Основы финансовой математики

УДК
657.6(07)
ББК
65.053.011я7
К65

Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на IV Общероссийском конкурсе учебных изданий для высших учебных заведений
«Университетская книга — 2008»

Печатается по решению Ученого совета
Московского финансово-промышленного университета «Синергия»

Ответственный редактор серии
член-корреспондент Российской академии образования,
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Копнова Е. Д.
К65
Основы финансовой математики : учеб. пособие / Е. Д. Копнова.
— М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2012. — 232 с. (Университетская серия).

ISBN 978-5-4257-0053-7

Агентство CIP РГБ

Пособие содержит систематизированное описание базовых методов количественного финансового анализа. В нем изложены простейшие модели операций
с долговыми обязательствами.
Рассматриваются числовые примеры типовых расчетов, а также приводятся
задачи для самостоятельного решения.
Пособие предназначено для изучающих финансовую математику.

УДК 657.6(07)
ББК 65.053.011я7

ISBN 978-5-4257-0053-7

© Копнова Е. Д., 2012
© Московский финансово-промышленный университет
«Синергия», 2012

КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Введение в финансовую математику .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9

Глава 2. Модели начисления процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24

Глава 3. Потоки платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75

Глава 4. Планирование погашения долга в кредитных операциях .  .  .  .  .  . 130

Глава 5. Операции со смешанным доходом .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 157

Глава 6. Microsoft Excel в финансовой математике .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 197

Университетская серия

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
8

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В ФИНАНСОВУЮ МАТЕМАТИКУ

1.1. Предмет и метод финансовой математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.1.1.
Определение финансовой математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.1.2.
Метод финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.1.3.
Основные задачи финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.2. Финансовые операции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
10
1.2.1.
Виды финансовых операций
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
10
1.2.2.
Операции с долговыми обязательствами
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
10
Депозитные операции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
Кредитные операции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
Операции с ценными бумагами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
1.3. История и современное состояние финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
12
1.3.1.
Возникновение финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
12
1.3.2.
Этапы развития методов финансовых вычислений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
12
1.3.3.
Классификация методов финансовых вычислений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
1.4. Основные понятия в финансовой математике
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
1.4.1.
Время в финансовых расчетах
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
1.4.2.
Датированная сумма
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
1.4.3.
Основные денежные суммы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
1.4.4.
Наращение и дисконтирование .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
1.4.5.
Коэффициенты наращения и дисконтирования .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
15
1.4.6.
Процент и дисконт .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
15
1.4.7.
Процентная ставка .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
16
1.4.8.
Начисление процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
16
1.4.9.
Классификация ставок
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
18
1.4.10. Доходность финансовой операции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
19
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
21
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
22

Глава 2

МОДЕЛИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

2.1. Начисление процентов по простым ставкам
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
2.1.1.
Определение периода начисления простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
Определение годового периода по заданному числу дней
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
Определение числа дней по заданному промежутку между датами
.  .  .  .  .  .  .  .  .
25
Способы расчета простых процентов в зависимости от способа определения времени
25
2.1.2.
Декурсивный метод начисления простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
27
Модели наращения по простой ставке наращения
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
27
Модели дисконтирования по простой ставке наращения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
30
2.1.3.
Антисипативный метод начисления простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
32
Модели дисконтирования по простой дисконтной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
32

