Московский Государственный Технический университет 

им. Н. Э. Баумана

Специализированный учебно-научный центр

при МГТУ им. Н.Э. Баумана

Типовые задачи 

вступительных тестов 

для поступающих в 10 класс

(методическое пособие 

под общей редакцией И.Е. Денежкиной) 

Москва

2000

Целью настоящего сборника является ознакомление учащихся с уровнем 

требований, предъявляемых на вступительных экзаменах в СУНЦ при МГТУ 

им. Н.Э.Баумана и порядком их проведения. В сборнике приведены типовые 

варианты экзаменационных заданий по математике.
Авторами включенных в 

варианты задач являются преподаватели СУНЦ.

Составитель и редактор сборника    И.Е. Денежкина 

Компьютерный набор и верстка     И.Е. Денежкина

Типография                                     А.С. Рожин

Оглавление

1.
Введение..............................................................................................................................................4

2.
Структура экзаменационного задания по математике    и общие требования ..............................4

3.
Типовые варианты  экзаменационых заданий   для поступающих в 10 класс. .............................5

3.1.
Вариант 1 ( с решениями). .........................................................................................................5

3.2.
Вариант 2( с ответами)...............................................................................................................9

3.3.
Вариант 3( с ответами).............................................................................................................10

3.4.
Вариант 4( с ответами).............................................................................................................11

3.5.
Вариант  5( с ответами)............................................................................................................12

3.6.
Вариант  6 ( с ответами). ..........................................................................................................13

3.7.
Вариант 7...................................................................................................................................13

3.8.
Вариант 8...................................................................................................................................14

3.9.
Вариант 9...................................................................................................................................15

3.10.   Вариант 10..................................................................................................................................16

4.
Типовые варианты  экзаменационых заданий  для поступающих в 11 класс .............................17

4.1.
Вариант 111 ( с решениями). ................................................................................................17

4.2.
Вариант 112( с ответами). ........................................................................................................24

4.3.
Вариант 113 ( с ответами). .......................................................................................................25

4.4.
Вариант 114 ( с ответами). .......................................................................................................25

4.5.
Вариант 115...............................................................................................................................26

4.6.
Вариант 116...............................................................................................................................27

4.7.
Вариант 117...............................................................................................................................28

5.
Задачи для самостоятельного решения...........................................................................................29

5.1.
Текстовые задачи и задачи на прогрессии..............................................................................29

5.2.
Уравнения,  неравенства, системы..........................................................................................30

5.3 .    Задачи с параметром. ................................................................................................................31
5.4      Тригонометрия...........................................................................................................................32
5.5      Планиметрия. .............................................................................................................................33
5.6. Элементы стереометрии ( для поступающих в 11 класс).........................................................34
5.7.   Элементы математического анализа  ( для поступающих в 11 класс). ...................................35

6.
Заключение .......................................................................................................................................36

7.
Ответы ................................................................................... Ошибка! Закладка не определена.

1.
Введение

Специализированный учебно-научный центр при МГТУ им. Н.Э. Баума-

на проводит набор учащихся в 10 и 11 классы по результатам письменных всту-

пительных экзаменов по математике и физике. 

Продолжительность каждого экзамена - 4 астрономических часа (240 ми-

нут). Форма проведения экзамена соответствует вступительным экзаменам в 

МГТУ и другие  технические ВУЗы. Это означает строгое соблюдение дисцип-

лины, недопустимость использования  никаких справочников и учебников, ано-

нимную проверку  экзаменационных работ и возможность ознакомиться  со 

своей проверенной работой и при  необходимости  проапеллировать ее в уста-

новленном порядке. Перед началом экзамена учащийся получает стандартный 

бланк приемной комиссии для оформления работы и бумагу для черновых запи-

сей. По завершении экзамена все выданные листы, включая черновики, подле-

жат сдаче. Приносить на экзамен свою бумагу и выносить с экзамена  чернови-

ки не разрешается. Черновики не проверяются. 

Пересдача  экзамена не допускается. 

В случае неявки на экзамен по причине болезни учащемуся после предъ-

явления  им медицинской  справки предоставляется возможность сдачи пропу-

щенного экзамена  в другом потоке.

