Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. №4 часть 1 (9-1)

АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НАУЧНЫХ 

ИССЛЕДОВАНИЙ XXI ВЕКА: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно
практической конференции

2014 г. № 4 часть 1 (9-1)

(Volume 2, issue 4, part 1)

Учредитель – Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Воронежская государственная лесотехническая академия» (ВГЛТА)

Главный редактор
В.М. Бугаков
Заместитель главного редактора
И.М. Бартенев
Члены редакционной коллегии
Д.Н. Афоничев
Т.Л. Безрукова
М.В. Драпалюк
В.К. Зольников
Н.Н. Матвеев
С.М. Матвеев
В.С. Петровский
А.Д. Платонов
А.И. Сиволапов
А.В. Скрыпников
С.И. Сушков
О.В. Трегубов
Н.А. Харченко
М.П. Чернышов
Ответственный секретарь
И.И. Шанин
Компьютерная верстка
И.И. Шанин

Сборник 
зарегистрирован 

Федеральной службой по надзору в 
сфере 
связи, 
информационных 

технологий 
и 
массовых 

коммуникаций.
Свидетельство о регистрации
ПИ № ФС77-54416 от 10.06.2013 г.

Материалы 
настоящего 

сборника могут быть воспроизведены 
только с письменного разрешения 
редакционной коллегии

Сборник 
включен 
в 

Российский 
индекс 
научного 

цитирования 
(РИНЦ). 
Сборник 

реферируется в ВИНИТИ РАН.

ФГБОУ ВПО «ВГЛТА»
394087, г. Воронеж,ул. Тимирязева, 8,
телефон (473) 253-72-51,
факс (473) 253-76-51,
e-mail: conf_vglta@mail.ru
www.conf.vglta.vrn.ru
© ФГБОУ ВПО «ВГЛТА», 2014

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕХНИКЕ И ТЕХНОЛОГИЯХ

MODERN PROBLEMS OF THE ANALYSIS

OF DYNAMIC SYSTEMS

APPENDICES IN EQUIPMENT AND TECHNOLOGIES

18-19 ИЮНЯ 2014 ГОДА, ВОРОНЕЖ

June 18-19, 2014, Voronezh

Международная открытая конференция «Современные проблемы 

анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях»

проведена при финансовой поддержке Российского фонда 

фундаментальных исследований 

(грант № 14-01-06216) 18-19 июня 2014 года.

В настоящий сборник включены материалы международной открытой 

конференции «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в 

технике и технологиях», освещающие актуальные проблемы исследования  

дифференциальных, интегральных уравнений  и их приложений, компьютерных 
технологий  в процессах математического моделирования динамических систем, 

методов и алгоритмов использования математических моделей систем 

лесопромышленного комплекса, а также проблемы повышения качества образования.

Сборник рассчитан на специалистов, направление деятельности которых 

связано с проблемами анализа динамических систем и приложениями в технике и 
технологиях. Он также может быть использован преподавателями, аспирантами, 

магистрантами и студентами при изучении различных дисциплин.

СОДЕРЖАНИЕ

СЕКЦИЯ: АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

ОБРАЗОВАНИЯ

Батыев Р.Р. Негативные и позитивные влияние информационных 
технологий в математическом образовании
9

Вишневецкий А.Л. Факториальные степени и формула ньютона для 
многочленов
13

Гринько Е.П. О некоторых аспектах подготовки будущего учителя 
математики к работе с одаренными детьми
17

Дзундза А.И., Литвинова В.Ю., Пранова Е.В. Культурологические 
цели математического образования
20

Емельянова Т.В.
Принцип наглядности в контексте повышения 

качества математической подготовки иностранных студентов в 
техническом университете
24

Селяков К.Б., Селякова Л.И., Цапов В.А. Проблемы формирования 
эстетической 
культуры 
студентов 
в 
процессе 
математического 

образования
28

Склярова Т.Г. Применение эвристических приемов  при изучении 
алгебры и начал анализа с  целью формирования творческого 
потенциала учащихся
32

Уточкина 
Е.О., 
Спирина 
Н.М., 
Суховеев 
В.С.
Активизация 

самостоятельной работы студентов при изучении математических 
дисциплин
36

Чудина 
Е.Ю., 
Дзундза 
А.И.
Фундаментальная 
математическая 

подготовка как основа профессионального становления будущих 
инженеров
40

Ярхо Т.А.
О приоритете развивающей функции математической 

подготовки студентов современного технического университета
44

СЕКЦИЯ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ

Tran Dinh Ke, Nguyen Van Loi, Valeri Obukhovskii On fractional 
differential variational inequalities
48

