Прикладная эконометрика, 2009, №4 (16)


ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

^4       №4(16) 2009

БАНКИ
Б. Е. Бродский, Г. И. Пеникас, И. А. Сафарян Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул ...........................3
Г. М. Гамбаров, Е. Л. Румянцев Развитие методов статистического анализа ликвидности банковского сектора .16

МАКРОЭКОНОМИКА
И. Л. Кирилюк, С. Ю. Малков, А. С. Малков
Особенности долгосрочной экономической динамики мировой системы: анализ статистических данных..............................................34

МИКРОЭКОНОМИКА
С. А. Айвазян, М. Ю. Афанасьев, А. М. Афанасьев
Оценка экономической эффективности мероприятий банка по рекламированию кредитных продуктов ....................................46

РЕГИОНЫ
И. А. Герасимова
Источники доходов как фактор межрегиональной социально-экономической дифференциации населения России (1995-2007 гг.) ..........................60

ОБЩЕСТВО
М. Л. Лифшиц
Анализ факторов миграционного прироста населения в России как основание для оптимальной иммиграционной политики ....................85

ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ
А. Е. Варшавский
Проблемные инновации в обработке данных без полноценной информации об объекте исследования и ограничений на область применения .............116


CONTENTS ................................................................134
ABSTRACTS ...............................................................135
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА ..........................................................136
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ .....................................................137
СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА ЗА 2009 г.............................................138
.        1

ф Читайте в номере

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


        №4(16)2009


   В 2006 году журнал «Прикладная эконометрика» включен в список периодических изданий ВАК, рекомендованных для публикации результатов диссертационных исследований.



        Главный редактор

Айвазян Сергей Артемьевич — д-р физ.-мат. наук, профессор, заслуженный деятель науки России, академик (иностранный член) Национальной академии наук Республики Армения, заместитель директора Центрального экономико-математического института РАН (ЦЭМИ РАН), заведующий кафедрой эконометрики Московской финансово-промышленной академии (МФПА).

        Заместитель главного редактора

Слуцкин Лев Наумович — Ph. D. по математике, ведущий научный сотрудник Института экономики РАН (ИЭ РАН).

        Ответственный секретарь

Славова Виктория Валерьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент МГУ.

        Члены редколлегии

Бродский Б. Е. — д-р физ.-мат. наук, заведующий Ситуационным центром ЦЗМИ РАН, профессор ГУ ВШЭ.
Денисова И. А. — Ph. D. по экономике, ведущий экономист Центра экономических и финансовых исследований и разработок (ЦЭФИР), научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Елисеева И. И. — чл.-корр. РАН, директор Социологического института РАН, заведующий кафедрой статистики и эконометрики Санкт-Петербургского университета экономики и финансов.
Ершов Э. Б. — канд. экон. наук, ординарный профессор ГУ ВШЭ.
Иванова C. C. — канд. экон. наук, главный специалиступравления исследований и бизнес-аналитики банка «Русский Стандарт».
Канторович Г. Г. — проректор ГУ ВШЭ, профессор, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики ГУ ВШЭ.
Карлеваро Фабрицио (Швейцария)—доктор наук, ординарный профессор кафедры эконометрики Женевскогоуниверситета.
Макаров В. Л. — академик РАН, директор ЦЭМИ РАН, президент Российской экономической школы.
Максимов А. Г. — канд. физ.-мат. наук, первый заместитель директора Нижегородского филиала ГУ ВШЭ.
Мхитарян В. С. — д-р экон. наук, заведующий кафедрой статистических методов ГУ ВШЭ.
Рубин Ю. Б. — д-р экон. наук, профессор, чл.-корр. РАО, ректор МФПА.
Рудзкис Римантас (Литва) — доктор наук, заведующий отделом Института математики и информатики Литвы, профессор Каунасского университета.
Суслов В. И. — чл.-корр. РАН, д-р экон. наук, профессор, заместитель директора Института экономики и организации промышленного производства СО РАН.
Харин Ю. С. (Республика Беларусь) — чл.-корр. Национальной академии наук Беларуси, д-р физ.-мат. наук, профессор Белорусского государственного университета, директор НИИ прикладных проблем математики и информатики БГУ

