Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

С. Н. Кудряшов

Т. Н. Радченко

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В КУРСЕ «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2011

УДК 517.95
ББК 22.311

К 88

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Наседкин А. В.;
кандидат физико-математических наук, доцент Цибулин В. Г.;

кандидат физико-математических наук,
доцент Виноградова Г. Ю.;

кандидат физико-математических наук, доцент Цвиль М. М.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального
проекта «Образование» по «Программе развития федерального
государственного образовательного учреждения высшего
профессионального образования “Южный федеральный
университет” на 2007–2010 гг.»

Кудряшов, С. Н.

К 88
Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики» : учебное пособие /
С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко ; Южный федеральный университет. — Ростов-на-Дону : Издательство Южного федерального университета, 2011. — 308 с.

ISBN 978-5-9275-0879-2

Данное
учебное
пособие
является
результатом
значительной
переработки
четырех
методических
указаний
А. Д. Алексеева,
Т. Н. Радченко, В. С. Рогожина и Э. Г. Хасабова, опубликованных
в УПЛ РГУ в 1992 году. Добавлено много новых задач, приведены
подробные решения стандартных задач. Расширена теоретическая
часть.

Пособие будет полезно при изучении теоретического курса «Уравнения математической физики» студентами факультета математики,
механики и компьютерных наук, физического факультета и факультета высоких технологий.

ISBN 978-5-9275-0879-2
УДК 517.95
ББК 22.311

c⃝
Южный федеральный университет, 2011
c⃝
С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко, 2011
c⃝
Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2011

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава I. Метод характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных
производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка
в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 4. Задачи с данными на характеристиках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье . . 49

§ 1. Уравнение колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 2. Уравнение продольных колебаний стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 3. Общая схема метода Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§ 5. Неоднородные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1. Стационарная неоднородность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Неоднородные задачи со специальными неоднородностями . 72
5.3. Вынужденные колебания физических объектов
с неоднородностями общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§ 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье . . 104

§ 1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи . . . 104
§ 2. Краевые условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

§ 3. Теплопроводность шарообразных тел с центральносимметричным распределением температуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Глава IV. Уравнения эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона
в пространстве и на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 3. Краевые задачи в круговых областях для уравнений
Лапласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Глава V. Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . 160

§ 1. Преобразование Фурье и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.1. Косинус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.2. Синус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

§ 4. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.1. Функция-оригинал. Функция-изображение . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2. Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.3. Таблица изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4. Определение функции-оригинала по известному
изображению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения
функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

§ 1. Введение в теорию функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

1.1. Радиальные колебания круглой мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1.2. Задача о малых колебаниях тяжелой нити . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ответы к задачам
207

Ответы к задачам главы I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Ответы к задачам главы II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ответы к задачам главы III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Ответы к задачам главы IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Ответы к задачам главы V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Ответы к задачам главы VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Литература
306

Светлой памяти нашего учителя —
профессора Рогожина Владимира Сергеевича
посвящается

Предисловие

Предлагаемый задачник является результатом обобщения многолетнего опыта преподавания курсов «Уравнения с частными производными»
и «Уравнения математической физики» на дневном и вечернем отделениях механико-математического и физического факультетов Южного федерального университета. За основу было взято учебное пособие [8], в достаточной мере апробированное в течение ряда лет на физфаке и мехмате.
В данном издании оно значительно переработано, пополнено не только
большим числом новых задач, но и новыми разделами. В некоторой степени были использованы материалы известных задачников [4, 5, 10] без
ссылок на источники.

Авторы не ставили задачу охватить все методы, используемые в математической физике, а постарались подготовить доступное для широкого
круга читателей введение в традиционные аналитические методы решения
задач на практических занятиях в вузе.

Каждый раздел задачника содержит краткое изложение теоретического материала и подробное решение типовых задач. К некоторым заданиям
приводятся указания необходимого объема, способствующие самостоятельному решению. Главы I–IV содержат примеры большого диапазона трудности, что позволяет использовать задачник при многоуровневом обучении
и для специальностей инженерного типа.

