Теория случайных процессов
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Основы математики
Издательство:
Физматлит
Год издания: 2005
Кол-во страниц: 400
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.03: Механика и математическое моделирование
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Булинский А.В. Ширяев А.Н. Теория случайны х процессов МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®
УДК 519.216.2 ББК 22.171 Б 90 Бул и н с к и й А. В., Ш и р я е в А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 400 с. — ISBN 978-5-9221-0335-0. Книга создана на основе лекций, прочитанных авторами в разные годы на механикоматематическом ф-те МГУ им. М. В. Ломоносова. Материал значительно превышает рамки учебного курса, чтобы дать более глубокое представление о разнообразных разделах теории и ее применениях. Сложные доказательства вынесены в «Приложения». «Дополнения и упражнения» помогают в усвоении материала. Для профессорско-преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов. Ил. 19. Библиогр. 198 назв. ISBN 978-5-9221-0335-0 c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2005 c⃝ А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, 2003, 2005
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
I.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
,
.
.
.
.
.
.
,
,
,
{,
.
-B
T
.
.
.
.
(R
n
;
B(R
n
)).
.
B
T
T
.
.
.
.
.
I
I.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
.
.
().
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I
I
I.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
.
.
().
.
.
,
.
-F
,
,
.
.
.
.
,
[0;
t].
.
.
IV.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
108
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
().
.
.
.
{.
L
1
(;
F
;
P).
.
.
.
V.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
147
.
.
.
.
C
(T
;
S).
.
.
{.
,
.
.
.
,
.
.
{.
VI.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
180
.
R
d
.
.
,
.
.
.
d-.
,
5
.
.
.
.
.
Q
(P(t))
t>0
.
.
Q
.
.
,
.
VI
I.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
225
-.
,
.
,
.
.
.
.
{.
.
L
2
().
.
.
.
.
.
.
.
{.
VI
I
I.
.
.
.
.
.
.
.
.
276
.
.
.
.
.
{.
.
.
1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
317
2.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
323
3.
.
.
.
.
.
.
.
327
4.
{.
.
.
.
.
.
.
337
5.
{.
.
.
.
.
.
340
6.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
344
7.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
354
8.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
364
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
383
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
385
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
393
,
-.
.
.
.
6-(4-)
(5-).
,
.
|
.
.
\"
.
,
\"
.
.
.
[34]
\"
.
,
,
(,
).
\"
,
,
.
,
,
,
.
{,
(),
,
.
,
,
,
,
{,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
7
{,
.
.
|
,
.
200
.
,
,
[85].
.
I
,
,
.
I
I
,
.
I
I
I
.
IV,
VI
VI
I
,
.
V
,
,
.
VI
I
I
(,
)
.
.
,
,
,
,
|
.
.
\"
.
()
()
,
,
(I
I.10)
|
(10)
I
I,
(6.2)
{
(2)
6.
.
\"
,
.
,
-.
.
.
.
,
.
.
.
.
02-01-14077.
.
.
,
.
.
-.
.
.
:=
\"
N
|
,
N
=
N
[
f1g,
Q
|
,
Z
|
,
Z
+
|
,
R
|
,
R
=
R
[
f1g,
C
|
,
a;
b
2
R,
a
^
b
=
min
fa;
bg,
a
_
b
=
maxfa;
bg,
a
+
=
maxfa;
0g,
a
=
maxfa;
0g,
[a]
|
a,
sgn
a
|
,
A
|
A,
1
A
|
A,
[A]
|
A
(),
@
A
|
A
(),
(S;
)
|
S
,
B
r
(x)
|
r
x,
C
(T
;
S)
|
T
S,
C
1
0
(R
m
)
|
,
k
k
H
|
()
H
,
(;
F
;
P)
|
,
E
|
,
D
|
,
cov
(X
;
Y
)
|
X
Y
,
E
(X
j
A
)
|
X
-A
,
X
2
F
j
B
,
X
-F
B,
fM
g
|
-,
M
S
(S),
B(S)
|
-S,
B
T
|
-(S
t
;
B
t
),
t
2
T
,
P
X
(PX
1
La
w
(X
))
|
X
,
fX
t
,
t
2
T
g
|
-,
X
t
,
t
2
T
((;
F
;
P)),
Q
n
=
)
Q
|
Q
n
Q,
X
n
D
!
