Страховая математика: практический курс

СТРАХО ВАЯ М АТЕМ АТИКА

практический курс

М осква • Альф аМ  • ИНФ РАМ  • 2
0
0
9

Учебное пособие

Е.
К.
 Самаров

С траховая 
математика

П рактический курс

УДК 368.01:5(075.8)
ББК 65.271
С17

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физикоматематических наук В.Ф. Борисов;
кандидат физикоматематических наук С.П. Коновалов

Самаров Е.К.
Страховая математика: практический курс: учебноепособие / Е.К. Самаров.–М.:АльфаМ:ИНФРАМ,2009.–80с.

ISBN 9785982811226 (АльфаМ)
ISBN 9785160031408 (ИНФРАМ)

Приводятся теоретические основы страховой математики, а также
способы ее применения в виде примеров и задач, максимально приближенных к реальности.
Для студентов высших учебных заведений, изучающих курсы «Страхование и актуарные расчеты», «Страховое дело». Представляет интерес
для сотрудников страховых компаний и профессиональных актуариев.

УДК 368.01:5(075.8)
ББК 65.271

© Самаров Е.К., 2009
© «АльфаМ»: «ИНФРАМ», 2009

С17

ISBN 9785982811226 (АльфаМ)
ISBN 9785160031408 (ИНФРАМ)

Оглавление

ОТ АВТОРА .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 6

СИСТЕМЫ СТРАХОВОГО ВОЗМЕЩЕНИЯ УЩЕРБА
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 7
1. Принцип страхового возмещения ущерба.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 7
2. Возмещение ущерба по системе первого риска .   .   .   .   .   .   .   . 8
3. Система пропорционального возмещения ущерба в случае
неполного страхования .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 8
4. Система возмещения ущерба, предусматривающая
франшизу.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 9
5. Страхование предпринимательского риска по системе
предельной ответственности .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 11
6. Сострахование .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 14
7. Двойное (множественное) страхование .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 15

ВЗАИМОРАСЧЕТЫ СТОРОН В ДОГОВОРАХ О ПЕРЕСТРАХОВАНИИ .   .   .   . 17
8. Основные понятия и термины
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 17
9. Типы договоров о перестраховании .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 18
10. Пропорциональная система ответственности
перестраховщика.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 19
11. Непропорциональная система ответственности
перестраховщика.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 25

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
.   .   .   .   .   .   .   . 29
12. Дискретное вероятностное пространство .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 29
13. Случайные величины и их числовые характеристики .   .   .   . 32
14. Основные виды распределений дискретных случайных
величин .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 34
15. Общее определение вероятностного пространства
.   .   .   .   . 35
16. Основные виды распределений непрерывных случайных
величин .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 37

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РИСКОВ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ .   .   .   .   . 39
17. Структура единовременной страховой премии .   .   .   .   .   .   . 39
18. Простейший вариант принципа эквивалентности рисков .   . 40
19. Усиленный вариант принципа эквивалентности рисков.   .   . 41
20. Страхование жизни .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 46

РАСЧЕТ СТРАХОВЫХ ТАРИФОВ
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 53
21. Методики расчета, рекомендованные Росстрахнадзором .   . 53
22. Применения схемы независимых испытаний Бернулли .   .   . 63

ПРИМЕРЫИЗАДАЧИДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГОРЕШЕНИЯ .   .   .   .   .   .   . 68

ПРИЛОЖЕНИЕ.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 73
Библиографический список
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 79

ОТ АВТОРА

От автора
От автора

История развития страховой математики неразрывно связана с историей развития страхования и насчитывает
много веков. Однако изучение страховой математики не является
простым занятием даже для специалистов в области страхования,
так как по сложности объектов исследования и применяемому
аппарату страховая математика значительно превосходит общую
теорию страхования. Еще более сложным оказывается применение полученных знаний на практике.
Разрыв в сложности проявляется также и между литературой,
посвященной страховому делу, и литературой по страховой математике. Настоящее пособие, на мой взгляд, немного сглаживает
этот разрыв и будет полезным сотрудникам страховых компаний,
занимающимся практической страховой деятельностью, профессиональным актуариям и студентам.
Я попытался представить теоретические основы страховой математики максимально кратко и понятно, а также изложить способы ее применения в виде примеров и задач, имеющих максимально приближенный к реальности характер.
Очень надеюсь, что мне это удалось.
Выражаю глубокую благодарность за внимание и поддержку
моему отцу, К.Л. Самарову, вдохновившему меня написать настоящее пособие, а также всему коллективу ОАО «АльфаСтрахование», в котором мне посчастливилось работать, и, в особенности,
заместителю генерального директора А.М. Башмачникову.

С
И С Т Е М Ы С Т Р А Х О В О Г О
В О З М Е Щ Е Н И Я У Щ Е Р Б А

Системы страхового возмещения ущерба

1. Принцип страхового возмещения
ущерба

1. Принцип страхового возмещения ущерба

Определение 1.1. Страховым риском называют предполагаемое событие, на случай наступления которого проводится
страхование. События, определенные в качестве страховых рисков, могут как произойти, так и не произойти. Если событие, определенное в качестве страхового риска, произошло, то его называют страховым событием.
За страхование страхователь уплачивает страховщику страховую бруттопремию (часто используются термины: страховая
премия, бруттопремия). Страховая премия может быть уплачена
единовременно или в рассрочку при помощи страховых взносов.
В случае уплаты страховой премии в рассрочку со страхователя
взимается дополнительная комиссия.