       2           у
                 jr                                                           Редакционная коллегия Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№4(16)2009


Б. Е. Бродский, Г. И. Пеникас, И. А. Сафарян


            Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул



         В статье рассматривается задача обнаружения и оценивания момента структурного сдвига в копула-моделях временных рядов. Предложен непараметрический метод обнаружения и оценивания структурного сдвига и исследованы его асимптотические характеристики (вероятности ошибок 1-го и 2-го рода, вероятность ошибки оценивания). Приведены результаты экспериментального исследования предложенного метода в имитационных моделях копул Клейтона и Гумбеля. Практические применения метода включают проверку гипотезы о наличии структурного сдвига в реализациях финансовых временных рядов (для ставок межбанковского рынка, собранных за период с 6 августа 2007 г по 21 мая 2009 г. Процентные ставки в рублях, долларах, евро на сроки овернайт (1 день), 1, 3, 6 месяцев были взяты как ставки MosPrime, USD LIBOR, EURIBOR соответственно. Ставки на 1, 3, 5лет были взяты как котировки процентных свопов на соответствующие сроки из базы данных Bloomberg). Полученные результаты свидетельствуют об эффективности предложенного метода обнаружения и оценивания момента структурного сдвига.



1. Введение
Рассмотрим непрерывный случайный вектор X = {X 1,..., Xd} с совместной кумулятивной функцией распределения (ф. р.) V и одномерными ф. р. компонент вектора F1,..., Fd. Копула (Copula) представление для V запишется в виде
V (x 1,..., Xd ) = G(F (xi),..., Fd (Xd)),
где G — единственная непрерывная кумулятивная ф. p., у которой одномерные маргинальные ф. р. равномерные на [0,1].

Копула-модель возникает в том случае, когда G неизвестна, но принадлежит классу = = {G в: 0G0},
где 0 — открытое множество в Rp.
   В книгах [Joe (1997)] и [Nelson (2006)] содержатся обзоры наиболее употребительных параметрических моделей копул. Эти модели часто используются в современных актуарных исследованиях, эконометрике, гидрологии (см., например, [Frees and Valdez (1998)], [Cui and Sun (2004)], [Genest and Favre (2007))]. Однако наиболее интенсивно модели копул используются в финансовом анализе, в частности, в задачах управления кредитным риском и оценки активов (см. [Cherubini et al. (2004)], [McNeil et al. (2005)]).



3

ф Банки

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№4(16) 2009                                                                  —

   Предлагаемая статья посвящена проблеме обнаружения структурных сдвигов в моделях копул (Copula models). Рассматриваются нестационарные копула-модели с дискретным временем, структурные параметры которых могут резко изменяться в неизвестные моменты. Актуальность этой задачи обусловлена тем, что статистические характеристики реальных финансовых временных рядов, как правило, нестабильны и подвержены резким структурным сдвигам (характерный пример: мировой финансовый кризис 2007-2008 гг., выявивший неадекватность большинства финансовых моделей). Поэтому обнаружение моментов структурных сдвигов в моделях копул имеет важное прикладное значение.
   Существующая литература по моделям копул может быть разбита на два основных класса:
   •   работы, посвященные оценке и тестированию параметрических моделей копул: гауссовских копул [Malevergne and Sornette (2003)], копул Клейтона (Clayton) [Shih, (1998)], [Glidden, (1999)]; [Cui and Sun, (2004)];
   •   работы по непараметрическим методам проверки гипотез относительно моделей копул, включая так называемый blanket tests (см. [Genest et al. (2006)], [Breymann et al. (2003)], [Dobric and Schmid (2005)], [Junker and May (2005)]).
   Статья написана в русле непараметрического подхода. Суть задачи состоит в построении непараметрических оценок структурного сдвига в моделях копул. Точная постановка задачи приводится далее.


Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул

2. Постановка задачи и метод решения
   Пусть получена выборка {X1,..., XN} независимых Rd-значных векторов с совместными кумулятивными ф. р. V1,..., VN.
   Предполагается, что либо V1 =... = VN (гипотеза H₀, см. (2) ниже), либо в некоторый неизвестный момент времени m = [0N] паттерн¹ зависимости компонент Xi 1 ,., Xᵢd каждого вектора Xi изменяется. При этом предполагается, что частные ф. р. F1,...,Fd остаются неизменными, а изменение паттерна зависимости выражается в изменении копулы, т. е. совместные ф. р. равны:

V ₍ₓ ₓ ₎ ₌ [Gi(F1(xi),...,Fd⁽xd))J<i<m, i⁽ ¹.... d⁴    [G2(Fi(xi)..Fd(xd)),m <i <N.