X
|
X
n
X
,
X
n
P
!
X
|
X
n
X
,
mes
|
,
N(a;
C
)
|
a
C
,
W
=
fW
(t),
t
>
0g
|
(),
F
=
(F
t
)
t2T
|
,
F
X
=
(F
X
t
)
t2T
|
X
=
fX
t
,
t
2
T
g,
P
(s;
x;
t;
B
)
|
,
p
i;j
(t)
|
.
I
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
,
{,
.
-B
T
.
.
.
.
(R
n
;
B(R
n
)).
.
B
T
T
.
.
.
.
.
x
1.
,
,
,
,
,
,
.,
.
,
\"?
(,
.
.),
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
.
1827
.
(R.
Bro
wn)
.
,
,
.
19
|
20
,
.
,
-.
12
.
.
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
.
.
1997
.
.
,
,
.
,
,
,
,
.
1
.
,
,
,
,
.
,
\"
,
,
:
G
R
d
,
().
2
.
,
\"
.
,
,
,
,
,
,
.
?
,
,
(,
,
.),
,
().
3
.
:
t
t
+
s
(s
>
0).
,
,
,
(-,
).
4
.
,
,
(),
,
.
?
,
,
.
,
{,
()
".
5
.
,
.
,
,
\"
,
,
,
,
.
,
3
{5
.
-,
.
I.
.
13
,
-,
.
,
,
.
,
.
,
.
.
(x
2),
(x
6),
(x
7)
x
9,
,
x
8.
,
(x
12)
,
.
2
(x
15).
x
2.
,
,
(;
F
;
P),
..
(;
F
)
P.
,
|
,
-().
-,
-.
,
,
,
-,
.
P,
,
|
,
P()
=
1.
.
,
S.
(;
F
)
(S;
B)
|
(6=
?
S
6=
?).
1.
X
:
!
S
F
j
B-(X
2
F
j
B),
X
1
(B)
F
,
..
X
1
(B
)
:=
f!
:
X
(!
)
2
B
g
2
F
B
2
B.
F
j
B-S.
M
S
fM
g
-S,
M
.
S
|
,
,
,
,
,
-B(S)
-fM
g,
M
|
S.
S
=
R
k
(),
B
=
B(R
k
)
k
>
1
X
(F
j
B-)
,
k
=
1,
()
.
X
|
(;
F
),
F
j
B(R)-X
,
,
F
-.
. . , . . 1. X : ! S (X --) M | S. X 2 A j fM g, A := fX 1 (M )g. fX 1 (M )g = X 1 (fM g): . , D = fD S : X 1 (D ) 2 A g -, A --. M D . , fM g D , , X 2 A j fM g, . . X 1 (fM g) A . , X 1 (M ) X 1 (fM g), X 1 (fM g) -. A = fX 1 (M )g X 1 (fM g). , A = X 1 (fM g). 1. -F . X 1 (M ) F , X 2 F j fM g. 1 fX 1 (M )g F : , B = fM g F j B-X B, , X 1 (B ) 2 F B M . X R k (, ) , z = (z 1 ; : : : ; z k ) 2 R k f! : X (! ) 6 z g := f! : X 1 (! ) 6 z 1 ; : : : ; X k (! ) 6 z k g 2 F : 1. , -, . A = fX t ; t 2 T g, X t : ! S t , (S t ; B t ) | , t 2 T , , A | -, X t 2 A j B t t 2 T . , A = fX 1 t (B t ) : B t 2 B t ; t 2 T g X t 2 F j B t t 2 T , , , A F . x 3. -. -C S, , . . A; B 2 C , A \ B 2 C (C S). -D S : S 2 D A; B 2 D , A B , B n A 2 D , , A n 2 D , n 2 N , A n " A . . A n A n+1 , n 2 N , A = 1 S n=1 A n , A 2 D . K S () -fK g -fK g S, K . M S -, M -.
