Еще один подход к определению пропускной способности канала связи


                ЕЩЕ ОДИН ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ КАНАЛА СВЯЗИ





        Дегтярев А. Н.

Севастопольский национальный технический университет 99053, Севастополь. Студгородок
тел. (0692) 23-51-18, E-mail: rt.sevqtu(p)stel.Sebastopol,иа

   Аннотация - Предложено ввести в рассмотрение пространство сигналов, базисные функции которого ортогональны со знакопеременным весом. Приведена методика определения данного веса. Показано, как из полученного конечномерного базиса получить полную систему ортогональных функций. Для введенного сигнального пространства получено аналитическое выражение для пропускной способности канала связи.



            I. Введение


   При анализе пропускной способности канала связи с окрашенным гауссовским шумом обычно используют шенноновскую теорию, в основе которой лежит теорема отсчетов. С математический точки зрения эта теория базируется на свойствах ортогональных функций. Если ввести в рассмотрение функции, ортогональные со знакопеременным весом. то мы получим возможность построить более общую теорию связи.



            II. Основная часть



   К. Шенноном получена следующая формула для пропускной способности канала связи с окрашенным

гауссовским шумом

С = АД. log

(1)

где SFK - полоса пропускания канала связи, Д и

Рш - мощности сигнала и шума соответственно [1,2].
   Размерность пространства сигналов (количество степеней свободы) N определено как минимальное количество отсчетов, по которым может быть восстановлен сигнал: 2 А АД Г , где ДА - ширина спектра сигнала, а ДА - его длительность.
   Любой сигнал s(t), а также шум в канале связи

n(i) могут быть представлены с некоторой точностью с помощью /V ортогональных сигналов и»,//), которые описываются функциями отсчетов:
                    А’ ч'(‘) = }<№(!),              (2)
/=1
где и, - величина отсчета. Формула (2) лишь приближенно описывает сигнал s( I), поскольку s(t) является бесконечномерной функцией, которую мы пытаемся описать в конечномерном (Л/-мерном) пространстве функций Wj(t).
   Таким образом, согласно шенноновской теории, информация передается посредством только таких сигналов, которые можно представить в виде суммы (2). s'(t) стремится к бесконечномерному сигналу s(t) при увеличении числа слагаемых N. Иными словами, необходимым условием, накладываемым на сигнальное пространство, является полнота системы ортогональных базисных функций и,О ).

   Найдем еще одно решение задачи о пропускной способности канала связи.
   Введем в рассмотрение функции у,(! ) . которые в классическом понимании не относятся к ортогональным, но для них выполняются условия
')                 [О. i /•
            \g,(l )&,<‘)h(t )cll^\           (3)

где вес Л/ /) не является неотрицательной функцией, как это верно по определению для известных ортогональных функций.
   Предположим, что в качестве М базисных функ-sinwt-o.,)
ции выбраны ?,7О = -----------— , где а, - не обяn(i -а, )
зательно целые числа. Определим вес h( t) такой, чтобы выполнялись условия (3). Для этого представим его в виде
G
h(t )=^bₖlₖ(t),               (4)
                     k=\ где !ₖ(t) - линейно независимые функции, hₖ - не
известные коэффициенты, 6 =             - количество линейных уравнений для нахождения коэффициентов bₖ :

                 )di+. ■ +bG]g\(t )lG(t)dt=\, 'i               'i
         /2                   to
       Л, Jg, (Dfiift H\(lkll+.,.+hG(Oy-yittb ■(t idt—0,
         'i                   'I


         to               fo
)!](t )dt+...+bG ]gₖf(t )lG(l)dl=\.
       . 'i               'i
   Если определитель, составленный из коэффициентов при Ь, , не равен 0, то данная система уравнений имеет единственное решение.
   Итак, в качестве сигналов - переносчиков информации используются сигналы, представимые в виде конечной суммы из М базисных сигналов взвешенных с некоторыми коэффициентами.
   Сформировать полный базис, вес которого равен h(t) и вычислен для М функций g,p). можно с помощью следующей процедуры.
   Пусть необходимо увеличить размерность сигнального пространства на 1. Введем в базис /И+1
                 Л/+1
сигнал gM₊](t)= Ycp^pC), где T\ₚ(t) - линейно /;=|
независимые функции, с - коэффициенты, которые вычисляем с помощью уравнений

2003 13th Ini. Crimean Conference “Microwave & Telecommunication Technology” (CriMiCo’2003). 8-12 September, Sevastopol. Crimea. Ukraine
© 2003; CriMiCo’2003 Organizing Committee; Weber Co. ISBN: 966-7968-26-X. IEEE Catalog Number: 03EX697