Аршава Е.А. Применение метода операторных тождеств для решения 
одного класса интегро-дифференциальных уравнений
50

Байзаев 
С.
К
теории 
ограниченных 
решений 
многомерных 

эллиптических систем на плоскости
55

Гой Т.П. О дифференциальных уравнениях функций, определенных с 
помощью возрастающих и центральных факториалов
58

Головко Н.И., Бондрова О.В. Характеристики незавершенной работы в 
моделях 
СМО 
с 
бесконечным 
накопителем 
и 
постоянной 

интенсивностью входного потока
62

Дадашова И.Б. Некоторые свойства модулей гладкости, порожденной 
обобщенного сдвига Бесселя
65

Жураев Д.А. Регуляризация задача Коши для систем уравнений 
эллиптического типа
69

Зубко О.Л. Релятивистское движение частицы в фотогравитационном 
поле звезды
73

Зубова С.П., Усков В.И. Решение задачи для одного уравнения третьего 
порядка соболевского типа методом каскадной декомпозиции
79

Зубова С.П., Усков В.И.
Решение гиперболического уравнения 

методом декомпозиции
83

Зуев С.В. Свободное уравнение Ван Дер Поля
86

Зюкин П.Н., Сапронов И.В., Уточкина Е.О. О гладких решениях
дифференциального уравнения Эйлера
89

Кузьмина Л.К. Проблемы моделирования  и анализа в динамике 
сингулярно возмущенных систем
92

Лупаренко Е.В.
Обобщение метода суперпозиции в задачах о 

гармонических колебаниях прямоугольных областей общего вида
99

Махней А.В.
Асимптотика фундаментальной системы решений 

квазидифференциального уравнения с мерами на полуоси
103

Мегралиев 
Я.Т.
Об 
одной 
обратной 
краевой 
задаче 
для 

псевдогиперболического 
уравнения 
четвѐртого 
порядка 
с 

интегральным условием первого рода
106

Писарева С.В. Корректная разрешимость некоторых нестационарных 
задач в весовых пространствах Степанова
109

Сапронов И.В., Зюкин П.Н., Зенина В.В. Линейное интегральное 
уравнение Вольтерра I рода в банаховом пространстве
113

Синельников В.О. Дифференциальные и интегральные уравнения при 
моделировании течения газовзвеси в фурме для раздувки шлака 
кислородного конвертера
115

Спирина Н.М., Сапронов И.В., Уточкина Е.О. Сходимость метода 
Тенелли в банаховом пространстве
119

Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. 
Оценка сверху числа 

инвариантных прямых полиномиальных дифференциальных систем на 
плоскости
121

Фастовская Т.Б. Существование глобальных решений нелинейной 
задачи термоупругости
125

Фурменко А.И., Зенина В.В., Соколов В.А. О некоторых алгебрах ли 
малой размерности дифференциальных операторов первого порядка
128

СЕКЦИЯ: ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОСВОЕНИЯ 

ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

Жураева Н.И., Мухаммадиев А.К., Нормуродов Э.Б.
Механизм 

магнитооптической активности РЗ-иона в тулий-иттриевом гранатеалюминате TM3+:YAG
132

Мукосеенко О.А. Конспекты-метапланы по высшей математике как 
средство визуализации учебной информации
136

Уточкина Е.О., Веневитина С.С., Тодераш М.В. Использование 
информационных технологий при изучении математических дисциплин 
в ВУЗе
140

Филимоненкова 
Н.В.
Инновационные 
технологии 
обучения 

функциональному анализу в техническом вузе
145

СЕКЦИЯ: КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОЦЕССАХ 

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Sh.Tuymurodov, L.Xujayev, A.Xayrullayev Solving systems of linear 
equations using ms excel spreadsheet
151

Графов В.В., Сопильняк А.С. Визуализация сечения пуанкаре в 
нелинейных динамических системах
156

Каримбаев Т.Т. Моделирование движения звеньев ударной машины с 
двухкривошипно-ползунным механизмом с воздушной подушкой
160

