УДК
657.6(07)
ББК
65.053.011я7
К65

Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на IV Общероссийском конкурсе учебных изданий для высших учебных заведений
«Университетская книга — 2008»

Печатается по решению Ученого совета
Московского финансово-промышленного университета «Синергия»

Ответственный редактор серии
член-корреспондент Российской академии образования,
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Копнова Е. Д.
К65
Основы финансовой математики : учеб. пособие / Е. Д. Копнова.
— М.: Московский финансово-промышленный университет «Си-
нергия», 2012. — 232 с. (Университетская серия).

ISBN 978-5-4257-0053-7

Агентство CIP РГБ

Пособие содержит систематизированное описание базовых методов количест-
венного финансового анализа. В нем изложены простейшие модели операций
с долговыми обязательствами.
Рассматриваются числовые примеры типовых расчетов, а также приводятся
задачи для самостоятельного решения.
Пособие предназначено для изучающих финансовую математику.

УДК 657.6(07)
ББК 65.053.011я7

ISBN 978-5-4257-0053-7

© Копнова Е. Д., 2012
© Московский финансово-промышленный университет
«Синергия», 2012

КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Введение в финансовую математику .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9

Глава 2. Модели начисления процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24

Глава 3. Потоки платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75

Глава 4. Планирование погашения долга в кредитных операциях .  .  .  .  .  . 130

Глава 5. Операции со смешанным доходом .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 157

Глава 6. Microsoft Excel в финансовой математике .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 197

Университетская серия

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
8

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В ФИНАНСОВУЮ МАТЕМАТИКУ

1.1. Предмет и метод финансовой математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.1.1.
Определение финансовой математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.1.2.
Метод финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.1.3.
Основные задачи финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
1.2. Финансовые операции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
10
1.2.1.
Виды финансовых операций
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
10
1.2.2.
Операции с долговыми обязательствами
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
10
Депозитные операции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
Кредитные операции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
Операции с ценными бумагами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
1.3. История и современное состояние финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
12
1.3.1.
Возникновение финансовой математики
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
12
1.3.2.
Этапы развития методов финансовых вычислений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
12
1.3.3.
Классификация методов финансовых вычислений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
1.4. Основные понятия в финансовой математике
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
1.4.1.
Время в финансовых расчетах
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
1.4.2.
Датированная сумма
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
1.4.3.
Основные денежные суммы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
1.4.4.
Наращение и дисконтирование .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
1.4.5.
Коэффициенты наращения и дисконтирования .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
15
1.4.6.
Процент и дисконт .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
15
1.4.7.
Процентная ставка .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
16
1.4.8.
Начисление процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
16
1.4.9.
Классификация ставок
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
18
1.4.10. Доходность финансовой операции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
19
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
21
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
22

Глава 2

МОДЕЛИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

2.1. Начисление процентов по простым ставкам
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
2.1.1.
Определение периода начисления простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
Определение годового периода по заданному числу дней
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
Определение числа дней по заданному промежутку между датами
.  .  .  .  .  .  .  .  .
25
Способы расчета простых процентов в зависимости от способа определения времени
25
2.1.2.
Декурсивный метод начисления простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
27
Модели наращения по простой ставке наращения
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
27
Модели дисконтирования по простой ставке наращения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
30
2.1.3.
Антисипативный метод начисления простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
32
Модели дисконтирования по простой дисконтной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
32