Университетская серия
5

Оглавление

Модели наращения по простой дисконтной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
34
2.1.4.
Начисление процентов по простой переменной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
35
2.1.5.
Доходность финансовой операции в виде простой ставки
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
37
Определение ставок при начислении простых процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
37
Определение простых эквивалентных ставок
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
38
2.2. Начисление процентов по сложным ставкам .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
41
2.2.1.
Декурсивный метод начисления сложных процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
41
Модели наращения по сложной ставке наращения
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
41
Сравнение наращения по простой и сложной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
43
Определение итоговой стоимости для дробных периодов времени
.  .  .  .  .  .  .  .  .
44
Модели дисконтирования по сложной ставке наращения
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
45
2.2.2.
Антисипативный метод начисления сложных процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
46
Модели дисконтирования по сложной дисконтной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
46
Модели наращения по сложной дисконтной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
47
2.2.3.
Начисление процентов по сложной переменной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
48
2.2.4.
Годовая номинальная процентная ставка
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
50
Начисление процентов по годовой номинальной ставке наращения .  .  .  .  .  .  .  .  .
51
Начисление процентов по годовой номинальной дисконтной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .
54
2.2.5.
Начисление процентов по непрерывной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
56
Модели начисления процентов по непрерывной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
57
Начисление непрерывных процентов с переменной силой роста .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
59
2.2.6.
Доходность финансовой операции в виде сложной ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
62
Определение ставок при начислении сложных процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
62
Определение годовых номинальных эквивалентных ставок
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
63
Определение годовой эффективной ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
65
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
67
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
68

Глава 3

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

3.1. Принцип финансовой эквивалентности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75
3.1.1.
Эквивалентные платежи .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75
3.1.2.
Эквивалентные серии платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
76
3.1.3.
Уравнение эквивалентности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
77
3.2. Конверсия платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
3.2.1.
Виды конверсии платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
3.2.2.
Замена одного платежа другим платежом .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
3.2.3.
Консолидация потока платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
82
3.2.4.
Замена данного потока платежей другим потоком платежей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
86
3.2.5.
Рассрочка платежа
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
88
3.2.6.
Эквивалентность платежей при применении простой ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
89
3.3. Аннуитеты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
3.3.1.
Определение аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
3.3.2.
Классификация аннуитетов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
3.3.3.
Основные модели аннуитетов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
95
Оценка параметров простейшего аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
96

Университетская серия

Оглавление

Оценка параметров полагающегося аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
102
Оценка параметров общего аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
104
Оценка параметров отсроченного аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
111
Оценка параметров бессрочного аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
115
Оценка параметров непрерывного аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
117
Оценка параметров переменного аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
120
Сводка формул для вычисления основных параметров аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
124
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
126
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
126

Глава 4

ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГА В КРЕДИТНЫХ ОПЕРАЦИЯХ

4.1. Общая характеристика кредитных операций
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
130
4.1.1.
Основные показатели кредитной операции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
130
4.1.2.
Методы определения расходов по займу
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
131
4.1.3.
Классификация способов погашения кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
131
4.2. Основные способы погашения кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
132
4.2.1.
Возмещение долга способом дифференцированных платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
132
4.2.2.
Возмещение долга способом аннуитетных платежей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
134
4.2.3.
Раздельное возмещение процентов и суммы кредита
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
139
4.2.4.
Единовременное погашение кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
140
4.3. Льготные долгосрочные кредиты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
142
4.3.1.
Льготы заемщика при выдаче кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
142
4.3.2.
Грантэлемент при снижении ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
143
4.3.3.
Грантэлемент при снижении ставки и введении льготного периода без выплаты
процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
144
4.3.4.
Грантэлемент при снижении ставки и введении льготного периода с выплатой процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
146
4.4. Потребительский кредит .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
149
4.4.1.
Определение потребительского кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
149
4.4.2.
Погашение потребительского кредита равными выплатами
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
149
4.4.3.
Погашение потребительского кредита неравными выплатами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
151
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
153
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
154

Глава 5

ОПЕРАЦИИ СО СМЕШАННЫМ ДОХОДОМ

5.1. Операции наращения с учетом инфляции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
157
5.1.1.
Показатели инфляции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
157
5.1.2.
Показатели наращения с учетом инфляции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
159
5.1.3.
Модели наращения с учетом инфляции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
160
5.2. Конвертация валюты и наращение процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
168
5.3. Налог на доход
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
170
5.3.1.
Налог на простой процент .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
171
5.3.2.
Налог на сложный процент
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
174