Нефедов Н.А., Ковцур Е.Г.
Моделирование
процесса доставки 

потребительских товаров в розничную торговую сеть
164

Колий А.С. Компьютерное моделирование времени задержки выезда 
автобуса с остановки в поток автомобилей как динамической системы
167

Кочина 
А.А.
Моделирование 
системы 
работы 
пассажирского 

транспорта на маршрутах
171

Кузло Н.В. Использование компьютерных технологий при изучении 
динамики поступления заявок  на перевозку грузов
175

Нефедов Н.А. Иммитационное моделирование систем управления 
запасами
178

Нефедов Н.А., Птица Н.В. Математическое моделирование влияния 
стоимости часа свободного времени на спрос в розничной торговле
182

Никонов О.Я., Шуляков В.Н., Фастовец В.И. Моделирование нейронечеткого регулятора адаптивной подвески автомобиля
187

Панюшкин 
Н.Н., 
Матвеев 
Н.Н.
Методика 
прогнозирования 

температурного «окна» радиационной защѐлки
191

Пашаев И.Г. Технология получения многослойной металлизации на 
поверхности кремния с использованием аморфного сплава
195

Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Определение качества перфорации 
скважины акустическим методом
198

Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование влияния межфазного 
теплообмена на распространение волн в пористой среде
202

Хусаинова 
Г.Я., 
Хусаинов 
И.Г.
Очистка 
пористой 
среды 

растворителями
206

Чижик В.М. Расчет времени ожидания пассажиров при неравномерной 
динамике движения городского транспорта
210

СЕКЦИЯ: МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ 

ЛЕСОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА

Васильев С.Б., Ефлов В.Б. Копарев В.С.
Оптические оценки 

анизотропии древесного омпозита
213

Ефлов В.Б., Андреев А.А, Колесников Г.Н. Фрактальная размерность 
изображения древесного композита и характеристики процесса 
разрушения
217

Игнатенко 
В.В.,
Бавбель 
Е.И.
Использование 
линейных 

математических моделей в лесопромышленном комплексе
221

Улезло Д.С. Использование OLAP-технологий в метрических методах 
классификации
225

СЕКЦИЯ: МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В 

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ, БИОЛОГИЧЕСКИХ И 

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

Вариводин 
В.А.
Математическое 
моделирование 
показателей              

качества древесины
229

Зеликов В.А., Веневитина С.С., Уточкина Е.О., Зеликова О.А.
Моделирование транспортных потоков
232

Нагорный Е.В., Мосьпан В.Н. Теоретические основы повышения 
эффективности функционирования транспортных объединений на 
конкурентных рынках городских пассажирских перевозок
237

Носиров Б.Н. Математическая модель и система прогнозирование
основного развития и распространения вредителя сельского хозяйства
241

Петровский В.С., Батурин К.В. Математическое обеспечение для 
систем учета лесоматериалов
244

Воронин А.А, Подщипкова Ю.Е.
Моделирование оптимального 

одноступенчатого паводкового гидрографа Волжской ГЭС
248

Пташный О.Д. Элементы дискретного моделирования управления 
технологическим процессом
252

СЕКЦИЯ: СМЕЖНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ, 

ИНЖЕНЕРНОЙ И ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Крючковский В.В. Об одном частном решении сопряженной системы
уравнений термоупругости
255

Писарева С.В., Дмитриева Е.С. Построение минимальной формы 
контактной структуры
259

Попов 
В.М.
Приближенно-аналитический
метод 
расчета 

термосопротивления в зоне контакта твердых тел
262

Попов В.М. Прямое численное решение обратной задачи теплообмена 
(ОЗТ)
271

Попов В.М., Чернышов А.Д., Новиков А.П. Использование метода 
быстрых разложений при определении термосопротивления в зоне 
контакта шаров
277

Свичинская О.В. Применение метода наименьших квадратов при 
определинии количества респондентов для построения моделей выбора 
пассажиром пути передвижения
285

СЕКЦИЯ: ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ 

СИСТЕМЫ

Асмыкович 
И.К., 
Якименко 
А.А.
Линейные 
регуляторы 
в 

дескрипторных системах и системах нейтрального типа
288

Гашимов С.А. Оптимальное управление в квазилинейных нагруженных 
параболических системах
292

Зубова С.П., Раецкая Е.В., Кыонг Фам Туан Constructing of the control  
for completely observable system, which models the process of the vehicle 
movement
296