Университетская серия
5

Оглавление

Модели наращения по простой дисконтной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
34
2.1.4.
Начисление процентов по простой переменной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
35
2.1.5.
Доходность финансовой операции в виде простой ставки
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
37
Определение ставок при начислении простых процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
37
Определение простых эквивалентных ставок
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
38
2.2. Начисление процентов по сложным ставкам .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
41
2.2.1.
Декурсивный метод начисления сложных процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
41
Модели наращения по сложной ставке наращения
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
41
Сравнение наращения по простой и сложной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
43
Определение итоговой стоимости для дробных периодов времени
.  .  .  .  .  .  .  .  .
44
Модели дисконтирования по сложной ставке наращения
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
45
2.2.2.
Антисипативный метод начисления сложных процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
46
Модели дисконтирования по сложной дисконтной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
46
Модели наращения по сложной дисконтной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
47
2.2.3.
Начисление процентов по сложной переменной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
48
2.2.4.
Годовая номинальная процентная ставка
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
50
Начисление процентов по годовой номинальной ставке наращения .  .  .  .  .  .  .  .  .
51
Начисление процентов по годовой номинальной дисконтной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .
54
2.2.5.
Начисление процентов по непрерывной ставке
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
56
Модели начисления процентов по непрерывной ставке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
57
Начисление непрерывных процентов с переменной силой роста .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
59
2.2.6.
Доходность финансовой операции в виде сложной ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
62
Определение ставок при начислении сложных процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
62
Определение годовых номинальных эквивалентных ставок
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
63
Определение годовой эффективной ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
65
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
67
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
68

Глава 3

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

3.1. Принцип финансовой эквивалентности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75
3.1.1.
Эквивалентные платежи .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75
3.1.2.
Эквивалентные серии платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
76
3.1.3.
Уравнение эквивалентности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
77
3.2. Конверсия платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
3.2.1.
Виды конверсии платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
3.2.2.
Замена одного платежа другим платежом .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
3.2.3.
Консолидация потока платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
82
3.2.4.
Замена данного потока платежей другим потоком платежей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
86
3.2.5.
Рассрочка платежа
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
88
3.2.6.
Эквивалентность платежей при применении простой ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
89
3.3. Аннуитеты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
3.3.1.
Определение аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
3.3.2.
Классификация аннуитетов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
3.3.3.
Основные модели аннуитетов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
95
Оценка параметров простейшего аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
96

Университетская серия

Оглавление

Оценка параметров полагающегося аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
102
Оценка параметров общего аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
104
Оценка параметров отсроченного аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
111
Оценка параметров бессрочного аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
115
Оценка параметров непрерывного аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
117
Оценка параметров переменного аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
120
Сводка формул для вычисления основных параметров аннуитета .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
124
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
126
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
126

Глава 4

ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГА В КРЕДИТНЫХ ОПЕРАЦИЯХ

4.1. Общая характеристика кредитных операций
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
130
4.1.1.
Основные показатели кредитной операции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
130
4.1.2.
Методы определения расходов по займу
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
131
4.1.3.
Классификация способов погашения кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
131
4.2. Основные способы погашения кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
132
4.2.1.
Возмещение долга способом дифференцированных платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
132
4.2.2.
Возмещение долга способом аннуитетных платежей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
134
4.2.3.
Раздельное возмещение процентов и суммы кредита
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
139
4.2.4.
Единовременное погашение кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
140
4.3. Льготные долгосрочные кредиты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
142
4.3.1.
Льготы заемщика при выдаче кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
142
4.3.2.
Грантэлемент при снижении ставки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
143
4.3.3.
Грантэлемент при снижении ставки и введении льготного периода без выплаты
процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
144
4.3.4.
Грантэлемент при снижении ставки и введении льготного периода с выплатой про
центов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
146
4.4. Потребительский кредит .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
149
4.4.1.
Определение потребительского кредита .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
149
4.4.2.
Погашение потребительского кредита равными выплатами
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
149
4.4.3.
Погашение потребительского кредита неравными выплатами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
151
Контрольные вопросы
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
153
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
154

Глава 5

ОПЕРАЦИИ СО СМЕШАННЫМ ДОХОДОМ

5.1. Операции наращения с учетом инфляции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
157
5.1.1.
Показатели инфляции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
157
5.1.2.
Показатели наращения с учетом инфляции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
159
5.1.3.
Модели наращения с учетом инфляции
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
160
5.2. Конвертация валюты и наращение процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
168
5.3. Налог на доход
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
170
5.3.1.
Налог на простой процент .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
171
5.3.2.
Налог на сложный процент
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
174