Оглавление

5.4. Ссудные и учетные операции с удержанием комиссионных .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
177
5.4.1.
Ссуды с однократным возмещением и удержанием комиссионных
.  .  .  .  .  .  .  .  .
177
5.4.2.
Ссуды с многократным возмещением и удержанием комиссионных
.  .  .  .  .  .  .  .
179
5.4.3.
Учетные операции с удержанием комиссионных
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
182
5.5. Купляпродажа краткосрочных ценных бумаг
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
183
5.5.1.
Купляпродажа векселя .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
184
5.5.2.
Купляпродажа депозитного сертификата .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
187
Контрольные вопросы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
191
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
192

Глава 6

MICROSOFT EXCEL В ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

6.1. Применение финансовых функций
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
197
6.1.1.
Алгоритм финансовых вычислений в системе Мастер функций .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
197
6.1.2.
Перечень основных финансовых функций Microsoft Excel
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
199
6.1.3.
Применение финансовых функций .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
200
Вычисление итоговой суммы  при начислении простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .
200
Вычисление итоговой суммы  при начислении сложных процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .
202
Вычисление итоговой суммы аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
204
Определение процентной ставки
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
206
6.2. Применение Microsoft Excel для планирования погашения ссуды .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
207
6.2.1.
Алгоритм вычислений расходов по займу в Microsoft Excel
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
207
6.2.2.
Пример составления в Microsoft Excel расписания погашения ссуды методом дифференцированных платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
208

Литература
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
211

Приложение
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
214

Предметный указатель
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
231

ПРЕДИСЛОВИЕ

Совершенствование финансовой деятельности сопровождается усложнением всей системы количественного финансового анализа. Появляются новые методы, углубляется теоретическая база, растет уровень
автоматизации расчетов. Для того чтобы сориентироваться во всем многообразии современных финансовых алгоритмов, необходимо, прежде
всего, понять принципы базовых вычислений, положенных в основу
большинства расчетов. А для этого надо научиться решать простейшие
задачи, связанные с начислением процентов, с потоками платежей, т. е.
освоить финансовую математику, которую в данном контексте называют финансовой арифметикой. Назначение пособия — помочь учащимся
именно в этом.
Основной трудностью при решении указанных задач является сама
процедура математического моделирования. Понимая суть финансовой
операции, учащийся часто не может сопоставить ей адекватную математическую модель. Поэтому в пособии сделан акцент на применение математического моделирования, логика которого отразилось и на форме
всего изложения. Каждый тип задачи описан так, что ее содержательная
постановка сопровождается формальным представлением с учетом
идентификации переменных и связи между ними.
Пособие посвящено принципам финансовых расчетов и не содержит детализированных описаний финансовых операций. В него включены базовые расчеты, касающиеся методов начисления процентов (главы
2 и 3) и некоторые простейшие прикладные расчеты (главы 4 и 5). Каждый тип задач иллюстрируется числовыми примерами. Приводятся задания для самостоятельного решения и вопросы для контроля знаний.
Основные понятия финансовой математики раскрыты в главе 1.
В главе 6 показано, как решать задачи финансовой математики с использованием табличного процессора Microsoft Excel.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В ФИНАНСОВУЮ МАТЕМАТИКУ

Предмет и метод финансовой математики
Финансовые операции
История и современное состояние финансовой математики
Основные понятия в финансовой математике

1.1. Предмет и метод финансовой математики

1.1.1. Определение финансовой математики

В настоящее время существует множество методов финансового
анализа, которые дают количественное решение задач финансового менеджмента. Эти методы различаются как по степени общности, так и по
уровню теоретического обоснования, однако в основе каждого из них
лежит некоторый базис, который и представляет собой финансовую математику.
Финансовая математика — это наука, которая изучает основные методы и модели количественного финансового анализа.
Финансовая математика непосредственно применяется в практической финансовой деятельности, а также используется в качестве инструментария для создания более сложных методов финансового анализа.

