0), MB}.

   Стоимость же опциона будет равна ожидаемой величине выплаты, дисконтированной к дате расчета по банковской процентной ставке r. Основная математическая задача, возникающая при использовании погодных контрактов, состоит в оценивании справедливой стоимости опциона.



Г. М. Раимова

3. Ценообразование на основе моделирования погоды


   Для прогнозирования изменения температуры обычно применяются эконометрические модели GARCH, ARFIMA, FBM, ARFIMA-FIGARCH, Bootstrap. Перечисленные модели позволяют отказаться от предположений о независимости волатильности от своих предыдущих значений и учесть их корреляционную зависимость. Существенной характеристикой, например, GARCH моделей является их свойство реагирования на любые наблюдае

⁵

• Финансовые рынки

----------\                                              ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА № 1 (21)2011 I

мые изменения соответствующего временного ряда и быстрое восстановление после сильных колебаний.
   Среди факторов, влияющих на установление цены контракта на погоду, можно выделить прогнозируемый тренд изменений погоды на основе исторических данных о погоде с учетом сезонных колебаний. Кроме того, поскольку рынок погодных инструментов является производным рынком, он испытывает влияние со стороны других рынков. Действующие подходы (методы) ценообразования используют исторические погодные данные, на основе которых делается оценка вероятностей будущих прогнозных значений температуры. Общее описание метода, основанного на математическом моделировании погоды, выглядит так:
  •  сбор исторических данных о погоде;
  •  создание статистической модели погоды;
  •  моделирование возможных сценариев погоды в будущем (метод Монте-Карло);
  •  определение величины выплаты по опциону для каждого сценария;
  •  усреднение этих величин;
  •  дисконтирование к дате расчета.



Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов

4.  Модель «возвращения к среднему» (mean reversing)

   Существуют разные подходы к ценообразованию на основе моделирования погоды, в частности, модель «возвращения к среднему», используемая для оценки стоимости опционов на ценные бумаги на основе процентных ставок, может быть применена к процессу ценообразования на погодные финансовые инструменты, поскольку для температурных рядов не характерны резкие скачки значений (VanderMarck, 2000). В отличие от модели с процентными ставками, параметры задачи ценообразования погодных финансовых инструментов определяются не по данным о соответствующих ликвидных инструментах (в связи с их отсутствием), а по историческим сведениям о погоде.
   Далее изложим подход, который применяется в (Alaton et al., 2002) для построения стохастического процесса, описывающего изменение температуры. В этой статье рассматривались данные, соответствующие реальным изменениям температуры в столице Швеции.
   Пусть Tₜ означает среднесуточную температуру, а t — время, измеряемое в днях (t = 1,2,...,365). Хотя температура является непрерывной функцией от времени, при решении прикладных задач допускается подобная дискретизация. В качестве детерминированной модели, описывающей среднюю климатическую температуру Tₜm, используется модель, учитывающая общую тенденцию (линейный тренд) и сезонную характеристику:


Tₜm = A + Bt + C sin (wt + <p) .


(4)

   Параметры модели A, B, C, w , <p оцениваются на основе многолетних статистических наблюдений.
   Пусть T = x. Стохастическая модель, описывающая изменение среднесуточной температуры, имеет следующий вид:

dTₜ =

dTm z _ ч .
*! -t- + a (Tₜm - Tₜ В dt + <r fd^ dt v t          t'      t t


t > t о .

,

(5)

L

Финансовые рынки •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№1(21)2011


   Здесь Wₜ — стандартный винеровский процесс; оₜ — детерминированная ступенчатая функция, характеризующая квадратическую вариацию среднесуточной температуры ( оₜ принимает постоянные значения в течение календарных месяцев). Температура не может увеличиваться (или уменьшаться) в течение длительного периода времени. Следовательно, стохастический процесс, описывающий изменение температуры, должен обладать так называемым свойством «возвращения к среднему»: температура имеет тенденцию возвращаться к определенному среднему климатическому уровню Tm. Данное свойство определяется детерминистским компонентом уравнения, величина которого зависит от расстояния между текущей температурой и среднеклиматическим уровнем. Параметр а характеризует скорость возвращения к среднему. Решение стохастического уравнения (5) имеет вид:


e - a ⁽t - s⁾

Г. M. Раимова

+ Tm + fe ⁻ а ⁽t⁻т⁾от dW:. to

   На основании 40-летних статистических наблюдений температуры в Стокгольме были оценены параметры предложенной модели и получены следующие результаты. Детерминированная модель среднесуточной температуры:


Tm = 5.97 + 6.57 • 10⁻⁵1 + 10.4 sin I — t - 2.01
t                             1365

(6)

и оценки параметров:


a = 0-237, оянв = 3.41, офее = 2.97, омарт = 2.29, оапр = 1.98, омай = 2.00, оиюнь = 1.96, оиюль = 1.69, оавг = 1.60, осен = 1.85, оₒₜₐₙ = 2.38, оноя₆ = 2.62, одек = 3.30. (7)


   Для так называемых безарбитражных рынков проблема их «полноты» допускает вполне исчерпывающее решение в терминах единственности мартингальных мер (Ширяев, 1998). Рынок для погодных контрактов — типичный пример неполного рынка. Сложность ценообразования погодных контрактов заключается в том, что торговля самим базовым активом просто невозможна. Кроме того, рынок погодных инструментов является производным, и он испытывает влияние со стороны других рынков. Для решения проблемы «полноты» рынка в модель, рассматриваемую в (Alaton et al., 2002), вводится дополнительный параметр Л :

' dTm
—— + а

dTₜ =

dt

(Tm - T^-Хо ₜ [ dt + о ₜdVₜ.

(8)

   Параметр Л называется рыночной ценой риска. Здесь (Vₜ, t > 0) — Q-винеровский процесс, Q — мартингальная мера, характеризуемая рыночной ценой риска Л . Пусть Fₜ — о-алгебра, описывающая предысторию процесса, определяемого уравнением (8), до момента t включительно (события из Fₜ интерпретируются как «информация», доступная наблюдению до момента t включительно). Тогда на момент времени t стоимости опционов call иput на индекс HDD будут равны соответственно (tₙ — последний день контракта)

c(t) = e⁻r⁽n-⁻t'Eq [max {Hₙ - K, 0}| Fₜ ] и p(t) = e⁻r⁽n-⁻t>EQ [max {K - Hₙ, 0}| Fₜ ],

• Финансовые рынки

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№1(21)2011

где для подсчета Hₙ по формулам (1) и (2) в качестве Tₖ берутся значения, полученные из решения уравнения (8). Здесь и далее для простоты считаем, что ставка пересчета р = 1.

5. Моделирование возможных сценариев погоды по методу Монте-Карло

   В численных приложениях финансовой математики, в частности, при вычислении стоимости опционов, метод Монте-Карло является одним из основных (Boyle et al., 1997; Glasser-man, 2003; Niederreiter, 1992; Richard et al., 2004). Моделирование температуры методом Монте-Карло основано на дискретизации уравнения (8):

Tj = T - T" + aT— +(1 - a) Tj ч - Аа} + а} с} ч,

(9)

где |сJ} — последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Далее в расчетах для моделирования стандартного нормального распределения используется следующий способ (Ермаков, Михайлов, 1982). Пусть а1, а₂ — две независимые реализации случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0; 1). Тогда две независимые реализации стандартно нормально распределенной случайной величины можно представить в следующем виде:

Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов

^1 = —-2 In а1 sin (2ла2), |₂ = —-2 ln а1 cos (2ла₂).

(10)

   По формуле (9) моделируются N независимых траекторий возможных сценариев изменения температуры. На рисунке 1 приведены графики среднесуточной температуры, определенной по формуле (6), и одной траектории возможной среднесуточной температуры, смоделированной по формуле (9).

30 -|

0         50       100        150       200       250       300       350       400

время (в днях)

среднесуточная температура ----- моделируемая траектория

Рис. 1. Графики среднесуточной температуры

LJ

Финансовые рынки •

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№1(21)2011


   Далее определяются величины выплат по опциону для каждого сценария. Например, выплата по опциону call на индекс HDD определяется как
п
Z=max {Hₙ - K, 0}, где Hₙ = J max {18-T\, 0} .               (11)
i=1
   Выплаты усредняются и дисконтируются к дате расчета:


Г. М. Раимова

е-г⁽tn ⁻¹⁾ Л c⁽ t⁾=Л S* i.
i=1


(12)

   Естественно, что С(t) является несмещенной оценкой для стоимости рассматриваемого опциона.