Оглавление

5.4. Ссудные и учетные операции с удержанием комиссионных .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
177
5.4.1.
Ссуды с однократным возмещением и удержанием комиссионных
.  .  .  .  .  .  .  .  .
177
5.4.2.
Ссуды с многократным возмещением и удержанием комиссионных
.  .  .  .  .  .  .  .
179
5.4.3.
Учетные операции с удержанием комиссионных
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
182
5.5. Купляпродажа краткосрочных ценных бумаг
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
183
5.5.1.
Купляпродажа векселя .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
184
5.5.2.
Купляпродажа депозитного сертификата .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
187
Контрольные вопросы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
191
Задания .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
192

Глава 6

MICROSOFT EXCEL В ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

6.1. Применение финансовых функций
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
197
6.1.1.
Алгоритм финансовых вычислений в системе Мастер функций .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
197
6.1.2.
Перечень основных финансовых функций Microsoft Excel
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
199
6.1.3.
Применение финансовых функций .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
200
Вычисление итоговой суммы  при начислении простых процентов
.  .  .  .  .  .  .  .  .
200
Вычисление итоговой суммы  при начислении сложных процентов .  .  .  .  .  .  .  .  .
202
Вычисление итоговой суммы аннуитета
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
204
Определение процентной ставки
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
206
6.2. Применение Microsoft Excel для планирования погашения ссуды .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
207
6.2.1.
Алгоритм вычислений расходов по займу в Microsoft Excel
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
207
6.2.2.
Пример составления в Microsoft Excel расписания погашения ссуды методом диф
ференцированных платежей
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
208

Литература
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
211

Приложение
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
214

Предметный указатель
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
231

ПРЕДИСЛОВИЕ

Совершенствование финансовой деятельности сопровождается ус-
ложнением всей системы количественного финансового анализа. Появ-
ляются новые методы, углубляется теоретическая база, растет уровень
автоматизации расчетов. Для того чтобы сориентироваться во всем мно-
гообразии современных финансовых алгоритмов, необходимо, прежде
всего, понять принципы базовых вычислений, положенных в основу
большинства расчетов. А для этого надо научиться решать простейшие
задачи, связанные с начислением процентов, с потоками платежей, т. е.
освоить финансовую математику, которую в данном контексте называ-
ют финансовой арифметикой. Назначение пособия — помочь учащимся
именно в этом.
Основной трудностью при решении указанных задач является сама
процедура математического моделирования. Понимая суть финансовой
операции, учащийся часто не может сопоставить ей адекватную матема-
тическую модель. Поэтому в пособии сделан акцент на применение ма-
тематического моделирования, логика которого отразилось и на форме
всего изложения. Каждый тип задачи описан так, что ее содержательная
постановка сопровождается формальным представлением с учетом
идентификации переменных и связи между ними.
Пособие посвящено принципам финансовых расчетов и не содер-
жит детализированных описаний финансовых операций. В него включе-
ны базовые расчеты, касающиеся методов начисления процентов (главы
2 и 3) и некоторые простейшие прикладные расчеты (главы 4 и 5). Каж-
дый тип задач иллюстрируется числовыми примерами. Приводятся за-
дания для самостоятельного решения и вопросы для контроля знаний.
Основные понятия финансовой математики раскрыты в главе 1.
В главе 6 показано, как решать задачи финансовой математики с ис-
пользованием табличного процессора Microsoft Excel.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В ФИНАНСОВУЮ МАТЕМАТИКУ

Предмет и метод финансовой математики
Финансовые операции
История и современное состояние финансовой математики
Основные понятия в финансовой математике

1.1. Предмет и метод финансовой математики

1.1.1. Определение финансовой математики

В настоящее время существует множество методов финансового
анализа, которые дают количественное решение задач финансового ме-
неджмента. Эти методы различаются как по степени общности, так и по
уровню теоретического обоснования, однако в основе каждого из них
лежит некоторый базис, который и представляет собой финансовую ма-
тематику.
Финансовая математика — это наука, которая изучает основные ме-
тоды и модели количественного финансового анализа.
Финансовая математика непосредственно применяется в практиче-
ской финансовой деятельности, а также используется в качестве инстру-
ментария для создания более сложных методов финансового анализа.

