Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч. 2

Издание второе, исправленное

2015

  2    

УДК 517
ББК 22.1
Л 84

Л у н г у
К. Н.,
М а к а р о в
Е. В.
Высшая
математика.
Руководство
к решению задач. Ч. 2. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. —
384 с. — ISBN 978-5-9221-1603-9.

Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций
и проведения практических занятий по высшей математике в Московском государственном открытом университете на различных факультетах. Оно является
продолжением части 1 одноименного учебного пособия и содержит указания
по решению задач основного курса, начиная с неопределенного интеграла
и заканчивая дифференциальными уравнениями, а также задач по теории вероятностей и математической статистике. Наряду с большим числом решенных
задач, приводятся упражнения для самостоятельного решения; ко всем главам
даны контрольные задания.
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям в области техники
и технологии.

ISBN 978-5-9221-1603-9

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007, 2009, 2015

c⃝ К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров, 2007, 2009,
2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Р а з д е л
A. Основной курс

Г л а в а I. Неопределенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл . .. . . . . . . . . . . . .
8
§ 2. Простейшие методы интегрирования . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 3. Интегрирование по частям . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 4. Интегрирование рациональных функций . .. . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций . .. . . . . . .. . . . .
40
§ 6. Интегрирование гиперболических функций . .. . . . . . . . . . . . .
45
§ 7. Интегрирование иррациональных функций. .. . . . . . . . . . . . . .
47
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

Г л а в а II.
Определенный интеграл и его применения . . . . . . . . . .
58
§ 1. Определение, свойства, вычисление и применения определенного
интеграла . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
58
§ 2. Применения определенного интеграла к вычислению геометрических величин . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
§ 3. Применения определенного интеграла к вычислению физических
величин . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
§ 4. Несобственные интегралы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
86
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Г л а в а III.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
94
§ 1. Двойной интеграл, его свойства и вычисление . .. . . . . . . . . . .
94
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле. .. . . . . . . . . . . . . . .
104
§ 3. Применения двойного интеграла. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
§ 4. Тройной интеграл и его свойства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
§ 5. Криволинейные интегралы. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
§ 6. Поверхностные интегралы . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147

Г л а в а IV. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрический
смысл дифференциального уравнения и его решения . .. . . . .. . .
151
§ 2. Уравнения с разделенными и с разделяющимися переменными
157
§ 3. Однородные уравнения первого порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . .
161
§ 4. Линейные
дифференциальные
уравнения
первого
порядка
и уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
167

Оглавление

§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные
относительно производной. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
§ 7. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Уравнения, допускающие понижение порядка . .. . . . . . . . . . . . . . . .
179
§ 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. .. . . . . . . . . . .. . . . .
186
§ 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. .. . . . . . . . . . .. . . . .
191
§ 10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
§ 11. Системы дифференциальных уравнений. .. . . . . .. . . . . . . . . . .
202
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
Г л а в а V. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
§ 1. Числовой ряд и его сходимость . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
218
§ 2. Сходимость знакопеременных рядов . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .
226
§ 3. Функциональные ряды. Степенные ряды . .. . . . . . . . . . . . . . .
228
§ 4. Применение рядов в приближенных вычислениях. Разложение
функций в степенной ряд . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
§ 5. Ряды Фурье . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
250

Р а з д е л
Б. Основы теории вероятностей
и математической статистики
Г л а в а VI. Случайные события. Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . .
252
§ 1. Элементы комбинаторики . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
§ 2. Основные понятия теории вероятностей. .. . . . . . . . . . . . . . . .
257
§ 3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий . .. . . . .
265
§ 4. Теорема умножения вероятностей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
§ 5. Теорема сложения вероятностей совместных событий. .. . . . . . .
273
§ 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. .. . . . . . . . . . .
275
§ 7. Повторные испытания. Формула Бернулли . .. . . . . . . . . . . . . .
280
§ 8. Формула Пуассона. Поток событий . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
§ 9. Формула Лапласа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
§ 10. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности события . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
Контрольные задания . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
Г л а в а VII. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
§ 1. Дискретные случайные величины. Основные законы распределения. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
§ 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин . .. . .
302
§ 3. Непрерывные случайные величины . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
309
§ 4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин . .. .
312
§ 5. Основные законы распределения непрерывных случайных величин . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
§ 6. Закон больших чисел . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
324
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
326
Г л а в а VIII.
Элементы математической статистики . . . . . . . . . . . .
333
§ 1. Статистический материал и его обработка . .. . . . . . . . . . . . . .
333
§ 2. Числовые характеристики законов распределения эмпирических
величин . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337