370

b                        l2
J g| < / /+| (' )h( > )dt =V| J g, IIЛ] । (I )h( I )dt+... +
'i                       'I

+Ф/+1 J#i (¹ AIaz+iI'/)h( t )di=Q.
       '\
<2                       '2
]g2(l)gM+\(l)h(l)dl=cᵢ]g₂(t)V[ₗ(t)h(t)dt+...+
'\                       'i
       /2
⁺ сЛ/+1       Т|д/₊|(/ d'(')d/=Q.
       'I



JsiM <¹ >h( l)dt=c\]^(t)lT(i)dt+2c, c₂ Jt]i ( t Л],(t )h( I )dt+ 'I                '1                /|


⁺• ■ ■⁺CV+1 .И /+И ’>H t)dt-\.




Используя приведенную процедуру, можно определить сколь угодно много функций, ортогональных с весом h( t).
   Таким образом, множество функций, ортогонали-зованных путем нахождения веса h(t), является подмножеством полной системы функций, ортогональных с этим весом.
   Повторяя последовательность рассуждений К. Шеннона [1] с учетом того, что энергия сигнала / (I) и шума n(t) теперь имеют вид


£/ = ]f²(t)h(t)dt, °                             (5)
Е„ = ]n²(t)h(t)dt.
t\
получаем следующее выражение для пропускной способности канала связи

Л/ , log л 2КТ

   Перейдя от мощностей сигнала и

шума

энергиям, будем иметь (

М

1 +

1ST

                          ]f²(t)h(t)dt
                          О
/о
      ]n²(t)h(t)dt


   Применяя к знаменателю (7) неравенство Буня-ковского-Шварца и учитывая тот факт, что



(это верно, поскольку



|л⁴(7 )dt < ^iTit/dt
/,          I/'

             V
при неотрицательных ), получаем
             >

выражение для нижнего предела пропускной способности канала связи

]f²(t)h(t)dt
С > -—log-, 1 + ——, ........= .    , (8)
             2 А Г          h

I
   Зависимость С от А£ проявляется в том, что ширина спектра сигналов базиса gj(t) равен AF , и вес h( t) определяется исходя из вида функций ).



            III. Заключение


   Таким образом, для передачи информации может быть использовано не только сигнальное пространство с базисом в виде функций отсчетов, но и другие пространства, базисные функции которых ортогональны со знакопеременным весом. Численный эксперимент показал, что при этом может быть достигнут выигрыш в пропускной способности канала связи. Выбор системы сигналов, оптимальных по скорости передачи информации составляет самостоятельную задачу исследования.
VI. Список литературы
[1 ] Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике / Пер. с англ. Р. Л. Добрушина, О. Б. Лупанова— М.: Изд-во иностр, лит-ры, 1963. - 827с.
[2] Возенкрафт Дж. Теоретические основы техники связи / Дж. Возенкрафт, И. Джекобс: Пер. с англ. -М.: Мир, 1969. -640 с.



            ANOTHER APPROACH ТО THE DEFINITION OF COMMUNICATION
            CHANNEL CAPACITY


Degtyaryov A. N.
Sevastopol National Technical University Studgorodok, Sevastopol. Ukraine. 99053 phone +380 (692) 235018 e-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

   Abstract - To obtain a new expression for the communication channel capacity, the consideration is given to the space of signals that has orthogonal basis functions with alternating weight. Procedures for the determination of this weight are set forth. The complete system of orthogonal functions has been found from the obtained finite-dimensional basis.

        I. Introduction

   The expression for the communication channel capacity (1) has been obtained from the sampling theorem. This approach is not the only one applicable.

        II. Main part

   Let us use Formula (3) to consider the alternating weight for the system of linear independent functions. The weight can be represented as the sum (4). The substitution of (4) for (3) will result in the linear equation system allowing for the determination of the unknown coefficients. The complete system of basic functions can be obtained by using the given procedures. The communication channel capacity is described by (7). Its lower limit follows Formula (8).

        III. Conclusion

    Data can be transmitted by using the space of signals that has orthogonal basic functions with alternating weight. The choice of the space of signals optimal in its data transmission rate should be a separate avenue of research.

2003 13th Ini. Crimean Conference "Microwave & Telecommunication i echnology (CriMiCo 2003). 8-12 September, Sevastopol, Crimea, Ukraine
© 2003: CriMiCo’2003 Organizing Committee; Weber Co. ISBN: 966-7968-26-X. IEEE Catalog Number: 03EX697

371