1.1.2. Метод финансовой математики

Основным методом исследования в финансовой математике являет-
ся метод математического моделирования, который позволяет решать за-
дачи финансового анализа, отображая взаимосвязи между финансовы-
ми объектами в виде математических моделей.
При этом используется принцип системности, который выражается
в поэтапном моделировании финансовых операций с переходом от про-
стейших к более сложным моделям.

1.1.3. Основные задачи финансовой математики

К основным задачам финансовой математики относятся:

анализ эффективности финансовой операции;

Университетская серия
9

оптимизация финансовой операции;
планирование финансовой операции;
сравнение финансовых операций.

1.2. Финансовые операции

Финансовая операция — это действие, которое направлено на получе-
ние дохода, характеризуемого финансовыми показателями.

1.2.1. Виды финансовых операций

В системе количественного финансового анализа финансовые опе-
рации разделяют по следующим направлениям.
По числу источников дохода:

операции с одним источником дохода;
операции с несколькими источниками дохода.
Например, операцией с несколькими источниками дохода является
кредитная операция с учетом удержания комиссионных.
По характеру распределения денежных сумм во времени:

операции с одним интервалом времени между платежами;
операции с потоком платежей.
К операциям первого типа относится, в частности, ссудная операция
с возмещением одним платежом. Если долг погашается последователь-
ностью выплат, то выполняется операция с потоком платежей.
По форме получения дохода, в частности:

операции с долговыми обязательствами;
амортизация основных фондов;
осуществление инвестиционных проектов;
страхование.

1.2.2. Операции с долговыми обязательствами

В основу финансового анализа положены модели финансовых опе-
раций, связанных с предоставлением денег в долг.
Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее
деньги в долг, называют заемщиком. Предоставление денег в долг проис-
ходит в соответствии с кредитным договором и осуществляется в различ-
ных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег
на депозитный счет, получение векселя, приобретение облигаций и т. д.

10
Университетская серия

Глава  1.  Введение в финансовую математику

При заключении кредитного договора кредитор и заемщик договарива-
ются о размере кредита, времени и способе его погашения, а также
об уровне вознаграждения кредитора.
Среди операций с долговыми обязательствами обычно выделяют три
группы операций:

депозитные операции;
кредитные операции;
операции с ценными бумагами, в том числе учетные операции.

Депозитные операции

Депозитная операция — это операция банка или другой финансовой
организации по привлечению денежных средств в форме вкладов от
юридических и физических лиц (вкладчиков), а также размещению этих
средств в других кредитных учреждениях.
Депозит (вклад) — сумма денег, помещенная в банк на основании
договора вклада на определенный срок или до востребования.
Банк пускает эти деньги в оборот, а в обмен выплачивает вкладчику
проценты. Депозит является долгом банка перед вкладчиком, т. е. подле-
жит возврату.

Кредитные операции

Кредитная операция — это операция по предоставлению кредитов.
Кредит (ссуда) — денежные средства, предоставленные банком или
иной финансовой организацией (кредитором) по договору заемщику
на условиях возвратности и платности в форме процентов за пользова-
ние кредитом.

Операции с ценными бумагами

Ценная бумага — документ, удостоверяющий с соблюдением уста-
новленной формы и обязательных реквизитов имущественные права,
осуществление или передача которых возможны только при его предъ-
явлении.
К базовым операциями с ценными бумагами, рассматриваемым
в финансовой математике, относятся операции с векселями и депозит-
ными сертификатами.

Университетская серия
11

1.2.  Финансовые операции

Вексель — ценная бумага, удостоверяющая обязательство векселеда-
теля уплатить по наступлении предусмотренного векселем срока опре-
деленную денежную сумму.
Учет векселя — покупка банком или специализированным кредит-
ным учреждением векселей до наступления срока платежа по ним,
осуществляемая по цене, равной их номинальной стоимости, за выче-
том процента, размер которого определяется количеством времени,
оставшимся до наступления срока платежа, и величиной ставки про-
цента.
Учетная операция — операция банка по учету (дисконту) векселей
и других долговых обязательств.
Депозитный сертификат — это именная ценная бумага, удостове-
ряющая сумму депозита, внесенного в банк, и права вкладчика (держате-
ля сертификата) на получение по истечении установленного срока суммы
депозита и обусловленного в сертификате дохода в форме процентов.
Депозитный сертификат имеет большую ликвидность, чем договор
вклада, поскольку его можно заложить, учесть, продать.