. I. . 15 1 (). -C -D S , C D . fC g = fC g D . . , D = fC g. , D -, D -, C . , , A \ B 2 D , A; B 2 D . B 2 C F B = fA S : A \ B 2 D g. F B -C F B . D = fC g F B . , A \ B 2 D A 2 D B 2 C . A 2 D G A = fB S : A \ B 2 D g. , D G A A 2 D . , D fC g fC g. , fC g fC g. 1 . . . . . -D -. , , . 2. (; F ) P Q, F = fC g, C -. P Q F , P = Q C . . . , A 2 F , P(A) = Q(A), -. 3. (; F ; P) | A | F . C 2 fA g inf A2A P(C 4 A) = 0; (1) C 4 A = (C n A) [ (A n C ). , C 2 fA g " > 0 A " 2 A , P(C 4 A " ) < ", jP(C ) P(A " )j < ". . C A , -, (1). , , (1), -. 1. 4 (). S | Q | B(S). B Q(B ) = sup F Q(F ) = inf G Q(G); (2) F B , | G B .
.
.
,
.
.
.
|
S
(x;
D
)
=
inf
f(x;
y
)
:
y
2
D
g,
x
2
S,
D
S.
>
0
F
F
=
fx
2
S
:
(x;
F
)
<
<
g.
,
F
|
F
#
F
#
0.
(2)
B
.
(.
[2,
.
16]),
B
,
(2),
-.
,
B(S)
|
-,
S.
x
4.
(;
F
;
P).
N
|
,
C
2
N
(
)
9
D
2
F
:
C
D
P(D
)
=
0.
F
|
A
[
C
,
A
2
F
C
2
N
.
,
F
-(F
P).
P
-F
P(A
[
C
)
=
P(A);
A
2
F
;
C
2
N
(3)
(N
).
,
P
F
.
,
F
=
A
[
C
=
B
[
D
,
A;
B
2
F
C
;
D
2
N
,
P(F
)
=
P(A)
=
P(B
).
(;
F
;
P)
(P)
(;
F
;
P).
,
,
F
P
(N
).
-A
F
,
P-N
,
-A
(P)
=
A
[
N
(A
(P)
,
(3)).
,
A
(P)
=
fA
;
N
g.
,
P
A
P
-F
-A
F
A
P
A
,
,
,
-,
A
(P)
.
(;
F
;
P)
,
A
(P)
A
.
x
5.
.
5.
(M
;
G
)
|
,
(S;
)
|
-B(S).
h
n
:
M
!
S,
h
n
2
G
j
B(S)
n
=
1;
2;
:
:
:
.
h
n
(x)
!
h(x)
x
2
M
,
.
.
(h
n
(x);
h(x))
!
0
n
!
1.
h
:
M
!
S
G
j
B(S)-.
.
B
2
B(S)
fx
:
h(x)
2
B
g
=
1
\
k
=1
1
[
m=1
\
n>m
fx
:
h
n
(x)
2
B
(1=k
)
g
2
G
;
B
(")
=
fx
2
S
:
(x;
B
)
<
"g,
(x;
B
)
=
inf
f(x;
y
)
:
y
2
B
g.
1.
.
I.
.
17
6.
5
(M
;
G
)
P
h
n
(x)
!
h(x)
n
!
1
P-..
x
2
M
(.
.
P(x
2
M
:
h
n
(x)
9
h(x),
n
!
1)
=
0).
h
G
j
B(S)-,
G
|
G
P.
.
h
n
(x)
!
h(x),
n
!
1,
x
2
M
0
,
P(M
0
)
=
1.
z
0
2
S
e
h
n
(x)
=
h
n
(x)
x
2
M
0
e
h
n
(x)
=
z
0
x
2
M
n
M
0
,
n
2
N
.
e
h
n
(x)
!
e
h
(x)
x
2
M
,
e
h(x)
=
h(x)
x
2
M
0
e
h
(x)
=
z
0
x
2
M
n
M
0
.
,
e
h
n
2
G
j
B(S).
5
,
e
h
G
j
B(S)-.
,
B
2
B(S)
h
1
(B
)
=
fM
0
\
e
h
1
(B
)g
[
f(M
n
M
0
)
\
h
1
(B
)g
2
G
;
M
0
2
G
,
e
h
1
(B
)
2
G
(M
n
M
0
)
\
h
1
(B
)
M
n
M
0
,
P(M
n
M
0
)
=
0.
7.
(;
F
;
P)
-A
F
.
Y
(!
)
A
-,
A
-Z
(!
)
,
Y
=
Z
(P-..),
.
.
P(!
2
:
Y
(!
)
6=
Z
(!