Все ответы приведены в конце книги. Если задача имеет несколько вариантов решения с нетождественными на первый взгляд ответами, то записаны соответствующие варианты ответов.

Приводимый набор заданий позволяет использовать пособие для проведения плановых контрольных работ и при текущем контроле. Оно может
быть полезным научным работникам для предварительного ознакомления
с излагаемым учебным материалом.

Предисловие
7

Будем весьма признательны всем читателям, которые обратят наше
внимание на неизбежные в работе такого объема недосмотры.

Авторы от души благодарят Е. В. Ширяеву и И. В. Ширяеву за помощь
в оформлении работы.

Глава I

Метод характеристик

В главе I приводятся задачи для уравнений в частных производных второго порядка, решаемые методом характеристик. Основная идея метода —
упростить исходное уравнение с помощью специальной замены независимых переменных, привести его к каноническому виду, а затем по возможности найти общее решение и решить специальные задачи (задачу Коши
или задачу с данными на характеристиках).

§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных
производных второго порядка

В этом разделе рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, линейные относительно вторых производных, следующего вида:

A∂2u

∂x2 + 2B ∂2u

∂x∂y + C ∂2u

∂y2 + f
(
x, y, u, ∂u

∂x, ∂u

∂y

)
= 0.
(1.1)

Здесь u = u(x, y) — искомая функция, A = A(x, y), B = B(x, y),

C = C(x, y), f
(
x, y, u, ∂u

∂x, ∂u

∂y

)
— заданные функции, причем A, B, C

в рассматриваемых областях непрерывны вместе со своими первыми производными.

Выражение ∆ = B2 − AC называется дискриминантом этого уравнения. Если в некоторой области D плоскости xOy выполняется неравенство
∆ > 0, то уравнение (1.1) называется гиперболическим в этой области.

§ 1.. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных. . .
9

При ∆ = 0 в области D уравнение (1.1) называется параболическим, а при
∆ < 0 в D — эллиптическим в области D.

Заменой переменных x, y на новые ξ, η по формулам

ξ = φ1(x, y),
η = φ2(x, y)
(1.2)

при соответствующем выборе функций φ1(x, y), φ2(x, y) в каждом из указанных трех случаев уравнение (1.1) может быть приведено к так называемому каноническому виду, а именно:

∂2u
∂ξ∂η = F
(
ξ, η, u, ∂u

∂ξ, ∂u

∂η

)
в случае гиперболического,

∂2u
∂η2 = F
(
ξ, η, u, ∂u

∂ξ, ∂u

∂η

)
в случае параболического,

∂2u
∂ξ2 + ∂2u

∂η2 = F
(
ξ, η, u, ∂u

∂ξ, ∂u

∂η

)
в случае эллиптического уравнения.

При осуществлении указанной замены переменных понадобится выражение x и y через ξ и η. То есть система уравнений (1.2) должна быть
разрешимой относительно x и y. Известно, что условием такой разрешимости является неравенство

∂(φ1, φ2)

∂(x, y)
= det






∂φ1
∂x
∂φ1
∂y
∂φ2
∂x
∂φ2
∂y




 = det






∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η
∂x
∂η
∂y




 ̸= 0.
(1.3)

Поэтому при выборе функций φ1, φ2 мы должны заботиться о том, чтобы
в рассматриваемой области они удовлетворяли этому неравенству.

Для нахождения функций φ1(x, y), φ2(x, y), при которых замена переменных (1.2) приводит уравнение (1.1) к каноническому виду, составляется
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

A dy2 − 2B dx dy + C dx2 = 0.
(1.4)

Оно называется характеристическим для уравнения (1.1).

Если A(x, y) ≡ C(x, y) ≡ 0 в области D, то B(x, y) ̸= 0 в D (иначе уравнение (1.1) не является уравнением второго порядка в этой области). Тогда
уравнение (1.1) является гиперболическим в указанной области и после
деления на B(x, y) приобретает канонический вид. Поэтому в дальнейшем
нас будут интересовать случаи, когда в D или A ̸= 0, или C ̸= 0.