Получившие неудовлетворительную оценку на первом экзамене ко вто-

рому экзамену не допускаются. 

Зачисление в школу проводится по результатам конкурса. Проходной 

балл определяется после окончания всех  вступительных экзаменов.

2.
Структура экзаменационного задания по математике    

и общие требования

Вариант экзаменационного задания  содержит примеры или задачи из 

разных разделов школьного курса. Для успешной сдачи экзамена по математике 

никаких специальных разделов, не включенных в стандартную программу по 

математике за 5-9 класс средней школы,  знать не надо. Более того, в связи с 

тем, что в некоторых  школах отдельные разделы программы изучаются  в раз-

ные периоды учебного года или не изучаются совсем,  экзаменационное задание 

составляется таким образом, что для получения отличной оценки не обязатель-

но  полностью решать  весь вариант. Если задача или пример учащемуся незна-

комы, он может его пропустить.

В последние годы экзаменационный вариант состоит из десяти  заданий 

по алгебре и геометрии. Отличная оценка ставится за восемь полностью выпол-

ненных заданий.

Никаких особых требований к оформлению работы, записи ответов, ис-

пользованию математической символики не предъявляется. Каждый оформляет 

так, как его учили в школе. Однако, общие правила оформления работы должны 

быть соблюдены. Писать следует черной или синей пастой или чернилами ( не 

карандашом). Решение задачи по геометрии должно содержать грамотный 

(можно эскизный) чертеж со всеми необходимыми обозначениями. Каждое за-

дание должно завершаться ответом на все поставленные в задании вопросы. 

Задание, содержащее  никак не обоснованный, даже правильный ответ, не счи-

тается выполненным.

Задания, как правило, предполагают решения без использования микро-

калькулятора.

3.
Типовые варианты  экзаменационых заданий

для поступающих в 10 класс.

3.1.
Вариант 1 ( с решениями).

1.1.Вычислить: 
2
9
2
2
5
15

1
3
0

1

.

Решение 
:

2
9
2
2
1
2

9
2
1

2

2
8

32
40

4
5

5
15

1
3
0

1

5
5

1

5

5

Ответ: 0,8

1.2.Решить неравенство:
1

2

1
3
x

Решение :
0
2
1
;
0
3
1

2

1
;
3
1

2

1

x
x

x
x

Последнее неравенство можно решить методом интервалов. Найдем кор-

ни числителя (x = 1) и знаменателя (x = -2). Нанесем эти корни на числовую ось 

и  определим знаки дроби на полученных ин-

тервалах. Так как дробно-рациональная функ-

ция сохраняет свой знак  на каждом из интер-

валов, достаточно определить этот знак в любой точке интервала. Составим 

таблицу значений функции

x
-3
0
2

f(x)
-4
0.5
-0.25

Таким образом, с учетом того,  что знаменатель не может быть равен   

нулю,    неравенство выполняется  при x ( -2; 1].

Ответ: -2 < x
1

1.3. Вычислить без помощи калькулятора:
4
5
sin
4

35
cos
.

Решение :

2
2
2

2
2

4
sin
4
3
cos

)
4
sin(
)
4
3
8
cos(
4
5
sin
4

35
cos

Ответ:
2

1.4. Диагональ равнобочной трапеции делит ее среднюю линию в отно-

шении 2:3. Найти длину средней линии трапеции, если разность длин нижнего и 

верхнего основания равна 20.

Решение : Пусть длина  меньшего основа-

ния  трапеции BC=x. Тогда большее осно-

вание AD= x+20, средняя линия MN=x+10. 

Отрезок GN - средняя линия треугольника 

BCD, следовательно GN =  0,5 BC, в свою 

очередь MG - средняя линия  треугольника ABD , т.е. MG = 0,5 AD.  По условию 

MG:GN = 3:2, значит (x+20) : x = 3:2, отсюда x=40, а искомая длина MN = 50.

Ответ: MN = 50.

1. 5. Решить неравенство:
7
3
x
3
x
.

Решение: Преобразуем неравенство к виду x2 - 9 - 7 
0; x2 - 16 
0 ; 

(x - 4) (x + 4) 0. Это неравенство выполняется при x 4 и x -4. (Аналогично 

задаче 1.2).