Оглавление
5

§ 3. Построение теоретического закона распределения и его согласование с эмпирическими данными . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
§ 4. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной
совокупности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
§ 5. Проверка гипотезы о распределении генеральной
совокупности по биномиальному закону . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
§ 6. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности
по закону Пуассона . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
357
§ 7. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности
по показательному закону . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358
§ 8. Линейная корреляция случайных величин . .. . . . . . . . . . . . . .
360
§ 9. Однофакторный дисперсионный анализ . .. . . . . . . . . . . . . . . .
364
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
Приложение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382

Предисловие

Настоящее учебное пособие написано авторами на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий
в Московском государственном открытом университете на различных
факультетах очной, заочной и вечерней форм обучения, где математика
не является профилирующей дисциплиной. Оно содержит программный материал по высшей математике, относящийся ко второму курсу,
и является продолжением одноименного пособия, изданного в 2004 г.
Усвоение материала второй части курса высшей математики зависит
от уровня понимания материала первой ее части, ибо нельзя интегрировать и тем более решать дифференциальные уравнения, не умея
дифференцировать, нельзя исследовать сходимость числовых и функциональных рядов, не зная определения предела, и т. п.
Пособие содержит такие разделы основного курса высшей математики, как интегральное исчисление, дифференциальные уравнения
и ряды, основы теории вероятностей и математической статистики.
Каждый параграф всех восьми глав, как правило, имеет единую структуру. В начале параграфа даны основные теоретические сведения,
формулировки теорем, их интерпретации, формулы. Затем приведено
достаточное количество решенных примеров, которые позволят грамотно и без дополнительного обращения к учебникам выбрать правильный подход к решению конкретных задач. Решенные в пособии
задачи не только имеют алгоритмический характер, но и способствуют
формированию и развитию у студента аналитико-синтетического стиля
мышления, который должен обеспечить возможность проанализировать и решить любую задачу из раздела «Упражнения», помещенного
в конце параграфа.
Настоящее пособие представляет собой значительно переработанный, улучшенный и расширенный вариант книги, вышедшей ранее
в издательстве МГОУ. Здесь добавлены три главы, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике. В отличие от других
аналогичных пособий, книга дополнена параграфом «Элементы комбинаторики», который важен для вычисления вероятностей случайных
событий. К сожалению, комбинаторика не предусмотрена общеобразо

Предисловие
7

вательной программой по математике для средней школы, а в учебниках по теории вероятностей она также отсутствует.
При подготовке настоящего издания мы использовали психологические, педагогические и методические концепции современного образования, имеющиеся возможности для развития у студента интереса
к учебному предмету, организации самостоятельного изучения математики и индивидуализации обучения.
Главы I, II, V, VI, VII, §§1–6 гл. IV и контрольные работы ко
всем главам написаны К.Н. Лунгу, а главы III, VIII, §§7–11 гл. IV —
Е.В. Макаровым.
Улучшению настоящего издания способствовали замечания, подсказки и советы профессоров А.Б. Будака (МГУ), В.И. Михеева
(РУДН), А.А. Пунтуса (МАИ), Л.А. Уваровой (МГТУ «Станкин»).
Всем им авторы признательны и благодарны.

Г л а в а I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Р а з д е л
A.
Основной курс

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

1.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла

1◦. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на
отрезке [a; b], если при всех x ∈ [a; b] имеет место равенство F ′(x) =
= f(x), или, что то же самое, dF(x) = f(x)dx.
Например, первообразной для функции f(x) = cos x, x ∈ (−∞, +∞),
является F(x) = sin x, так как (sin x)′ = cos x, или d(sin x) = cos x dx.
Очевидно, что первообразными для f(x) = cos x являются также
функции F(x) = sin x + C, где C — любая константа (постоянная):
d(sin x + C) = cos xdx.
Теорема 1. Если F(x) — некоторая первообразная для функции
f(x), x ∈ [a; b], то множество всех первообразных для f(x) имеет
вид F(x) + C, где C — произвольная постоянная.
Множество всех первообразных F(x) + C для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
f(x) dx, т. е.
f(x) dx = F(x) + C.