   Необходимо проверить гипотезу

H 0: G1 = G 2

(1)

(2)

и при отклонении этой гипотезы построить оценку момента структурного сдвига m.
   Иными словами, проверяется гипотеза о наличии структурного сдвига в паттерне зависимости между компонентами векторов наблюдений. При отклонении нулевой гипотезы H₀ необходимо построить оценку момента разладки m. Цель заключается в построении метода, для которого вероятности ошибок 1-го рода («ложная тревога») и 2-го рода («ложное

    ¹ Под паттерном авторами понимается форма (модель, способ) связки компонент Xᵢb...,Xᵢd. Термин «паттерн» применяется в общем смысле, тогда как для целей эконометрической оценки совместного распределения именно понятие «изменение копулы компонентXᵢb...,Xᵢd» позволяет отразить изменение паттерна.

4

Банки Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


        №4(16)2009


спокойствие») были бы достаточно малы (стремились к нулю с увеличением объема выборки N), а оценка параметра разладки 0N была бы состоятельной, т. е. стремилась бы к истинному параметру разладки 0 при увеличении объема выборки.
   Предлагаемый метод обнаружения основан на непараметрическом подходе. Рассмотрим эмпирические Copula-процессы:
   для каждого l = 1,..., N — 1:
                       1 I             1 Id
                Di (u ) = - £ /(Ui,i < u ) = - £П < Uj,i < u,),
                       ¹ i=1           ¹ i=1 i=1                                   (3)
1 N                  1 Nd
Dn—I (u)=ТГ-, £ /(Ui,N—I < u) = 77^ £ П /(UjN—I < u,),
                         N — I i=i₊1          N — I i=i₊1,=1


где Ui, i =( Ui 1,1,..., Uid, i)


Б. Е. Бродский, Г. И. Пеникас, И. А. Сафарян

и для каждого j = [ 1,..., d]:
                        U,I= -, (X,)=raⁿk ⁽ j'I I +1 j'     ,,J I +1
                                rank(Xi,) ,
                        Uj, N—I = —-,---- , I + ¹ < i < N
                                N — I +1


(4)

   Для последовательного обнаружения момента разладки зафиксируем константу и рассмотрим следующую статистику (модификация статистики Колмогорова—Смирнова):
                           Фi,n—i (u) = (Di (u) — Dn—i (u)) ⁽^^— I)                  (5)

и

                              Tn =   max     sup |Ф ₕN—i (u )|.                      (6)
[3 N]< I <[(1—3) N] ᵤ

   Оценка момента структурного сдвига строится следующим образом:

                           m n Е arg    max    sup |Ф in—i (u )|,                    (7)
13 N]< I <[( 1-3) N] ᵤ m m n
а оценка параметра структурного сдвига 0N = -^-.

   Далее предлагаются следующие показатели эффективности метода обнаружения:
   1) вероятность ошибки 1-го рода («ложное решение»):
                                    a n = Po {Tn > C},                               (8)
где C > 0 — некоторая граница принятия решения о наличии структурного сдвига;


   2) вероятность ошибки 2-го рода:

б N = Pm { Tn < C};

   3) вероятность ошибки оценивания для любого 0 < е <

(9)

1
2:

ф Банки

5

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


        №4(16)2009


A N = Pm {|0N -9|>е}.


(10)

3. Основные результаты

   Напомним основное предположение: X 1,...,Xₙ — независимые случайные d-мерные векторы с непрерывными одномерными маргинальными распределениями. Из этого предположения следует, что случайные величины (с. в.) U,,l, определенные в (3)—(4), независимы при различных i = 1,..., I. Кроме того, они одинаково распределены при нулевой гипотезе (отсутствие структурного сдвига) и удовлетворяют условию Крамера E₀ exp(tUi,l) < х при 111< T для некоторого T > 0, в силу того что Ui,l = (Ui ₁;l,..., Uᵢd,l) G [0,1]d.
   В следующей теореме получена экспоненциальная верхняя оценка для вероятности ошибки 1-го рода в рамках предложенного метода.
   Теорема 1.
a n < L 1 exp(—L₂C²N),                       (11)
где положительные константы L 1, L₂ не зависят от N.


