Сопротивление материалов [электронный ресурс]


            СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ


Учебное пособие

Второе издание


Москва РИОР

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73
      С64

С64          Сопротивление материалов: Учеб. пособие. — 2-е изд. — М.: РИОР, 2013. —
         182 с.
         ISBN 978-5-369-01131-7
             В учебном пособии в краткой и удобной форме приведены ответы на все основные вопросы, предусмотренные государственным образовательным стандартом и учебной программой по дисциплине «Сопротивление материалов».
             Книга позволит быстро получить основные знания по предмету, повторить пройденный материал, а также качественно подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен.
             Рекомендуется всем изучающим и сдающим дисциплину «Сопротивление материалов».

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73






ISBN 978-5-369-01131-7


© РИОР

              1.  ЗАДАЧИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
              Твердые тела при воздействии на них с какой-либо силой могут изменять свою форму и размеры, т.е. деформироваться. Если после снятия нагрузки тело возвращает свое первоначальное состояние, то деформацию называют упругой. Если после снятия нагрузки тело остается деформированным, то говорят о пластической (остаточной) деформации.
              При создании машин и сооружений необходимо выбрать материал и размеры деталей таким образом, чтобы при воздействии внешних сил сооружения не подвергались разрушению и остаточной деформации, т.е. были достаточно прочными. Прочностью называют способность тел выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий.
              Если при достижении некоторого критического значения внешних воздействий конструкция перестает нормально функционировать, хоть и обладает необходимой прочностью, то говорят о недостаточной жесткости такой конструкции. Следовательно, жесткость — это способность тела сопротивляться влиянию упругой деформации.
              При проектировании необходимо подбирать размеры так, чтобы возникающие в элементах упругие перемещения не нарушали общей работы конструкции или сооружения. Способность тел сохранять устойчивое равновесие называют упругостью. Поэтому можно сказать, что основной задачей предмета «Сопротивление материалов» является расчет элементов конструкций и сооружений, обеспечивающий им прочность, жесткость и устойчивость.

3

2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
              Любой элемент конструкции можно рассматривать как самостоятельный, если воздействие остальных элементов считать силами внешнего воздействия. К внешним силам относят как силы, действующие со стороны других элементов, так и реакции связей (опор). Действующую на тело систему сил принято называть нагрузкой.
              Внешние силы принято делить на объемные, т.е. распределенные по всему объему, и поверхностные, действующие только на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностные силы, в свою очередь подразделяются на сосредоточенные и распределенные по поверхности элемента или по длине элемента. Если сила передается на деталь по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с площадью всего элемента конструкции, силу считают сосредоточенной. Распределенные по поверхности нагрузки характеризуются давлением. Распределенная по длине нагрузка характеризуется интенсивностью, выражаемой единицей силы, отнесенной к единице длины.
              Статические нагрузки характеризуются постоянством во времени. Динамические нагрузки — абсолютное значение, направление и место приложения их изменяются во времени.
              Укажем самые распространенные типы связи. Односвязная опора (шарнирно-подвижная): реакция опоры (RA ) всегда перпендикулярна опорной поверхности. Двухсвязная опора (шарнирно-неподвижная): реакция опоры проходит через центр шарнира, ее направление зависит от действующих сил. В трехсвязной опоре (жесткой заделке), возникают реактивная пара сил (момент М ) и реактивная сила.

              3. ПОНЯТИЕ О ДЕФОРМАЦИЯХ
И НАПРЯЖЕНИЯХ
              Воздействие на тело внешних сил изменяет его внутренние силы. Для определения внутренних сил используют метод сечения. Мысленно рассекаем твердое тело и отбрасываем одну из частей. Оставшаяся часть тела находится в положении равновесия под действием приложенных внешних сил и сил, приложенных к сечению. Теперь можно определить главный вектор действия внутренних сил по сечению. Совмещая плоскость сечения с системой координат, имеем в сечении шесть силовых факторов: продольная сила Nz , пара поперечных сил Qₓ, Qy, изгибающие моменты Mₓ, My , крутящий момент Mz .
              Соответственно видам внутренних силовых факторов различают четыре вида деформаций тела:
            • растяжение или сжатие (если в сечении имеется только продольная сила);
            • сдвиг (если в сечении возникают только поперечные силы);
            • чистый изгиб (если в сечении возникают только изгибающие моменты), поперечный изгиб (если кроме изгибающих моментов возникают поперечные силы);
            • кручение (если в сечении возникает крутящий момент).
              Таким образом, говоря о прочности тела, рассматривать надо не значение внутренних сил, а их интенсивность. Меру интенсивности внутренних сил характеризует напряжение.

5

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
     ПО ПЛОЩАДКАМ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМ К ОСИ СТЕРЖНЯ

Рассмотрим небольшую площадку сечения некоторого тела, действующую на нее; внутреннюю силу обозначим AF. Отношение внутренней силы к единице площадки определяет среднее значение интенсивности на площадке AA:
Pm = AF/AA.
Если бесконечно уменьшать площадку AA, напряжение стремится к своему предельному значению и называется истинным напряжением:

- ,. AF p = lim —.
AA^0 AA


Разложим вектор полного напряжения p на две составляющие: нормальное напряжение о, направленное по нормали к сечению, и касательное напряжение - направленное по касательной к сечению. Между величинами р, ⁻, d существует зависимость, которая выражается формулой:
-   Г2> -2 p = у/о +т .

Когда частицы стремятся сдвинуться относительно друг друга в плоскости сечения, касательное напряжение можно разложить на две составляющие: гzx и гzy. Первый индекс показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй — параллельно какой оси действует напряжение:
-   -2 -2 -2~ Р = у/Оz ⁺тzx ⁺тzy .

7

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами, определенными зависимостями:
dNz = oz dA; dQx = т , dA; dQy = тzy dA.
Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей имеют вид:
dMz = (тzx dA) y - (тzy dA) x; dMx = (oz dA) y; dMy = (oz dA) x.
Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями:
Nz = J°zdA; Qₓ = JtzxdA; Qy = JtzydA;
AAA


My =JazXdA; Mz =J (t^y -TzyX) dA; Mx = J оzy dA. AA                                A

5. ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
     И СЖАТИИ. ЗАКОН ГУКА. КОЭФФИЦИЕНТ ПОПЕРЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Длина стержня, подвергнутого растяжению, увеличивается, а площадь его поперечного сечения уменьшается, при сжатии — наоборот. При этом изменение длины называют линейной продольной деформацией, а изменение площади поперечного сечения — поперечной линейной деформацией. Для оценки интенсивности деформации применяют такие понятия, как относительная продольная е и относительная поперечная е‘ — деформации, приходящиеся на единицу длины или пощади сечения стержня:
              е = A l/l; е‘ = A a /a, где A l — изменение длины стержня; A a — изменение площади сечения.
Продольную деформацию растяжения обычно считают положительной, деформацию сжатия — отрицательной. Продольная и поперечная деформации связаны соотношением:
нгде ц — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), который имеет свое значение для разных тел.
В пределах упругого деформирования экспериментально была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением о и относительной деформацией е:

о = Eе.

9

Это соотношение носит название закона Гука, а коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости первого рода. Модуль упругости — это величина, постоянная для каждого материала.
Если рассматривать участок длиной l, на котором продольная сила (N) и площадь поперечного сечения (A) постоянны, закон Гука можно представить в виде:
A l = Nl/EA,
где произведение EA — жесткость сечения.
При растяжении или сжатии стержня его сечения перемещаются. Осевое перемещение сечений друг относительно друга равно изменению длины стержня между этими сечениями.