6. Способы понижения дисперсии оценки

   Уменьшение дисперсии оценок, полученных по методу Монте-Карло, является важной задачей, т. к. это позволяет повысить эффективность вычислений. Общая теория снижения дисперсии в методе Монте-Карло приведена в монографии (Ермаков, Михайлов, 1982). В работах (Acworth et al., 1997; Boyle et al., 1997; Joy et al., 1996) различные методы понижения дисперсии использованы при оценивании стоимости производных ценных бумаг. В данном разделе предпринята попытка применения подобных методов к погодным производным инструментам. Далее рассмотрим некоторые возможные способы уменьшения дисперсии.


6.1. Метод выделения главной части (control variates)


   С учетом формул (8) и (9) можно взять в качестве базовой величины стоимость опциона, определенную по средней температуре Tm . Выделим главную часть на основании средней температуры по региону T™. Ежедневную среднесуточную температуру представим как сумму Tₜ = Tᵢm + Дtᵢ. Значение Hₙ, вычисленное на основании средней температуры T™, обозначим через И" = j? max { 18- Tm, 0}, а выплату по опциону как /m =max { Hm - K, 0}. По-i=1
скольку имеет место равенство


nn              n
Hₙ =Smax {18 - Tₜ, 0} = ^max {18-T , 0} + ДИп = H +ДЯп, Д^ =^Д,, i=1   i=1        i=1

         -Д t,,       если 18 > Tm и  Д tt <18 - Tm
где Д, = -(18 - Tm ), если 18 > Tm и Д t , >18    m
   i                          > Ti              - T
         0,           если 18 < Tm и Д t , >18    m
                              i                 - T
                                 m                m
         18-T,        если 18 - T  и Д t t <18  - T

то далее достаточно исследовать величину ДЯп.


⁹

• Финансовые рынки

№1(21)2011^1

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

   Выплату по опциону можно представить в виде суммы выплат по средней температуре и А% : % = %m + А% =max { H^ - K, 0} + А/ , где

       \и ,               если Hm > K; 
А% = - 0,                 если Hm < K и
       . Hm + АЯ - --- K, если Hm < K и

Hm + AHₙ < K ■ Hm +AHₙ > K.

   Далее А/ оценивается по методу Монте-Карло. При этом заметим, что, в отличие от оценки (12), методом Монте-Карло оцениваются приращения А%, которые имеют малые (относительно %) значения. Стоимость опциона будет равна усредненному значению выплат, дисконтированному к моменту оценивания. Поэтому можно ожидать снижения дисперсии оценки.


6.2. Метод симметричных выборок (antithetic variates)


Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов

   Метод симметричных выборок является одним из самых простых и наиболее популярных методов понижения дисперсии. Идея метода основана на следующем очевидном факте: если случайная величина е имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина —е также будет стандартно нормальна. Пусть выплата % по опциону call на индекс HDD определяется по формуле (11), а среднесуточная температура моделируется по формуле (9). В выражении (9) заменим еj на —еj и получим новую траекторию, выплаты по которой обозначим через %. Величины %, % имеют одинаковое распределение и являются несмещенными оценками выплаты по опциону. Данный метод позволяет без дополнительных вычислительных затрат удвоить объем моделируемых данных, поэтому при его применении можно ожидать снижения дисперсии за счет увеличения количества усредняемых величин. В качестве несмещенной оценки стоимости опциона возьмем усредненное значение, т. е. среднее арифметическое значений выплат % и %, дисконтированное к моменту оценива

ния. В этом случае формула (12) имеет вид С(t) =


e~r⁽tⁿ — *} у %. + %.
N у 2

. При помощи неслож
ных рассуждений можно убедиться, что имеет место неравенство:






(7. + % \     / \
—'—^—-1 < Var (%i) .

6.3. Квазиспучайные последовательности

   Техника использования в методах Монте-Карло детерминированных последовательностей вместо случайных приводит к квази Монте-Карло методам. Эти детерминированные последовательности (квазислучайные последовательности) более равномерно рассеяны в рассматриваемых областях, чем случайные последовательности. Использование таких последовательностей позволяет улучшить скорость сходимости оценок. Количественной мерой качества квазислучайных последовательностей служит так называемое отклонение (dis

  ¹⁰

Финансовые рынки •