))
=
0.
.
Y
2
A
j
B(R).
\"
Y
n
(!
)
=
2
n
1
X
k
=2
n
k
n2
n
1
f!
:
Y
(!
)2(k
n2
n
;(k
+1)n2
n
]g
(!
);
n
2
N
;
(4)
,
,
1
B
(
)
{
B
,
1
B
(x)
=
1;
x
2
B
;
0;
x
=
2
B
:
(5)
(1
B
(x)
1
fB
g.)
,
Y
n
(!
)
!
Y
(!
)
n
!
1
!
2
,
Y
n
2
A
j
B(R),
n
2
N
.
-A
f!
:
Y
(!
)
2
(k
n2
n
;
(k
+
1)n2
n
]g
=
A
n;k
[
C
n;k
;
A
n;k
2
A
,
C
n;k
2
N
(k
=
2
n
;
:
:
:
;
2
n
1,
n
2
N
).
A
=
1
[
n=1
2
n
1
[
k
=2
n
A
n;k
:
A
2
A
P(A)
=
1.
Z
n
(!
)
=
1
A
(!
)
2
n
1
X
k
=2
n
k
n2
n
1
A
n;k
(!
);
!
2
;
n
2
N
:
. . , . . , Z n 2 A j B(R), Z n = 0 ! = 2 A (n 2 N ) Z n (! ) ! Y (! ) n ! 1 ! 2 A. 5 Z = 1 A Y 2 A j B(R). , Z = Y (P-. .). , Z . Z 2 A j B(R) Y = Z . . (. . P-. .). Z n = Z , n 2 N . Z n ! Y . . n ! 1, 6 Y 2 A j B(R), . x 6. . (; F ) (S; B) | , (; F ) P. X : ! S F j B-. 2. , , X B, P X P X (B ) := P(X 1 (B )); B 2 B: (6) X PX 1 , La w (X ) La w (X j P), , P . P X P () X . . 1 , F j B-, (; F ; P) S, (S; B), , . , X P X . 8. Q (S; B) X . = S, F = B, P = Q X (! ) = ! (). x 7. . 3. X = fX (t), t 2 T g X (t), t 2 T (; F ), .
.
I.
.
19
,
,
.
,
X
(t),
t
2
T
,
(;
F
).
,
X
(t),
t
2
T
,
,
.
,
(S
t
;
B
t
)
t2T
.
X
=
fX
(t),
t
2
T
g
X
=
X
(t;
!
),
T
,
t
2
T
S
t
F
j
B
t
-(X
(t;
)
:
!
S
t
).
X
=
X
(t;
!
)
,
(;
F
)
(S
t
;
B
t
)
t2T
.
X
=
fX
(t),
t
2
T
g,
t
2
T
,
,
X
(t;
!
)
=
(!
)f
(t);
|
,
(;
F
;
P),
f
:
T
!
R.
,
,
,
.
4.
!
X
(
;
!
),
X
(t;
!
),
t
2
T
,
,
.
!
X
(t)
X
t
,
.
T
R
=
=
(1;
1),
t
2
T
.
T
|
,
,
,
,
,
T
Z
=
f:
:
:
;
1;
0;
1;
:
:
:
g
{
.
T
R
d
,
d
>
1,
X
.
,
()
X
=
fX
t
,
t
2
T
g
T
0
T
.
,
X
=
fX
t
,
t
>
0g
>
0,
.
.
Y
=
fX
n
,
n
=
0;
1;
2;
:
:
:
g.
,
,
T
R
d
(d
>
1),
(T
-).
,
fX
t
,
t
2
U
g
fX
t
,
t
2
V
g
U;
V
T
.
(T
R).
,
,
T
(S
t
;
B
t
)
t2T
,
,
.
,
20
.
.
,
.
.
()
.
(,
)
,
,
,
.
.,
.
x
8.
,
(;
F
;
P),
-(),
.
5.
(,
,
-)
A
1
;
:
:
:
;
A
n
F
(n
>
2)
(),
P(A
1
A
n
)
=
P(A
1
)
P(A
n
)
(7)
A
k
2
A
k
,
k
=
1;
:
:
:
;
n.
A
t
F
(2
A
t
),
t
2
T
,
,
A
t
1
;
:
:
:
;
A
t
n
n
>
2
t
1
;
:
:
:
;
t
n
2
T
.