1.3. История и современное состояние финансовой математики

1.3.1. Возникновение финансовой математики

Финансовые вычисления ведут свое начало с момента появления то-
варно-денежных отношений. В отдельную отрасль знаний они выдели-
лись в XIX в. под названием «коммерческая арифметика». В 1877 г. в Мо-
сковской Практической Академии Коммерческих Наук был издан учеб-
ник «Коммерческая арифметика и торговые операции».

1.3.2. Этапы развития методов финансовых вычислений

Выделяют три основных исторических этапа.
1-й этап: до начала XIX в.
К основным методам в финансовых расчетах в данный период отно-
сились методы начисления процентов в кредитных операциях.
2-й этап: начало XIX в. — первая половина XX в.
Этот период характеризуется разработкой большого разнообразия
схем погашения долгосрочной задолженности с использованием моде-
лей аннуитетов.

12
Университетская серия

Глава  1.  Введение в финансовую математику

3-й этап: вторая половина XX в. — настоящее время.
Особенностью этапа является учет неопределенности в анализе фи-
нансовых операций и применение инструментария теории вероятности.

1.3.3. Классификация методов финансовых вычислений

Приводимая ниже классификация методов количественного финан-
сового анализа позволяет определить место финансовой математики
в данной системе знаний, а также ее внутреннюю структуру.
I. Классическая финансовая математика в условиях определенно-
сти.

Начисление процентов.
Определение стоимости потоков платежей.
Планирование погашения задолженности.
Анализ эффективности инвестиционных проектов.
Оценка стоимости простейших ценных бумаг.
II. Классическая финансовая математика в условиях неопределен-
ности.

Оптимизация портфеля активов.
Теория иммунизации.
Анализ финансовых рисков.
Ценообразование производных ценных бумаг.
Модели эффективного рынка.
III. Современная стохастическая финансовая математика.

Теория арбитража.
Мартингальный подход в теории страхования.

1.4. Основные понятия в финансовой математике

1.4..1. Время в финансовых расчетах

Необходимость учета времени определяется принципом неравно-
ценности денег, относящихся к разным моментам времени. Этот прин-
цип обусловлен следующими основными причинами.

Деньги могут принести доход при инвестировании на определен-
ный срок.
Покупательная способность денег снижается со временем вслед-
ствие инфляции.

Университетская серия
13

1.4.  Основные понятия в финансовой математике

Универсальной единицей измерения длительности финансовой опе-
рации является год.

1.4.2. Датированная сумма

Неравноценность денег во времени выражается в том, что каждая
денежная сумма в финансовом анализе представляет собой датирован-
ную сумму, т. е. сумму, отнесенную к определенной дате.
Рассредоточение датированных сумм во времени приводит к непра-
вомерности обычных действий с ними, например, сложения или вычи-
тания.

1.4.3. Основные денежные суммы

Всякая финансовая операция осуществляется в течение заданного
промежутка времени, которому соответствуют две основные денежные
суммы.
Текущая (приведенная) стоимость — это сумма денег, отнесенная на
начало финансовой операции.
Итоговая (будущая) стоимость — это сумма денег, отнесенная к концу
финансовой операции.
В депозитной операции текущая стоимость — сумма денег, поме-
щаемая сегодня на депозитный счет, итоговая стоимость — сумма денег,
которая накопится на депозитном счете за определенный промежуток
времени.
В кредитной операции текущая стоимость — величина выдаваемой
сегодня ссуды, итоговая стоимость — сумма денег, которую следует вер-
нуть через определенный промежуток времени.

1.4.4. Наращение и дисконтирование

В зависимости от того, какая из указанных сумм дана и какую нужно
найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение
и дисконтирование.
Наращение — определение величины итоговой стоимости по задан-
ной текущей стоимости.
Дисконтирование — определение текущей стоимости по ожидаемой
итоговой сумме в будущем.

14
Университетская серия

Глава  1.  Введение в финансовую математику