Касумов 
Р.А.
Разностная 
аппроксимация 
задачи оптимального 

управления для параболического уравнения с критерием качества по 
границе области
299

Касымова Р.С. Задача оптимального управления для эллиптического 
уравнения с управлениями в коэффициентах
303

Корнев С.В., Обуховский В.В. О методе негладкой интегральной 
направляющей функции в задаче о существовании периодических 
решений функционально-дифференциальных включений с невыпуклой 
правой частью
306

Марченко В.М., Борковская И.М., Пыжкова О.Н. О свойствах 
устойчивости и относительной управляемости гибридных дискретнонепрерывных систем
309

Метельский А.В., Карпук В.В. Регулятор полного успокоения для 
линейной автономной дифференциальной системы с запаздыванием
312

Обуховский В.В. О приложениях метода направляющих функций в 
некоторых задачах нелинейного анализа и теории управления
316

Павловская А.Т. Модальное управление системами нейтрального типа 
интегро-дифференциальным регулятором
329

Раецкая 
Е.В., 
 
Зубова 
С.П.
Управление 
для 
наблюдаемой 

динамической системы, описывающей движение летательного аппарата
331

Смирнова Е.В., Уточкина Е.О. Условия оптимальности управления в 
задаче с уравнением состояния, разрывным в промежуточных точках
334

Тагиев Р.К., Габибов В.М. Об одной задаче оптимального управления 
для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием
337

Хусаинова Г.Я., Хусаинов И.Г.
Автоматизация инвентаризации 

программных продуктов на предприятии
340

СЕКЦИЯ: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ 

АНАЛИЗ

Goy T.P. Rising factorial powers and a nonelementary function of the 
Dawson’s integral type
343

Нейматов Н.А. Граничные свойства функций из весовых пространств 
функций 
co 
смешанными
дифференциально-разностными 

характеристиками
347

Филимоненкова Н.В., Данилова К.А., Миронова П.Н. Исследование 
эффекта Гиббса при аппроксимации разрывных функций и обработке 
контрастных изображений
353

Хамраев А.Ю. Динамика FM - кубических стохастических операторов
358

Холькин 
А.М.
Спектр 
несамосопряженного 
дифференциального 

оператора с блочно-треугольными матричными коэффициентами
361

СЕКЦИЯ: АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 004.582

НЕГАТИВНЫЕ И ПОЗИТИВНЫЕ ВЛИЯНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ 

ТЕХНОЛОГИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

NEGATIVE AND POSITIVE IMPACT OF INFORMATION TECHNOLOGY IN 

MATHEMATICS EDUCATION

Батыев Р.Р.

Ташкентский Университет Информационных Технологии Каршинский филиал, 

г.Карши, Узбекистан.

rbatiev@gmail.com

DOI: 10.12737/4689

Аннотация.
В статьи рассматривается актуальность использование 

информационных технологий в математическом образование, еѐ негативные и 

позитивные влияние. Как известно математика является основой всех 

технических наук и дисциплин. Проблемы изучения математики могут 

проявить себя в изучении всех технических наук. Если у ученика были 

проблемы в изучении математики то естественно у него будут сбои в освоение 

информационных технологии и компьютера в целом, потому что вся работа

компьютера связана с математикой.

Abstract. The article discusses the relevance of the use of information 

technology in mathematics education, its positive and negative influence. As you 

know math is the basis for all technical sciences and disciplines. Problems in 

mathematics can manifest themselves in the study of technical sciences. If a student 

had a problem in the study of mathematics then naturally it will have failures in the 

development of information technology and computer in general, because all work 

associated with computer math.

Ключевые слова: математика, информационные технологии, образование, 

эффективность, компьютер, калькулятор:

Keywords:
mathematics, information technology, education, efficiency, 

computer, calculator:

Влияет ли информационные технологии
на человека в процессе

математического
образование 
или нет? Как 
мы знаем 
человечество 

тысячелетиями использовала ручные и механические средства для исчисление 

чисел. Мы начали широко использовать информационные технологии в 

образование не так уже давно примерно 25лет назад или меньше. И помогло ли 

это в повышение эффективности в математическом образование?  Судя по 

всему нет, ученики и студенты постепенно забывают решать
простые 

математические уравнения в уме доверяя калькулятору, компьютеру, интернету 

и даже смартфону. Для учащихся это приводить к автоматизации принятия 

решения - если есть задание то его надо найти либо в интернете либо 

воспользоваться компьютером если радом нету компьютера использовать 

смартфон и конечно же калькулятор. 