Глава I. Метод характеристик

При A ̸= 0 уравнение (1.4) разрешается относительно dy и распадается
на два уравнения:
A dy − (B +
√

∆) dx = 0,
(1.51)

A dy − (B −
√

∆) dx = 0.
(1.52)

При C ̸= 0 уравнение (1.4) распадается на два уравнения:

C dx − (B +
√

∆) dy = 0,
C dx − (B −
√

∆) dy = 0.

1. Пусть уравнение (1.1) в области D является гиперболическим (∆ > 0)
и для определенности A ̸= 0. Тогда уравнения (1.51) и (1.52) различны
и действительны. В этом случае для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду следует в формулах (1.2) в качестве φ1(x, y) взять какойнибудь интеграл1 уравнения (1.51), а в качестве φ2(x, y) — какой-нибудь
интеграл уравнения (1.52) (или наоборот).

2. В случае параболического уравнения (∆ = 0) уравнения (1.51) и (1.52)
одинаковы и имеют вид
A dy − B dx = 0.
(1.5)

В этом случае для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в качестве одной из функций φ1(x, y), φ2(x, y) следует взять какой-нибудь
интеграл уравнения (1.5). Другую же из этих функций можно выбрать
произвольно, но так, чтобы выполнялось неравенство (1.3) (можно показать, что в качестве этой другой функции всегда годится или x, или y).

3. Если ∆ < 0 в области D, т. е. уравнение (1.1) эллиптическое в этой
области, то коэффициенты B±
√

∆ в уравнениях (1.51) и (1.52) комплексно
сопряженные. Поэтому комплексно сопряженные и интегралы этих уравнений. Для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в этом случае достаточно взять какой-нибудь интеграл φ(x, y) любого из уравнений
(1.51), (1.52) и в формулах (1.2) положить

φ1(x, y) = Re φ(x, y),
φ2(x, y) = Im φ(x, y)

или наоборот.

При замене переменных (1.2) производные функции u = u(ξ, η) =
= u(ξ(x, y), η(x, y)) по старым переменным x, y, как известно из анализа,

1 Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка разрешено
относительно произвольной постоянной, т. е. записано в виде равенства φ(x, y) = C, то это равенство
называется общим интегралом рассматриваемого уравнения, а входящая в него функция φ(x, y) —
интегралом этого уравнения.

§ 1.. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных. . .
11

выражаются через ее производные по новым переменным ξ, η по следующим формулам:

∂u
∂x = ∂u

∂ξ
∂ξ
∂x + ∂u

∂η
∂η
∂x,
∂u
∂y = ∂u

∂ξ
∂ξ
∂y + ∂u

∂η
∂η
∂y,

∂2u
∂x2 = ∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂x

)2
+ 2 ∂2u

∂ξ∂η
∂ξ
∂x
∂η
∂x + ∂2u

∂η2

(∂η

∂x

)2
+ ∂u

∂ξ
∂2ξ
∂x2 + ∂u

∂η
∂2η
∂x2,

∂2u
∂y2 = ∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂y

)2
+ 2 ∂2u

∂ξ∂η
∂ξ
∂y
∂η
∂y + ∂2u

∂η2

(∂η

∂y

)2
+ ∂u

∂ξ
∂2ξ
∂y2 + ∂u

∂η
∂2η
∂y2, (1.6)

∂2u
∂x∂y = ∂2u

∂ξ2
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y + ∂2u

∂ξ∂η

(∂ξ

∂x
∂η
∂y + ∂ξ

∂y
∂η
∂x

)
+ ∂2u

∂η2
∂η
∂x
∂η
∂y +

+ ∂u

∂ξ
∂2ξ
∂x∂y + ∂u

∂η
∂2η
∂x∂y.

Подробное обоснование описанного метода можно найти, например, в [6].