   Идея доказательства теоремы 1 заключается в следующем. Из условия непрерывности маргинальных распределений следует (см. [Tsukahara (2005)]), что при нулевой гипотезе H0: G1 = G2 и [рN]< I <[(1 — |3)N]:

V/⁽Dl ⁽и⁾ — G1 ⁽и⁾⁾ ^ W1 ⁽u⁾,
Nn — l⁽ Dn—l ⁽u⁾ — G1 ⁽u ))-■ W2 ⁽u⁾, где W1 (•),W₂(•) — независимые винеровские процессы на [0,1]d, а символ ^ означает слабую сходимость в пространстве D[0,1]d при N ^ х. Поэтому


⁽Dl ⁽u⁾ — dn—l⁽u⁾⁾

Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул

Vl (N — l)
N

1
Nn

    11
   l 2   (I 2
I¹— mI W1(u) —Ы W2 (u).
¹ N)    ¹N)
/

   Отсюда с использованием экспоненциальных оценок для вероятности пересечения винеровским процессом горизонтальной границы получаем результат теоремы 1.
   Аналогичные оценки могут быть получены для вероятности ошибки 2-го рода и вероятности ошибки оценивания. Более точно, справедлива следующая теорема.
   Теорема 2.
      ¹                                                 л           л
   Обозначим л = sup|G 1(u) — G₂ (u)| и предположим, что 0 < C < —. Пусть d =-C. Тогда

бN < L 1 exp(— L₂ min(d, d² )N) 4n <C1 exp(— C2 min(e, e² )N)

(12)

где положительные константы L 1, L₂, C 1, C₂ не зависят от N.

Доказательство.

Приведем набросок доказательства теоремы 2.
Вначале рассмотрим случай [рN] < I < т. Поскольку Dl (u) =

1l
  Е I( Ui,l < u), то
I i=1

6

Банки Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


        №4(16)2009


DDi (u ) = G1 (u).


   Далее

                         Dn-1 (u) = -Ц f jc/(Ui,n—i
                                     N — i b'=i+1

N
< u)+ ^ /(Ui, N—I
i =m + 1

и поэтому

                                       1 ,.       .............._ .,,
EDN—I ⁽u⁾ = N---1 ((m — ¹ ⁾G 1 ⁽u⁾ ⁺ ⁽N — m⁾G2 ⁽u⁾⁾.

   Отсюда имеем


                               (т — Г\ N — m N—m .
                               1 — N J—G 2 (u) N^- =     (G1 (u) — G 2 (u)).
   Это означает, что
                                m m m™ ⁽N — m⁾             .
maxsupEФi n—i(u) =---------sup|G 1 (u)— G2 (u)|.
                    i <m u               N ᵤ
   Аналогично рассматривается случай m < i <[(1 — p)N]. Заметим, что

max '        < 1.
m N ^ 4
   Таким образом, удалось оценить сверху математическое ожидание статистики TN. Что же касается стохастической аддитивной компоненты этой статистики, то, как и в теореме 1, экспоненциальные оценки сверху для вероятностей ошибок оценивания (12) следуют из экспоненциальных верхних оценок для сумм независимых, одинаково распределенных центрированных с. в., удовлетворяющих условию Крамера (см. [Петров (1987)]).
   Далее рассматриваются результаты экспериментального тестирования метода обнаружения на модельных примерах.


Б. Е. Бродский, Г. И. Пеникас, И. А. Сафарян

4. Экспериментальное тестирование метода


   Предложенный метод тестировался в имитационных экспериментах с выборками двумерных зависимых наблюдений, описываемых Copula-моделями следующего вида:
   копула Клейтона: для любых u,v g(0, 1) и к > 0:

                                                                                              1
C Д u, v ) = ( u—к + v —к—1)—К,


   копула Гумбеля: для любых u, v g(0, 1) и к >0:

C к( u, v ) = exp

        1          1
(—log u )K +(—log v )K


   Параметр к в данных моделях может изменяться в некоторый неизвестный момент разладки т = [ 9 N ].



