Быстро сходящиеся ортогональные ряды

УДК 681.518.3
А.Н. Дегтярев
Севастопольский национальный технический университет,
Университетская, 33, г. Севастополь, 99053, Украина
vm@sevgtu.sebastopol.ua
БЫСТРО СХОДЯЩИЕСЯ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Постановка задачи. Многие задачи науки и техники связаны с пред
ставлениями функций в виде ортогональных рядов. Быструю сходимость рядов обеспечивает разложение Карунена-Лоева-Пугачева (К-Л-П-разложение), 
базис которого определяется достаточно сложно [1], [2]. Актуально разработать простой метод получения ортогонального базиса, который обеспечивает
быструю сходимость рядов.

Выбор ортогонального базиса. Пусть случайный процесс 
)
(t
x
с корре
ляционной функцией 
)
,
(t
Rx
описывается конечной суммой ряда по функци
ям
)
(t
k
, которые ортогональны с весом
)
(t
h
:

N

k

k
k
t
y
t
x

1

)
(
)
(
(1)

Тогда 
)
(t
k
, которые минимизируют функционал ошибки

T
N

k

k
k
t
t
h
t
y
t
x
I

0

2

1

d
)
(
])
(
)
(
[
M
,              
(2)

должны являться собственными функциями ядра интегрального уравнения

)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
2

0

t
h
t
R
k
k

T

k
x
,
(3)

где 
...
M
– математическое ожидание,
2
k – дисперсии коэффициентов 
ky .

Средняя квадратическая ошибка аппроксимации случайного процесса 

суммой (1) равна 
.

1

2
2

N
n

n
a
I

Если 

0

)
(
)
(

k

k
k
t
y
t
x
(4)

является эргодическим случайным процессом, то 

,)
(
d
)
(
)
(
)
(
)
,
(

0
0
k
n

kn
n
k
x
x
R
y
y
t
t
x
t
x
R
t
R
(5)

где 
t
t
t
R
n
k
kn
d
)
(
)
(
)
(
.

Преобразование Фурье от обеих частей равенства (5) дает

0
0

)
(
)
(
j

0
0

*

)
(
)
(
)
j(
)
j(
)
(

k
n

n
k
n
k

k
n

n
k
n
k

n
k
e
F
F
y
y
F
F
y
y
,     (6)

где 
)
(
– энергетический спектр 
)
(t
x
, 
)
(
j
)
(
)
j(
i
e
F
F
i
i
– спектральная 

плотность базисной функции
)
(t
i
, 
)
(
iF
и 
)
(
i
– соответственно ее мо
дуль и аргумент, 
)
j(

*

iF
– функция, комплексно сопряженная с 
)
j(
iF
.

Уравнение (6) разбивается на два уравнения: 

.0
)
(
)
(
sin
)
(
)
(

),
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(

0
0

0
0

k
n

n
k
n
k
n
k

k
n

n
k
n
k
n
k

F
F
y
y

F
F
y
y

(7)

Поскольку правая часть первого уравнения в (7) отлична от нуля, то хо
тя бы одно слагаемое в нем не равно нулю. Положим, что в (7) отличны от 
нуля только слагаемые, для которых
n
k
.

Тогда из первого уравнения системы (7) получаем

)
(
)
(

0

2
2

k

k
k F
y
.             
(8)

Примем
)
(
)
(
F
Fk
, и из (8) имеем:

)
(
)
(

0

2
2

k

ky
F
,                
(9)

и  
)
(
)
(
F
,                 
(10)

1

0

2

k

ky
.                
(11)

Во множестве функций, обладающих модулем (10) существует мини
мально-фазовая функция [3]. Примем минимально-фазовую функцию 
)
j(
0
F

в качестве спектральной плотности функции 
)
(
0 t . Остальные функции ба
зиса получим путем смещения  
)
(
0 t
на величину n
:

)
(
)
(
0
n
t
t
n
.         
(12)

Сформированную таким образом систему функций будем называть ба
зисом с минимально-фазовым спектром (МФС-базисом).

Из выражений (6) и (11) следует, что
ky
некоррелированы между собой.