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx —
подынтегральным выражением, или дифференциалом; x — переменная интегрирования, — знак интеграла.
Действие нахождения неопределенного интеграла (первообразной)
называется интегрированием; оно является обратным действию дифференцирования. Правильность действия интегрирования проверяется
дифференцированием.

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
9

O

Рис. 1.1

2◦. Геометрически неопределенный
интеграл f(x) dx представляет собой
семейство (множество) «параллельных
кривых» y = F(x) = C (каждому значению постоянной C соответствует определенная кривая семейства). График
каждой первообразной называется интегральной кривой (рис. 1.1).
3◦. Функция f(x), имеющая неопределенный интеграл, называется интегрируемой.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b],
то она интегрируема на этом отрезке.
П р и м е ч а н и е. Теорема 2 гарантирует существование неопределенного интеграла (первообразной) для каждой непрерывной функции,
но не обеспечивает его нахождение в явном (формульном) виде. Например, cos x2 dx существует, но невозможно указать такую элементарную функцию F(x), чтобы F ′(x) = cos x2.

1.2. Свойства неопределенного интеграла

Всюду в дальнейшем функции f(x), g(x) и т. п. считаются непрерывными на некотором отрезке [a; b], а значит, интегрируемыми на нем.
Непосредственно из определения неопределенного интеграла вытекают
следующие его свойства.
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному дифференциалу:
f(x) dx
′
= f(x);
d
f(x) dx
= f(x) dx.

2. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме
этой функции и произвольной постоянной:
dF(x) = F(x) + C.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Af(x) dx = A
f(x) dx.

Это равенство будет применяться и в обратном направлении: постоянный множитель можно вносить под знак интеграла.

Гл. I. Неопределенный интеграл

4. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых
равен алгебраической сумме интегралов от этих слагаемых; в частности,
f(x) ± g(x)
dx =
f(x) dx ±
g(x) dx.

5. Интеграл не зависит от переменной интегрирования, т. е.

если
f(x) dx = F(x) + C,
то
f(u) du = F(u) + C.

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов

За переменную интегрирования в таблице основных неопределенных интегралов принимаем u, так как это удобно для применения
свойства 5.
1. du = u + C.

2. undu = un+1

n + 1 + C при n ̸= −1
du
un = −
1

(n − 1)un−1 + C при n ̸= 1
.

3.
du
u = ln
u
+ C.

4.
audu = au

ln a + C
(eudu = eu + C) .

5.
cos u du = sin u + C
(ch u du = sh u + C) .∗

6.
sin u du = − cos u + C
(sh u du = ch u + C) .

7. tg u du = − ln
cos u
+ C
th u du = ln
ch u
+ C.

8.
ctg u du = ln
sin u
+ C
cth u du = ln
sh u
+ C.

9.

du

cos2 u = tg u + C
du

ch2 u
= th u + C
.

10.
du

sin2 u
= − ctg u + C
du

sh2 u
= − cth u + C
.

11.
du
√

m2 − u2 = arcsin u

m + C.

12.
du

u2 + m2 = 1

m arctg u

m + C.

∗ Здесь и ниже в скобках приведены интегралы от гиперболических
функций.

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
11

13.
du
√

u2 ± m2 = ln
u +
√

u2 ± m2 + C.

14.
du

u2 − m2 =
1
2m ln
u − m
u + m

+ C.

15.
dx
sin u = ln
tg u

2

+ C.

16.
dx

cos u = ln
tg
u

2 + π

4

+ C.

1.4. Табличное интегрирование

1◦. Для того, чтобы приступить к действию интегрирования, необходимо знать наизусть таблицу производных и интегралов. Критерий
правильности интегрирования — это дифференцирование. Запоминанию формул способствует решение задач. Математическая память развивается только через понимание и осознание, а осознание поддерживается только благодаря деятельности.
Специфические приемы развития памяти состоят в том, чтобы понять и уметь применять цепочку действий, приводящих к данному
объекту или понятию. Например, как запомнить формулу 12?
а) Запомним частный случай с m = 1.
б) Надо знать, что tg y и arctg x — взаимно обратные функции,
а значит,
в) произведение их производных равно 1: (tg y)′(arctg x)′ = 1.

г) Производная tg y равна
1

cos2 y т. е. (tg y)′ =
1

cos2 y .

д) С другой стороны, cos2 y =
1

1 + tg2 y .