ф Банки

7

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


        №4(16)2009


   В первой серии экспериментов оценивались критические пороги для предложенного метода, соответствующие различным моделям наблюдений и объемам выборки. С этой целью использовались выборки с однородными наблюдениями (без разладки). Для каждого значения объема выборки N в 500 независимых повторениях эксперимента оценивались 95%-е и 99%-е квантили выборки максимумов статистики TN для предложенного метода. Значения 95%-е квантилей далее использовались в качестве критических порогов. Полученные результаты приведены в табл. 1 и 2.


Таблица 1

Критические пороги, копула Клейтона, однородная выборка к = 0,3

N,% 50      100    200    300    500    700    1000   1500   2000 
95  0,1156 0,0850 0,0615 0,0492 0,0372 0,0314 0,0278 0,0213 0,0197
99  0,1343 0,0945 0,0674 0,0550 0,0426 0,0348 0,0323 0,0232 0,0214

Таблица 2

Критические пороги, копула Гумбеля, однородная выборка к = 0,3

N,% 50      100    200    300    500    700    1000   1500   2000 
95  0,1033 0,0749 0,0508 0,0402 0,0313 0,0243 0,0206 0,0158 0,0146
99  0,1187 0,0836 0,0585 0,0461 0,0343 0,0292 0,0233 0,0168 0,0154

Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул

   Из приведенных результатов видно, что критические пороги предложенного метода не очень чувствительны к конкретной Copula-модели, что позволяет провести робастную настройку его параметров для обнаружения и тестирования момента разладки. Полученные результаты приведены в табл. 3 и 4 (параметр разладки 0 = 0,3, C — критический порог; w₂ — ошибка 2-го рода).


Таблица 3

Обнаружение и оценивание разладки, копула Клейтона

0 = 0,3  к = 0,3; к2 = 1,0      
   N     500   700  1000  1500 
   C    0,037 0,031 0,027 0,020
  w 2   0,560 0,430 0,150 0,020
  0 N   0,337 0,335 0,303 0,300

8

Банки Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


        №4(16)2009


Таблица 4

Обнаружение и оценивание разладки, копула Гумбеля

е о,з       Ы = 0,3; ы2 = 0,7              
  N   100  200  300  500  700  1000  1500 
  C   0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,017 0,015
 w 2  0,69 0,60 0,44 0,33 0,04 0,010 0,000
 е N  0,45 0,40 0,35 0,33 0,31 0,305 0,300

   Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.
   1.   Предложенный метод позволяет эффективно обнаруживать и оценивать моменты структурных сдвигов в моделях копул. При этом под структурным сдвигом понимается любое резкое изменение многомерного ядра копулы, описывающего конкретный вид зависимости между одномерными компонентами.
   2.   Рассчитанные критические пороги практически не зависят от конкретного вида копулы (Клейтона, Гумбеля и др.) и от параметров копулы при нулевой гипотезе. Это позволяет использовать их в непараметрических тестах структурных сдвигов в копула-моделях.


Б. Е. Бродский, Г. И. Пеникас, И. А. Сафарян

5. Прикладные задачи

   Разработанный метод обнаружения и оценки структурных сдвигов в моделях копул был использован для проверки гипотезы о наличии структурного сдвига в реализациях финансовых временных рядов. В основе анализа лежали ставки межбанковского рынка, собранные за период с 6 августа 2007 г. по 21 мая 2009 г. Процентные ставки в рублях, долларах, евро на сроки овернайт (1 день), 1, 3, 6 месяцев были взяты как ставки MosPrime, USD, LIBOR, EURIBOR соответственно. Ставки на 1,3, 5 лет были взяты как котировки процентных свопов на соответствующие сроки из базы данных Bloomberg.
   Методология оценки. Оценка копул совместного распределения была проведена на основе семипараметрического² подхода, чтобы исключить ошибки, возникающие от неверной спецификации частных распределений. Соответственно методом гистограммы были восстановлены эмпирические функции распределения дневных логарифмированных доходностей случайных величин. Далее были оценены параметры 6 копул: две архимедовы копулы (Клейтона, Гумбеля), копула экстремальных распределений (копула Стьюдента с 1 степенью свободы), 3 копулы эллипсообразных распределений (нормальная и Стьюдента с 5 и 10 степенями свободы). Копулы Стьюдента рассматривались также с иным количеством степеней свободы. Для наглядности и сопоставимости результаты оценки приводятся только для случаев 1,5,10