Ответ: ( -
; -4 ] [ 4 ; +
).

1. 6.  Сократить дробь и вычислить ее значение при 

7
6
m
;
7
4
n

2
2
2
2

4
4

n
4
mn
4
n
m

mn
n
2
.

Решение :
;
m
2

n

)
m
2
(
n

)
m
2
(
n

)
2
m
(
n

)
m
2
(
n

n
4
mn
4
n
m

mn
n
2
2

2
2

4

2
2

4

2
2
2
2

4
4

при 

7
6
m
;
7
4
n

7
2

56
16

7
)
6
14
(

16

7
6
2

49
16

Ответ: 2

7

.

1. 7. Найти третий член возрастающей геометрической прогрессии, со-

стоящей из шести членов, если известно, что сумма первых трех членов равна 

26, а сумма последних трех членов равна 702.

Решение: Пусть a1- первый член прогрессии, а q - ее знаменатель. Тогда

n-ый член прогрессии an= a1 qn-1, n = 1, ... ,6. По условию 

702
)
q
q
1
(
q
a

26
)
q
q
1
(
a

702
a
a
a

26
a
a
a

2
3

1

2

1

6
5
4

3
2
1

По определению геометрической прогрессии первый член и знаменатель 

не равны нулю, поэтому можно поделить второе  уравнение  системы на первое, 

получим q3 = 27, q = 3.

Из первого уравнения найдем a1 = 2. Тогда a3 = 2 32 = 18.

Ответ:  a3 = 18.

1. 8. Решить уравнение: 
1
3
x
x
2
2
.

Решение : По определению модуля действительного числа 

0
a
,
a

0
a
,
a
a

Рассмотрим два случая:

a)x+3 0 т.е. x
-3. Исходное уравнение принимает вид: 4 +4x + x2 = x + 3 + 1;

x2 + 3x = 0 ; x(x+3) = 0; x1 = 0 , x2 = -3. Оба значения удовлетворяют условию 

x
-3.

b) x + 3 <0 т.е. x< -3 . Исходное уравнение принимает  вид:4+ 4x+x2 = -x-3+1 ; x2

+ 5x + 6 = 0 ; x1 = -2 , x2 = -3. Оба корня не удовлетворяют условию x< -3

Ответ: { 0 ; -3 }.

1. 9. Определить высоту прямоугольного треугольника, проведенную к 

гипотенузе, если известно, что биссектриса прямого угла делит гипотенузу на 

части в 15 и 20 см.

Решение: Пусть AH - высота, а AD - бис-

сектриса прямого угла треугольника ABC.

По свойству биссектрисы 

BD:DC = AB:AC = 15:20=3:4. СB = 35. 

Пусть  AB = 3x,  CB = 4x.

По теореме Пифагора  (3x)2 +(4x)2=352. 

Отсюда  x = 7. 

Площадь треугольника  ABC :  S = 0,5 AC AB = 0,5

AH CB. Отсюда AH = AC AB/CB =  21 28/35 = 84/5.

Ответ:  16,8 см

1. 10. Найти a и b, если известно, что точка A(2;-1) является вершиной 

параболы 
.
b
ax
x
y
2
Построить график функции при найденных значе-

ниях a и b. Указать область значений функции.

Решение : По свойству параболы абсцисса вершины, по условию равная 

2, может быть выражена через искомые параметры так: -a / 2 = 2. Отсюда пара-

метр a = -4. Точка A лежит на параболе, следовательно ее координаты удовле-

творяют уравнению  этой параболы, поэтому  -1 = 22 + (-4)2 + b. Отсюда пара-

метр b = 3. Уравнение параболы  имеет вид : y = x2 - 4 x + 3.  Построим график  

этой функции. Координаты вершины известны. Точка пересечения графика с 

осью ординат  имеет нулевую абсциссу, подставив x = 0 в уравнение парабо-

лы, получим  y = 3. Чтобы найти точки пересечения  параболы с осью абсцисс 

( точки, имеющие нулевую ординату), решим квадратное уравнение 
x2 - 4 x + 

3 = 0.

Его решения : x1 = 1; x2 = 3. 