е) Из б), в), г), д) и знаний обратных функций (в чаcтности,
x = tg y) заключаем, что в правой части последнего равенства имеем
производную arctg x.
В этом нестрогом рассуждении, где еще не используются теория
пределов, нужная для запоминания производных, графики и касательные к ним, интерпретирующие производную, и многое другое, не
следует видеть «методику запоминания». Память — это одна из удивительных индивидуальных способностей, которую каждый человек
должен развивать так, как позволяют его индивидуальные качества.
А такие методики может искать только тот, кто не пропустил свое
развитие. Выход есть для всех: решать задачи (какие можете, но как
можно больше!) и стараться запоминать формулы и использованные

Гл. I. Неопределенный интеграл

приемы. Точнее: «С каждым решенным примером надо быть умнее хотя
бы на один пример!».
2◦. Процесс интегрирования начнем с того, что выделим частный
случай свойства 5 из п. 1.2, с u = ax + b, du = a dx:

если
f(x) dx = F(x) + C, то
f(ax + b) dx = 1

aF(ax + b) + C.
(∗)

Это свойство позволяет распространить всю таблицу п. 1.3 на
случай, когда u = ax + b, т. е. переменная интегрирования — линейная
функция. Итак, прежде чем приступить к содержательному интегрированию, предлагаем выучить наизусть основную таблицу и новую
таблицу с заменой u = ax + b. Это уже дает знание более 40 формул.

Примеры с решениями

П р и м е р 1. Найти (2x − 5)23dx.
Р е ш е н и е. Из формулы 2 таблицы с учетом u = 2x − 5 следует,
что
(2x − 5)23dx = 1

2 · (2x − 5)24

24
+ C = (2x − 5)24

48
+ C.

П р и м е р 2. Найти 37x−1/9dx.
Р е ш е н и е. Из формулы 4 таблицы при u = 7x − 1/9 получаем
37x−1/9dx =
1

7 · ln 337x−1/9 + C.

П р и м е ч а н и е. В дальнейшем для обеспечения непрерывности
интегрирования вспомогательные преобразования, обозначения, замечания будем заключать в фигурные скобки по ходу решения.

П р и м е р 3. Найти
dx
√

4 + x + x2 .

Р е ш е н и е. В подкоренном выражении выделим полный квадрат,
чтобы применить формулу 13 при u = x + 1/2.
dx
√

4 + x + x2 =
dx
15
4 +
1

4 + x + x2
=
dx
x + 1

2

2
+
√

15
2

2 =

=

⎧
⎪
⎨

⎪
⎩

u = x + 1

2

m =

√

15
2

⎫
⎪
⎬

⎪
⎭
= ln

⎛

⎝x + 1

2 +

x + 1

2

2
+
√

15
2

2 ⎞

⎠ + C =

= ln
x + 1

2 +
4 + x + x2
+ C.

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
13

Обратим внимание на совпадение подкоренного выражения в ответе
и в исходном интеграле (предпоследнее выражение можно было пропустить).
П р и м е ч а н и е. В тех случаях, когда выражение под знаком логарифма положительно, знак абсолютной величины опускаем.

П р и м е р 4. Найти
dx
√

3 + 4x − 2x2 .

Р е ш е н и е. Старший коэффициент (−2) квадратного трехчлена отрицателен. Поэтому, выделяя полный квадрат, необходимо ориентироваться на формулу 11. При этом рекомендуется коэффициент 2 вынести
за скобки. Оформим это так:

dx
√

3 + 4x − 2x2 =

=

⎧
⎨

⎩

3 + 4x − 2x2 = 2
3

2 + 2x − x2=

=2
3

2 + 1 − (1 − 2x + x2)
= 2
5

2 − (x − 1)2⎫
⎬

⎭ =

=
dx

√

2 ·
5
2 − (x − 1)2
=

u = x − 1

m2 = 5

2

=

=
1
√

2 · arcsin x − 1
5
2

+ C =
1
√

2 arcsin

√

2 (x − 1)
√

5
+ C.

Еще раз подчеркнем необходимость знания наизусть табличных интегралов и владения формулой (∗).

Например,
dx

cos2(ax + b) = 1

a tg(ax + b) + C;
dx

m2 + (ax + b)2 =

= 1

a arctg ax + b

m
+ C;
dx
m2 − (ax + b)2 = 1

a arcsin ax + b

m
+ C.

П р и м е р 5. Найти
dx

3x2 + x + 1.

Р е ш е н и е. Знаменатель подынтегрального выражения не имеет
действительных
корней.
Поэтому
ориентируемся
на
формулу
12,