Я как специалист и преподаватель по информационным технологиям 

должен поощрят использование информационных технологий, но как показало 

практика это не всегда дает желаемого эффекта. Шесть лет моей 

преподавательской работы с студентами показало что если ученик привык 

использовать разные средства при учебе математики в школе то дальнейшее его 

развития как ИТ специалиста приводится к нулю. И я осознал что 

использование информационных технологии в начальных школах повлияет 

негативно на учеников. Для подтверждения я провел некий маленький 

эксперимент: я дал учащимся два примера обработать простые математические 

уравнения без калькулятора. 

1.
Сложить два числа например: 1556 и 4568.

2.
Найти процент от одного к другому, например: Какой будет 

процент число 60 от числа 550.

Как показал эксперимент, большинство учащихся затруднились ответить, 

потому что они привыкли использовать выше упомянутые средства.

Привыкание к информационным технологиям в начальном этапе образование 

математики приведет к затруднения у учеников и студентов к освоению 

трудных информационно технологических дисциплин. Актуальность проблемы 

математического образования
по моему мнению должна касаться всех 

преподавателей дисциплин информационных технологии. Понимая отлично 

математику можно отлично освоить информационные технологии.

Если вспомним историю появления компьютера, первые компьютера 

разрабатывались для ученных, чтобы тот считывал трудные математические 

счисления. На первых компьютерах в основном работали только математики, 

ведь они понимали суть компьютера, потому что весь процесс работы 

компьютера связан с математикой. Компьютер не может существовать без 

математики. Любой будущий специалист по информационными технологиями

обязан знать математику особенно программисты. И компьютер не должен 

влиять негативно в освоение математики своему основоположнику.

Так как основой всех технических наук является математика, проблемы 

изучения математики могут проявить себя в изучении для всех технических 

наук. Если у ученика были проблемы в изучении математики то естественно у 

него будут сбои в освоение информационных технологий и компьютера в 

целом. Потому что вся работа компьютера связана с математикой. Работа 

микропроцессора, оперативно запоминающего устройства, жесткого диска 

компьютера и так далее работают с помощью математических функций.  Если 

студент не знает математику, это затрудняет изучения дисциплин по 

информационным технологиям. В моей преподавательской карьере было много 

случаев когда мне трудно было объяснить студентам основы работы 

компьютера, программирование, систему управления базами данными. Потому 

что у них не развито умственное мышление, они в большинство случаев 

привыкли к информационным технологиям.  

Как всем известно бывший Советский союз был ведущим поставщиком 

математиков, и почему? Мне кажется ответ такого развития математики

состоит в том что в советском союзе не развивался кибернетика и информатика. 

Как упоминалось в одном документальном фильме про Информационные 

технологии, когда в США трудные математические операции выполняли 

компьютера, ученые из бывшего советского союза придумали алгоритм для 

решения таких задачи. Даже школа Сергея Брина одного из основоположников 

компании Google и его родителей была школа математики бывшего советского 

союза. Но отказ от развития кибернетики и информатики не оправдала себя в 

дальнейшим. Позитивная сторона отказа от развития компьютера это было 

развитие математики, негативная сторона было то что в США произошел 

бурный рост информационных технологий, а в России отставания. Сейчас ИТ 

компании США курирует рынок Информационных технологий в мире, а 

большинства программистов этих компании выходцы из России и Индии. 

Первые шаги по улучшению качество образовании в России уже сделаны. Это 

отказ использовании мобильных телефонов и калькуляторов во время ЕГЭ, 

школьных олимпиад, а также вступительных экзаменов в вузы и средние 

специальные учебные заведения.

Но есть еще и позитивная сторона использование информационных 

технологий в математики когда речь идет о трудных расчетах в промышленной 

отрасли, в бухгалтерии и.т.п компьютер это бессменный помощник человека. 

Онлайн тестировании, онлайн олимпиады, дистанционное обучение учеников 

тоже могут быт хорошими примерами.  В современном обществе мы все равно 

не можем отказаться от компьютера в образовании, по моему мнению 

использование информационных технологий надо отменять в школах во время 

уроках математики хотя бы до шестиклассников или семиклассников, и это 

должно 
привезти 
к 
развитию 
у 
учеников 
умственного 
мышления. 