9.
-M
1
;
:
:
:
;
M
n
F
(n
>
2).
-fM
1
g;
:
:
:
;
fM
n
g.
-,
N
.
.
D
1
|
F
,
(7)
A
1
2
D
1
A
k
2
M
k
,
k
=
2;
:
:
:
;
n.
,
D
1
-,
M
1
D
1
.
1
,
fM
1
g
D
1
.
D
2
,
A
2
,
(7)
A
1
2
fM
1
g
A
k
2
M
k
,
k
=
3;
:
:
:
;
n.
,
.
,
A
-G
,
.
.
-G
N
,
A
=
C
[
D
,
C
2
G
D
2
N
.
()
fX
t
,
t
2
T
g,
(;
F
;
P)
t
2
T
-(S
t
;
B
t
),
-fX
t
g
=
X
1
(B
t
),
t
2
T
.
,
X
t
,
t
2
T
(T
),
,
P(X
t
1
2
B
1
;
:
:
:
;
X
t
n
2
B
n
)
=
n
Y
k
=1
P(X
t
k
2
B
k
)
(8)
n
>
2,
t
1
;
:
:
:
;
t
n
2
T
B
k
2
B
t
k
,
k
=
1;
:
:
:
;
n.
.
.
I.
.
21
2
({,
[161]).
(S
t
;
B
t
)
t2T
|
t
2
T
(S
t
;
B
t
)
Q
t
.
(;
F
;
P)
X
t
:
!
S
t
,
X
t
2
F
j
B
t
,
,
P
X
t
=
Q
t
B
t
t
2
T
.
,
.
,
,
(S;
B)
(S
t
;
B
t
)
t
2
T
(.
6).
x
12
(4),
.
1.
x
9.
,
,
.
.
,
,
2
3.
1.
0
;
1
;
:
:
:
|
,
(;
F
;
P)
R
m
(m
>
1).
()
S
n
=
n
X
j
=0
j
;
n
2
Z
+
=
f0;
1;
:
:
:
g;
(9)
.
,
0
()
n
2
N
n
,
(n;
S
n
)
.
2.
1
;
2
;
:
:
:
X
0
(!
)
=
0;
X
t
(!
)
=
sup
n
:
X
j
6n
j
(!
)
6
t
;
t
>
0:
(10)
,
X
t
(!
)
=
0,
1
(!
)
>
t.
,
X
t
(!
)
R
=
R
[
f1g;
-B(R
)
B
B
[
f1g,
B
2
B(R).
\"
.
,
t
0
=
0,
,
j
,
(,
),
.
X
t
(!
)
(\")
(0;
t].
X
=
fX
t
(!
),
t
2
R
+
=
[0;
1)g
.
2.
.
.
,
.
.
.
2
3.
(;
F
;
P)
fj
,
j
2
N
g
fj
,
j
2
N
g
,
fj
;
j
,
j
2
N
g
La
w
(j
)
=
La
w
(1
),
La
w
(j
)
=
La
w
(1
),
j
2
N
.
y
0
c
Y
t
(!
)
=
y
0
+
ct
X
t
(!
)
X
j
=1
j
(!
);
t
>
0;
(11)
X
t
(!
)
(10).
(11)
{(.,
,
[86;
.
99]),
y
0
|
,
c
|
,
j
|
j
=
j
P
i=1
i
(j
2
N
),
Y
t
t.
4.
1
;
2
;
:
:
:
|
,
(;
F
;
P)
R
m
(m
>
1).
P
n
(B
;
!
)
=
1
n
n
X
j
=1
1
B
(j
(!
));
B
2
B(R
m
);
n
2
N
:
(12)
3,
,
(12)
n
2
N
,
B
,
.
.
T
=
B(R
m
).
1
B
(12)
f
H
.
f
,
.
5.
fj
,
j
2
Z
d
g
|
,
R
m
.
-)
B(R
d
),
d
>
1.
S
n
(B
;
!
)
=
X
j
2Z
d
j
(!
)(nB
\
C
j
);
B
2
B([0;
1]
d
);
n
2
N
;
(13)
)
-(S;
B),
S
=
1
S
n=1
S
n
,
S
n
2
B
(S
n
)
<
1
n
2
N
.