1.1.2. Метод финансовой математики

Основным методом исследования в финансовой математике является метод математического моделирования, который позволяет решать задачи финансового анализа, отображая взаимосвязи между финансовыми объектами в виде математических моделей.
При этом используется принцип системности, который выражается
в поэтапном моделировании финансовых операций с переходом от простейших к более сложным моделям.

1.1.3. Основные задачи финансовой математики

К основным задачам финансовой математики относятся:

анализ эффективности финансовой операции;

Университетская серия
9

оптимизация финансовой операции;
планирование финансовой операции;
сравнение финансовых операций.

1.2. Финансовые операции

Финансовая операция — это действие, которое направлено на получение дохода, характеризуемого финансовыми показателями.

1.2.1. Виды финансовых операций

В системе количественного финансового анализа финансовые операции разделяют по следующим направлениям.
По числу источников дохода:

операции с одним источником дохода;
операции с несколькими источниками дохода.
Например, операцией с несколькими источниками дохода является
кредитная операция с учетом удержания комиссионных.
По характеру распределения денежных сумм во времени:

операции с одним интервалом времени между платежами;
операции с потоком платежей.
К операциям первого типа относится, в частности, ссудная операция
с возмещением одним платежом. Если долг погашается последовательностью выплат, то выполняется операция с потоком платежей.
По форме получения дохода, в частности:

операции с долговыми обязательствами;
амортизация основных фондов;
осуществление инвестиционных проектов;
страхование.

1.2.2. Операции с долговыми обязательствами

В основу финансового анализа положены модели финансовых операций, связанных с предоставлением денег в долг.
Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее
деньги в долг, называют заемщиком. Предоставление денег в долг происходит в соответствии с кредитным договором и осуществляется в различных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег
на депозитный счет, получение векселя, приобретение облигаций и т. д.

10
Университетская серия

Глава  1.  Введение в финансовую математику

При заключении кредитного договора кредитор и заемщик договариваются о размере кредита, времени и способе его погашения, а также
об уровне вознаграждения кредитора.
Среди операций с долговыми обязательствами обычно выделяют три
группы операций:

депозитные операции;
кредитные операции;
операции с ценными бумагами, в том числе учетные операции.

Депозитные операции

Депозитная операция — это операция банка или другой финансовой
организации по привлечению денежных средств в форме вкладов от
юридических и физических лиц (вкладчиков), а также размещению этих
средств в других кредитных учреждениях.
Депозит (вклад) — сумма денег, помещенная в банк на основании
договора вклада на определенный срок или до востребования.
Банк пускает эти деньги в оборот, а в обмен выплачивает вкладчику
проценты. Депозит является долгом банка перед вкладчиком, т. е. подлежит возврату.

Кредитные операции

Кредитная операция — это операция по предоставлению кредитов.
Кредит (ссуда) — денежные средства, предоставленные банком или
иной финансовой организацией (кредитором) по договору заемщику
на условиях возвратности и платности в форме процентов за пользование кредитом.

Операции с ценными бумагами

Ценная бумага — документ, удостоверяющий с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественные права,
осуществление или передача которых возможны только при его предъявлении.
К базовым операциями с ценными бумагами, рассматриваемым
в финансовой математике, относятся операции с векселями и депозитными сертификатами.

Университетская серия
11

1.2.  Финансовые операции

Вексель — ценная бумага, удостоверяющая обязательство векселедателя уплатить по наступлении предусмотренного векселем срока определенную денежную сумму.
Учет векселя — покупка банком или специализированным кредитным учреждением векселей до наступления срока платежа по ним,
осуществляемая по цене, равной их номинальной стоимости, за вычетом процента, размер которого определяется количеством времени,
оставшимся до наступления срока платежа, и величиной ставки процента.
Учетная операция — операция банка по учету (дисконту) векселей
и других долговых обязательств.
Депозитный сертификат — это именная ценная бумага, удостоверяющая сумму депозита, внесенного в банк, и права вкладчика (держателя сертификата) на получение по истечении установленного срока суммы
депозита и обусловленного в сертификате дохода в форме процентов.
Депозитный сертификат имеет большую ликвидность, чем договор
вклада, поскольку его можно заложить, учесть, продать.