Представим 
)
(t
x
в виде ряда (4) по координатным функциям МФС
базиса. При условии, что
ky
некоррелированы, получим корреляционную

функцию процесса 
)
(t
x
:

.)
(
)
(
)
(
)
(
M
)
(
)
(
M
)
,
(

0

2

0
0
k

k
k
k

k

k
k

k

k
k
x
t
y
t
y
x
t
x
t
R
(13)

Подставляя (13) в (3), получаем

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
2

0
0

2

0

t
d
h
t
d
h
t
R
n
n

T

n

k

k
k
k

T

n
x
.

Таким образом, функции, составляющие МФС-базис, являются собст
венными функциями уравнения (3), а дисперсии коэффициентов разложения 
случайного процесса 
)
(t
x
по данному базису обратно пропорциональны соб
ственным числам данного уравнения.

Определение весовой функции МФС-базиса [4]. Условия ортогональ
ности N функций 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
с весом 
)
(t
h
имеет вид

,
,0

,
,1
d
)
(
)
(
)
(

2

1
j
i

j
i
t
t
h
t
t

t

t

j
i
(14)

где 
)
,
(
2
1 t
t
– интервал ортогональности (14).

Теорема 1 [4]. Пусть заданы системы линейно независимых функций 

)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
и 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
l
t
l
t
l
k
, тогда, если 
2

)1
(N
N
k
– количест
во уравнений в системе

,1
d
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
d
)
(
)
(

......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,0
d
)
(
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
)
(
d
)
(
)
(
)
(

,1
d
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
d
)
(
)
(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2
1

2

1

2
1
2
2
1
2
1
2
1
1

2
1
2

2
1
2
1

2
1
1

t

t

k
N
k

t

t

N

t

t

N

t

t

k
k

t

t

t

t

t

t

k
k

t

t

t

t

t
t
l
t
b
t
t
l
t
b
t
t
l
t
b

t
t
l
t
t
b
t
t
l
t
t
b
t
t
l
t
t
b

t
t
l
t
b
t
t
l
t
b
t
t
l
t
b

которая имеет решение относительно 
ib , то функция

k

i

i
i
t
l
b
t
h

1

)
(
)
(
, являет
ся весом ортогональности функций 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
.

Потребуем, чтобы энергия веса 

2

1

d
)
(
2

t

t

t
t
h
была минимальной. 

Теорема 2 [4]. Вес, оптимальный по условию минимума энергии, пред
ставляет собой квадратичную форму от ортогонализуемых функций.

Функции МФС-базиса являются эквидистантными: 
)
(
)
(
i
t
t
i
, 

где 
– постоянная величина, 
,...
2,1,0
i
. Тогда весовая функция с мини
мальной энергией имеет вид периодической функции с периодом α [4]:

n
n

m
n
n
m
n
n

n

n
n

n

n
t
t
t
t
t
t
t

t
t
t
t
t
t
t
t
h

...
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(

2
2
1
1

2

0

2
2
0
2
1
1

2
1
0
1
0
1

2
0
0

Скорость сходимости рядов, составленных из координатных функ
ций МФС-базисов. Пусть детерминированная функция 
)
(t
f
, имеющая 

спектральную плотность
)
j(
, раскладывается в ряд по МФС-базису:

n

n

n

n
n
n
t
a
t
a
t
f
)
(
)
(
)
(
0
,                        (15)

где
t
t
h
n
t
t
f
an
d
)
(
)
(
)
(
0
, 

и 

n

n

n
a
F
j

0
e
)
j(
)
j(
.
(16)

Тогда    

n

n

n

G
a
j
)}
j(
arg{
j
e
e
,
1
2

n

n
a
,
(17)

где 
)
j(

)
j(
)
j(

0
F
G
.

Определение 1 [5]. Количеством степеней свободы функции 
)
(t
f
бу
дем называть эффективное количество коэффициентов ряда (слагаемых) (15):

n

n

n

n

n

n

a
n

a

a
n

N
2
2

2

2
2

.                              (18)

Известно, что если функция имеет непрерывную вторую производную, 

то коэффициенты ее ряда Фурье 
n
a
таковы, что 
2
n

C
an
( С – максимальное 

значение модуля второй производной данной функции) [6].

Первое выражение в (17) является рядом Фурье функции 
)}
j(
arg{
je
G
. 