   ²     В работе [KimG., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007)] показано, что семипараметрический метод (SP — semiparametric) позволяет построить более состоятельные и устойчивые (робастные) оценки, чем параметрические методы в случаях, когда вид частного распределения не известен и, как следствие, возникает угроза их неверной спецификации.

ф Банки

9

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул

№4(16) 2009                                                                  —

степеней свободы, так как они позволяют увидеть тенденцию, где может находиться оптимальное количество степеней свободы, если крайними случаями являются копула Стьюдента с 1 степенью свободы и с бесконечным количеством (нормальная копула) степеней свободы.
   Интерпретация полученных результатов.
   1.   До момента структурного сдвига совместное распределение доходностей процентных ставок в рублях наилучшим образом описывалось копулой Стьюдента с 1 степенью свободы, тогда как после — гауссовской копулой. Необходимо заметить, что для копулы Стьюдента с 1 степенью свободы (также именуемой копулой Коши, поскольку она относится к семейству копул экстремальных распределений) характерна максимальная степень зависимости³ хвостов, которая в данном случае составила 85% при оценке непосредственных данных и 96,2% при работе с рангами первоначальных данных. Гауссовская же копула характеризуется нулевой зависимостью хвостов, т. е. маловероятным является одновременное наблюдение как очень больших, так и очень малых значений входящих в копулу случайных величин.
   Естественно, оценка копулы на всей выборке давала некорректные результаты, указывая на предпочтительность выбора копулы Стьюдента с 8 степенями свободы. Понимая, что гауссовская копула является частным случаем копулы Стьюдента, когда число степеней свободы стремится к бесконечности, логичным (хотя малоинформативным) является то, что на всем наборе данных получается оценка некоей усредненной копулы Стьюдента.
   Таким образом, подтверждается корректность определения 3 декабря 2008 г. как даты структурного сдвига для рублевого денежного рынка. Если до этой даты для процентных ставок в рублях было характерно высоковероятное одновременное возрастание и снижение, то после нее ставки начали вести себя более независимо. Важно отметить, что данное движение ставок имеет объяснение.
   Дело в том, что до 1 декабря 2008 г. Центральный банк РФ постоянно поднимал ставку рефинансирования до уровня 13 % годовых. Эта мера требовалась для ограничения кредитной активности банков, как следствие, для ограничения прироста денежной массы и недопущения дальнейшего роста инфляции. Тем не менее ввиду сжимающегося самого по себе денежного рынка как ответной реакции на финансовый кризис необходимо было перейти, наоборот, к стимулированию кредитования через снижение ставки рефинансирования.
   Интересно внимательнее рассмотреть график поиска точки структурного сдвига, которая определялась как максимум приводимой на графике функции Фl,N_l(u). Можно видеть (рис. 1), что если глобальный максимум соответствует дате 3 декабря 2008 г. (наблюдение №348), то локальный минимум находится в окрестности 12 ноября 2008 г. Именно 11 и 12 ноября 2008 г. Центральный банк РФ произвел два очередных повышения ставки рефинансирования до 11 % и 12% соответственно. Возможно, если бы экономическая конъюнктура не требовала данных действий, движение процентных ставок в рублях стало бы уже после 12 ноября 2008 г. определяться нормальной копулой. Но поскольку осень 2008 г., а именно октябрь—ноябрь 2008 г., характеризовалась кризисом банковской ликвидности, движение процентных ставок лишь отражало напряженность в экономической сфе
    ³ Индексы зависимости верхних (Xи) и нижних (XL) хвостов определяются по следующей формуле в двумерном случае [Nelson (2006), p. 214]:
Xи = lim p\Y > G⁽_|⁾(f)|X > F⁽_'\t)], Xl = lim p\Y < G⁽_'\t)|X < F⁽_'\t)].
t -1 L                     J       t ' L                      J

       10            >

Банки Ф