Использование компьютера в изучении математики после шестого или 

седьмого класса никак не должно повлияет для дальнейшего умственного 

развития учеников.     

И напоследок как сообщает сайт madeformums.com: В Великобритании

школьникам могут запретить использовать калькуляторы, так как «дети с 

трудом запоминают таблицу умножения».«Дети становятся зависимыми от 

калькуляторов, когда используют их в слишком молодом возрасте. Для начала 

они должны освоить сложение, вычитание, запомнить таблицу умножения, а 

уже потом начинать пользоваться различными устройствами»,отметил 

министр школьного образования Англии Ник Гибб.

УДК 517.2

ФАКТОРИАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ И ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ 

МНОГОЧЛЕНОВ

FACTORIAL DEGREES AND NEWTON FORMULA FOR POLYNOMS

Вишневецкий А.Л.

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет, г. Харьков, 

Украина

alexwish@mail.ru

DOI: 10.12737/4690

Аннотация. Рассмотрены факториальные многочлены и факториальные 

степени, получена формула Ньютона для многочленов. 

Abstract. We investigate factorial degrees and factorial polynoms, get Newton 

formula for polynoms.

Ключевые слова: формула Ньютона для многочленов.

Keywords: Newton formula for polynoms.

1. Операторы  и E

Для произвольной последовательности 
 
x
x n

(n
N

, где N – множество 

натуральных чисел) введем оператор разности 
 


 
1
x n
x n
x n




и оператор 

сдвига 
 

1 .
Ex n
x n


Степени этих операторов определим индуктивно: 

 

0 x
x

 , 
 
 



1
k
k
x
x


  
и аналогично для 
k
E . 

Очевидно, 
 

.
k
E x n
x n
k


Однако формула для 
 

kx n

сложнее. Пусть I

– тождественный оператор, то есть Ix
x
 . Тогда  
E
I
 

и E
I
   . Поэтому

 


 


 

0

1

k
k
i
k
i
k i

k

i

x n
E
I
x n
C E
x n










,

 





0

1
1

k
i
k
i
k

i

x n
C x n
k









(1)

Точно так же можно показать, что
 
 

0

k

k
i
k i

k

i

E x n
C
x n








Оператор ∆ соответствует оператору дифференцирования D в дифферен
циальном исчислении. Оба оператора E и ∆, как и оператор D, линейны.

Укажем дискретный аналог простейших свойств определенного 

интеграла:

(i)
 
 
(x)

b

a

df
f b
f a



,   (ii) 
 
 

x

a

d
f t dt
f x

 






.

Лемма 1. Имеют место следующие утверждения:

(i) 
 
 



0

1

0

n

k n

x k
x n
x n









(2)

(ii) 
 
 

0

1
n

k n

x k
x n















(3)

Доказательство формул получается из определений. Например, для (2):

 
 










 



0

1

0
0
0
1
1
2
1

n

k n

x k
x n
x n
x n
x n
x n
x n
x n
x n





















.

Оператор  ∆ действует на многочлен  аналогично оператору дифференци
рования D. А именно, для многочлена  

1

0
1

k
k

k
p n
a n
a n
a






степени k

 





1
1

0
1
0
1
1
1

k
k
k
k

k
k
p n
a
n
a n
a
a n
a n
a


























1

0
(
k
a kn 

 члены степени меньшей 

1 .
k 

Точно так же можно показать, что

 



2
2

0
1
(
k
p n
a k k
n 



 члены степени меньшей 

2 .
k 

Выполняя этот процесс k раз, получим

 
0 !
k p n
a k


,        
 
0
k i p n





0
i 

2. Факториальные многочлены

Для любого вещественного x и числа k
N

назовем k -ым факториалом x

многочлен  
 




1
1

k
x
x x
x
k





.

В частности, если x
n
N


и n
k
 , то 
 




!

!

k
n
n
n
k


,    
 
!

n
n
n

.