Введем обозначение 
)}
j(
arg{
)
(
G
и найдем условия, при которых мо
дуль второй производной 

2
4
)
(
j

2

2

)
(''
)
('
e

d
d
.                       (19)

функции 
)
(
je
максимален.

Выражение (19) имеет экстремум, если 

0
)
(''
,                                                (20)

или                                        
0
)
(''
)
('
2
4
,                                     (21)

или                                         
0
)
('''
)
('
2
3
.            
(22)

С учетом нечетности функции
)
(
получим решения дифференци
альных уравнений (20), (21) и (22) соответственно

1
)
(
С
,
(23)

0
)
(
2
С
,
(24)

)
2
sin(
)
(
6
1

3
С
,
(25)

где 
i
С – постоянные величины, пропорциональные количеству точек разры-

ва функции 
)
(
tg
arctg
)
(
на интервале 
2
,
2
. 

Выражения (22) и (25) позволяют определить значение параметра 
и 

предельные значения коэффициентов разложения 
n
a : 

6
1

2 ,                                            (26)

)
(
J
)1
(
3
C
a
n

n

n
,
(27)

где 
)
(
J
x
n
– функция Бесселя первого рода.

Таким образом, при n
, абсолютные значения 
n
a
убывают как [7]: 

n

n
n
C

n

C
2
e

2

1
~
)
(
J
3

2
.
(28)

Тогда из (18), (26) – (28), получаем

)
(
J
2
2
3

2
1

3
C
C
N
.
(29)

Выводы. Как и в случае К-Л-П-разложения, представление случайной 

функции в виде ряда по элементам МФС-базиса обеспечивает «привязку» 
базиса к случайной функции (модули спектральных плотностей базисных 
функций совпадают с квадратным корнем из энергетического спектра случайной функции).

Функции МФС-базиса, являются собственными функциями взвешенно
го корреляционного ядра 
)
(
)
,
(
h
t
Rx
, а дисперсии коэффициентов разложе
ния случайного процесса по данному базису обратно пропорциональны собственным числам данного ядра.

Коэффициенты разложения случайной функции по функциям МФС
базиса некоррелированы между собой.

Ортогонализация базисных функций достигается путем определения ве

совой функции. 

Вес ортогональности может принимать как положительные, так и отри
цательные значения.

Предложенная процедура ортогонализации позволяет сохранить перво
начальную форму ортогонализуемых функций. 

Вес с минимальной энергией однозначно определяется базисными

функциями и представляет собой квадратичную форму от этих функций. 

Вес бесконечного эквидистантного базиса является периодической 

функцией. 

Для представления функции 
)
(t
f
со спектральной плотностью
)
j(
в 

виде ряда по координатным функциям МФС-базиса, полученного путем 
смещения функции 
)
(
0 t
со спектральной плотностью 
)
j(
0
F
на n
, доста
точно 
)
(
J
2
2
3

2
1

3
C
C
N
слагаемых, причем 
3
C
пропорционально количе
ству точек разрыва функции 
))
)
j(

)
j(
(arg
tg
(
arctg

0
F
.

Величина смещения базисных функций равна 
6
1

2 .

Модули коэффициентов ряда с ростом n убывают, как 

n

n
C

n
2
e

2

1
3
. 

Библиографический список 
1. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам 

автоматического управления / В.С. Пугачев. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 
1960. – 883 с.

2. Свириденко В.А. Анализ систем со сжатием данных / В.А. Свири
денко. – М.: Связь, 1977. – 184 с. 

3. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры / Г. Лэм. – М.: Мир, 1982. –

592 с. 

4. Дегтярев А.Н. Ортогонализация функций, дискретизация и восста
новление сигналов в физически реализуемых системах / А.Н. Дегтярев, Р.Е. 
Агаханянц // Зв’язок. – 2005. – № 2(54). – С. 45 – 52.

5. Дегтярев А.Н. Количество степеней свободы физически реализуемо
го сигнала/ А.Н. Дегтярев, Р.Е. Агаханянц // Зв’язок. – 2008. – № 2(70). – С. 
64 – 68.

6. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы / Д. Джексон. –

М. Гос. изд. иностр. лит., 1948. – 260 с.

7. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, 

функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М. Наука, 1974. – 296 с.