Значит, график функции пересекает 

ось OX в точках (1 , 0) и ( 3, 0). Гра-

фик функции представлен на рисунке.

Функция принимает все значе-

ния от наименьшего до бесконечно-

сти. Наименьшего значения парабола  

достигает  в вершине, это значение 

равно -1.

Ответ: a = -4 ; b = 3 ;

Ef = [-1; +
)

3.2.
Вариант 2( с ответами).

2.1. Вычислить: 
.
2
1
25
,
0
5

1
1

2
3

3
4

2.2.Решить неравенство: 
1
x
4

x
4
sin
)
x
(
f

2.3.Вычислить без помощи калькулятора:
.
6

11
ctg
3

22
tg

2.4.Радиус вписанной в ромб окружности равен  
3
8
, а один из углов 

ромба равен 120

xcos2)4

2

x

(sin)

2

x

3(cos

4
4 . Найти длину меньшей диагонали ромба. 

0
2
4

2

1

0

1

2

3

4

5

y( )
x

z( )
x

x

2.5.Решить неравенство:
5
2
x
2
x
.

2.6.Сократить дробь и вычислить ее значение при при a =

2
1 , b = - 5

8

b
a
a
2

a
4
ab
4
ab

4
4

2

.

2.7.Найти разность арифметической прогрессии, у которой  шестой член 

составляет 60% от третьего,  а сумма  третьего и шестого членов равна 48.

2.8.Решить уравнение:
1
1
x
2
x
2
.

2.9. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высо-

ту в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60 см. Определить  основание 

треугольника.

2.10. Определить значение a, если известно,что прямая x=1 является 

осью симметрии параболы 
2
x
8
a
ax
y
2
2
и ветви параболы направле-

ны вверх. Построить график функции при найденном значении a. Указать об-

ласть значений функции.

3.3.
Вариант 3( с ответами).

3. 1.Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние 

между которыми 30 км . Если первый выйдет на 2 часа раньше второго , то 

он встретит второго пешехода через 4,5 часа после своего выхода. Если вто-

рой выйдет на 2 часа раньше первого , то он встретит первого пешехода че-

рез 5 часов после своего выхода. С какой скоростью идѐт каждый пешеход ?

3. 2 Упростить выражение : 
.
1

1

2

2
1

b
b

b
b

3. 3 Вычислить sin2
, если tg
= 2.

3. 4 Решить уравнение  2 х4 
7х2
4=0

3. 5 Решить неравенство : 
.
3
22
6

x

3. 6 Решить уравнение : 
.
2
1

3

x

x
x

3. 7 Решить систему неравенств : 
.

3
2
1
5
4

1
2

2
10

x
x

x

3. 8 Решить систему уравнений :
.
12

7

2

2

x
y

x
y

3. 9 Построить график функции у = x2
6x + a,если известно, что  еѐ наимень-

шее значение равно 1.

3. 10
Средняя линия равнобокой трапеции , описанной около круга, равна 68 

см. Определить радиус этого круга , если нижнее основание трапеции боль-
ше верхнего на 64 см.

3.4.
Вариант 4( с ответами).

4.1.Вычислить:

.
11
7
2
,
0
630
1
2
5

5
4

4.2.Решить неравенство: 
2
1

1
x
3

1

4.3.Вычислить без помощи калькулятора:
.
3

7
tg
6

37
ctg

4.4.В равнобочной трапеции острый угол при нижнем основании равен 

60 , длина боковой стороны равна 10. Длина отрезка, соединяющего конец 

верхнего основания с серединой нижнего основания, также равна 10. Найти пе-

риметр трапеции.

4.5.Решить неравенство:
5
2
1 2
x
x
.

4.6.Сократить дробь и вычислить ее значение при при a = 4

7

, b =

7
5

3
3
3
2

5
5

3
4
b
ab
b
a

b
ab
.

4.7.Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первого и 

второго числа равна 132, а отношение третьего числа к первому равно 3. Найти 

третье число.

4.8.Решить уравнение:
3
3
4
1 2
x
x
.

4.9.В равнобедренном  треугольнике высота равна 20 см, а основание от-

носится к боковой стороне как 4:3. Определить радиус круга, вписанного в тре-

угольник.