Покажем, что функция 
 
k
x
играет в исчислении разностей ту же роль, что 

и многочлен 
kx в дифференциальном исчислении. Для этого продолжим

действие операторов E и ∆ с множества последовательностей на множество 

функций вещественной переменной x :  
 


 
1
f x
f x
f x




,   
 

1 .
Ef x
f x



Тогда

 



 
 
1

k
k
k
x
x
x




,   
 



 
1
.

k
k
Ex
x



Теорема 1. Для любого k
N

имеем:

1)
 

1
k
k
x
kx




,
(4)

2)
 







1
1

k
k n
nx
k k
k
n
x





 



k
n

(5)

Доказательство. 1)
 



 
 

 



1
1
1
2

k
k
k
x
x
x
x
x x
x
k






















1
1
2
1
1
2

k
x x
x
k
x
k
x x
x
k
k
kx
















.

2) Утверждение получается n -кратным применением формулы (4).

Например, при 
2
n 
получаем
 
 
















1
1
2
2
1

k
k
k
k
k
x
x
kx
k
x
k k
x





  
 
 


.

При  k
n

из (5) получаем
 
!

k
kx
k


.

Положим 
 
0
1
x

и для k
N










1

1
1

k
x
x x
x
k







(6)

Теорема 2. Формулы (4) и (5) верны для любого целого числа k .

Доказательство. При 
0
k 
утверждение совпадает с теоремой 1. Случай 

0
k 
тривиален, поэтому достаточно рассмотреть функцию (6) при k
N

. 

Имеем



















1
1
1

1
1
1
2
1
2
1

k
x
x x
x
k
x
x
x
k
x x
x
k
x
k





 



































1
1
1
1

1
1
1
1

k
k
kx
x
x
k
x
k
x
x x
x
k
x
k

 






 














.

и формула (4) доказана. Применяя n раз последнюю формулу, получим (5) . 

3. Факториальные степени

Обычные степени имеют сложные разности. Но эти разности просты для 

факториальных степеней 

k
x . Для любого числа x и любого k
N

положим 

0
1
x  ,





1
1
kx
x x
x
k





,   






1

1
2

k
x
x
x
x
k

 




.

Факториальные степени удовлетворяют правилу сложения 




m
k m
k
x
x
x
k

 

.

Основное свойство факториальных степеней:

1
n
n
x
nx




(7)

Доказательство.
















 


1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
n
nx

 
















.

Лемма. Для любого многочлена P(x) его разность P(x)

является много
членом на единицу меньшей степени. 

Доказательство: индукция по степени n многочлена P (x). При 
1
n 
раз
ность постоянна, т.к. 

ax
b
a


 . Пусть лемма уже доказана для многочленов 

степени 
n

и 
 

1

1
P x
n
n

n
n
a
x
a x





 – многочлен степени 
1
n  . Тогда 

 
 

1

1
P x

n

na
x
Q x






– многочлен степени 
n

и 
 
 

1

1
P x

n

na
x
Q x






 
. По 

предположению индукции 
 
Q x

имеет степень 
1
n

 , а по формуле (7)

многочлен 



1
1

n
n
x
n
x





имеет степень n .

Следствие. Если 
 
P x
0

 , где P (x) – многочлен, то P (x) – константа.

Теорема (формула Ньютона для многочленов). Для любого многочлена 

P(x)

 
 

0

P 0
P x
!

k

k

k

x
k







(8)

Доказательство: индукция по степени n многочлена P (x). Если 

 
P x
ax
b

 , то 
 

0P 0
b

 , 
 

1P 0
a


и 
 
P x
0
k


при 
1
k  . Поэтому сумма (8)

есть
 
P x
ax
b


, и (8) доказано при 
1
n  . Пусть (8) доказано для многочленов 

степени n и  
P x имеет степень 
1
n  . Тогда по предположению индукции 

 
 



0
1

P 0
P 0
P(x)
!
1 !

k
k

k
k

k
k

x
x
k
k







 







.

Обозначим через 
 
Q x правую часть в (8). Тогда 

 
 

 
 

0
0
0

P 0
P 0
P 0
1
!
!
!

k
k
k

k
k
k

k
k
k

Q x
x
x
x
k
k
k























 
 





 
 

1
1

0
1
0

P 0
P 0
P
0
P
!
1 !
!

k
k
k

k
k
k

k
k
k

kx
x
x
x
k
k
k



















 




.

Поэтому 
 
 


P
0
x
Q x



и  
 
P x
Q x
c

 . А так как  
 
0
0
P
Q

, то  
 
P x
Q x

.

Список литературы

1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Физматгиз, 1967.