1.3. История и современное состояние финансовой математики

1.3.1. Возникновение финансовой математики

Финансовые вычисления ведут свое начало с момента появления товарно-денежных отношений. В отдельную отрасль знаний они выделились в XIX в. под названием «коммерческая арифметика». В 1877 г. в Московской Практической Академии Коммерческих Наук был издан учебник «Коммерческая арифметика и торговые операции».

1.3.2. Этапы развития методов финансовых вычислений

Выделяют три основных исторических этапа.
1-й этап: до начала XIX в.
К основным методам в финансовых расчетах в данный период относились методы начисления процентов в кредитных операциях.
2-й этап: начало XIX в. — первая половина XX в.
Этот период характеризуется разработкой большого разнообразия
схем погашения долгосрочной задолженности с использованием моделей аннуитетов.

12
Университетская серия

Глава  1.  Введение в финансовую математику

3-й этап: вторая половина XX в. — настоящее время.
Особенностью этапа является учет неопределенности в анализе финансовых операций и применение инструментария теории вероятности.

1.3.3. Классификация методов финансовых вычислений

Приводимая ниже классификация методов количественного финансового анализа позволяет определить место финансовой математики
в данной системе знаний, а также ее внутреннюю структуру.
I. Классическая финансовая математика в условиях определенности.

Начисление процентов.
Определение стоимости потоков платежей.
Планирование погашения задолженности.
Анализ эффективности инвестиционных проектов.
Оценка стоимости простейших ценных бумаг.
II. Классическая финансовая математика в условиях неопределенности.

Оптимизация портфеля активов.
Теория иммунизации.
Анализ финансовых рисков.
Ценообразование производных ценных бумаг.
Модели эффективного рынка.
III. Современная стохастическая финансовая математика.

Теория арбитража.
Мартингальный подход в теории страхования.

1.4. Основные понятия в финансовой математике

1.4..1. Время в финансовых расчетах

Необходимость учета времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Этот принцип обусловлен следующими основными причинами.

Деньги могут принести доход при инвестировании на определенный срок.
Покупательная способность денег снижается со временем вследствие инфляции.

Университетская серия
13

1.4.  Основные понятия в финансовой математике

Универсальной единицей измерения длительности финансовой операции является год.

1.4.2. Датированная сумма

Неравноценность денег во времени выражается в том, что каждая
денежная сумма в финансовом анализе представляет собой датированную сумму, т. е. сумму, отнесенную к определенной дате.
Рассредоточение датированных сумм во времени приводит к неправомерности обычных действий с ними, например, сложения или вычитания.

1.4.3. Основные денежные суммы

Всякая финансовая операция осуществляется в течение заданного
промежутка времени, которому соответствуют две основные денежные
суммы.
Текущая (приведенная) стоимость — это сумма денег, отнесенная на
начало финансовой операции.
Итоговая (будущая) стоимость — это сумма денег, отнесенная к концу
финансовой операции.
В депозитной операции текущая стоимость — сумма денег, помещаемая сегодня на депозитный счет, итоговая стоимость — сумма денег,
которая накопится на депозитном счете за определенный промежуток
времени.
В кредитной операции текущая стоимость — величина выдаваемой
сегодня ссуды, итоговая стоимость — сумма денег, которую следует вернуть через определенный промежуток времени.

1.4.4. Наращение и дисконтирование

В зависимости от того, какая из указанных сумм дана и какую нужно
найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение
и дисконтирование.
Наращение — определение величины итоговой стоимости по заданной текущей стоимости.
Дисконтирование — определение текущей стоимости по ожидаемой
итоговой сумме в будущем.

14
Университетская серия

Глава  1.  Введение в финансовую математику