Замечание 1. При нахождении функций φ1(x, y), φ2(x, y) полезно
иметь в виду следующий известный из теории дифференциальных уравнений факт: если φ(x, y) есть интеграл уравнения

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

(уравнения (1.51), (1.52), (1.5) именно таковы), то Φ(φ(x, y)), где Φ(z) —
любая дифференцируемая функция, также является интегралом этого
уравнения.

Например, если ln(x+y−5) является интегралом указанного уравнения,
то функция x + y также является интегралом этого уравнения. В самом
деле,
x + y = eln(x+y−5) + 5,

а функция Φ(z) = ez + 5 дифференцируема при любом z.

Замечание 2. Аналогичное рассуждение относится и к уравнениям
параболического типа. Так, если φ(x, y) = c общий интеграл уравнения
(1.5), то в качестве замены берем

ξ = φ(x, y)

Глава I. Метод характеристик

или
ξ = Φ(φ(x, y)),

где Φ(z) такая же, как и выше. Пусть, например, (1.5) записалось в виде

3x dy + y dx = 0.

Разделяя переменные, получим

dy
y = −dx

3x,

или
ln |y| = −ln |x|

3
+ ln c.

Отсюда общий интеграл запишется в виде y 3√x = c. Но замена ξ = y 3√x
неудобна. Лучше ξ = (y 3√x)3, или ξ = y3x. При подстановке последней
редакции ξ «хлопот» будет поменьше.

Для уравнения эллиптического типа изменять φ1(x, y) и φ2(x, y) нельзя.Максимум допустимого умножить на −1 для удобства (см. пример 1.1).

Рассмотрим некоторые примеры задач.

Пример 1.1. Уравнение

y2∂2u

∂x2 + 2xy ∂2u

∂x∂y + 2x2∂2u

∂y2 + y∂u

∂y = 0
(1.7)

привести к каноническому виду в области x ̸= 0, y ̸= 0.
Решение. Имеем

∆ = B2 − AC = x2y2 − 2x2y2 < 0

в указанной области. Следовательно, в этой области заданное уравнение
является эллиптическим. Составляем для него характеристическое уравнение:
y2dy2 − 2xy dx dy + 2x2dx2 = 0.

Разрешая его относительно dy, получаем два уравнения:

y dy − (1 + i)x dx = 0 и y dy − (1 − i)x dx = 0.

Найдем интеграл какого-нибудь из этих уравнений (например, первого).
Так как
−y2 + (1 + i)x2 = C

§ 2.. Общее решение линейного уравнения второго порядка. . .
13

есть общий интеграл этого уравнения, его интегралом является комплексная функция
φ(x, y) = x2 − y2 + ix2.

Как указывалось выше, для приведения заданного уравнения к каноническому виду достаточно произвести замену переменных:

ξ = Re φ(x, y) = x2 − y2,
η = Im φ(x, y) = x2.
(1.8)

Легко видеть, что условие (1.3) для этих функций выполняется. Производя замену (1.8), мы по формулам (1.6) получаем

∂u
∂x = ∂u

∂ξ2x + ∂u

∂η2x,

∂u
∂y = −2y∂u

∂ξ,

∂2u
∂y2 = −2∂u

∂ξ + 4y2∂2u

∂ξ2,

∂2u
∂x∂y = −4xy
(∂2u

∂ξ2 + ∂2u

∂ξ∂η

)
,

∂2u
∂x2 = 2∂u

∂ξ + 2∂u

∂η + 4x2
(∂2u

∂ξ2 + 2 ∂u

∂ξ∂η + ∂2u

∂η2

)
.

Подставив полученные выражения в (1.7) и заменив x и y на ξ и η по
формулам (1.8), мы приходим к следующему каноническому уравнению:

∂2u
∂ξ2 + ∂2u

∂η2 −
1

η − ξ
∂u
∂ξ + 1

2η
∂u
∂η = 0.

§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка
в частных производных

Уравнение (1.1), будучи приведенным к каноническому виду, может
иметь простое выражение, а в некоторых случаях и проинтегрировано,
другими словами, можно записать общее решение. Под общим решением
уравнения с частными производными второго порядка понимаем выражение, содержащее две произвольные, достаточно гладкие, независимые