Определение 1.2. Страховой суммой называют денежную
сумму, на которую в соответствии со страховым договором застрахованы риски.

Определение 1.3. Размером ущерба называют стоимость,
которая теряется в результате наступления страхового события.
Размеры ущербов, вызываемых страховыми событиями, заранее
не известны.

Определение 1.4. Возмещением ущерба называют денежную сумму, которую выплачивает страховщик в результате возникновения страхового события.
Принцип страхового возмещения ущерба является одним из базисных страховых принципов и заключается в следующем:
страховая сумма не может превышать реальной цены застрахованного объекта;

7

размер ущерба не может превышать реальной цены застрахованного объекта;
размер страхового возмещения ущерба не может превышать страховой суммы.
В страховых договорах используется несколько различных
систем страхового возмещения ущерба, построенных на основе
принципа страхового возмещения ущерба. К описанию таких систем мы сейчас и переходим.

2. Возмещение ущерба по системе
первого риска

2. Возмещение ущерба по системе первого риска

При страховании по системе первого риска ущерб,
размер которого не превышает страховой суммы (первый риск),
возмещается в полном объеме. Ущерб, размер которого превышает страховую сумму (второй риск), возмещается в размере страховой суммы.
2.1. Автомобиль застрахован на сумму 16 000 у.е. Размер ущерба
12 000 у.е. Найти страховое возмещение по системе первого риска.
Решение. Поскольку размер ущерба меньше страховой суммы, страховое возмещение равно размеру ущерба и составляет
12 000 у.е.
Ответ. 12 000 у.е.
2.2. Автомобиль застрахован на сумму 16 000 у.е. Размер ущерба
18 000 у.е. Найти страховое возмещение по системе первого риска.
Решение. Поскольку размер ущерба превышает страховую
сумму, страховое возмещение равно страховой сумме и составляет
16 000 у.е.
Ответ. 16 000 у.е.

3. Система пропорционального
возмещения ущерба в случае
неполного страхования

3. Система пропорционального возмещения ущерба

Определение 3.1. Неполным страхованием (недострахованием) называют страхование, при котором объект страхуется на
сумму, меньшую его реальной стоимости.

8

Если, согласно страховому договору с неполным страхованием, возмещение ущерба осуществляется по системе пропорционального возмещения ущерба, то размер страхового возмещения ущерба
вычисляется по формуле

(3.1)

и, конечно же, не может превышать размера ущерба. Другими
словами, если, например, страховая сумма составляет 70 % реальной цены объекта страхования, то и страховое возмещение Sb составит 70 % ущерба. Оставшаяся часть ущерба (в данном случае
30 %) остается на риске страхователя. Долю ущерба, остающуюся
на риске страхователя, называют собственным удержанием страхователя.
3.1. Автомобиль стоимостью 20 000 у.е. застрахован на сумму 16 000 у.е.
Размер ущерба 12 000 у.е. Найти страховое возмещение по системе
пропорционального возмещения ущерба.
Решение. В силу (3.1)

Sb 16 000
20 000
12 000
9600(
)
у.е .

Ответ. 9600 у.е.

4. Система возмещения ущерба,
предусматривающая франшизу

4. Система возмещения ущерба, предусматривающая франшизу

В случае неполного страхования, описанного в
§ 3, рассматривалась одна из систем страхового обеспечения, при
которой в соответствии с условиями страхового договора часть
убытков страхователя не подлежала возмещению страховщиком.
Часть убытков страхователя не подлежит возмещению страховщиком также и в том случае, когда страховой договор предусматривает франшизу. Точнее говоря, франшизой и называют определенную часть убытков страхователя, не подлежащую возмещению страховщиком в соответствии с условиями заключенного
страхового договора, однако страховые договоры, предусматривающие франшизу, отличаются от договоров неполного страхования.

9

Страховое
возмещение

Страховая сумма

Цена объекта
Размер ущерба
=

Франшиза устанавливается в конкретной денежной сумме или
в проценте суммы страхового возмещения и может быть условной
или безусловной.
При условной франшизе страховщик не возмещает ущерб, размер которого не превышает франшизы. Если же размер ущерба
превышает франшизу, то он возмещается полностью.
При безусловной франшизе, так же как и при условной, страховщик не возмещает ущерб, размер которого не превышает
франшизы. Если же размер ущерба превышает франшизу, то страховое возмещение равно разности между размером ущерба и
франшизой.
Понятие франшизы было введено в страхование для того, чтобы освободить страховщика от возмещения незначительных ущербов в размере действующей франшизы. Как правило, для незначительных ущербов размер франшизы примерно соответствует затратам страховщика по определению размера ущерба.
4.1. Условная франшиза равна 5000 руб., а размер ущерба 4000 руб.
Найти страховое возмещение.
Решение. Поскольку размер ущерба меньше условной франшизы, он не возмещается.
Ответ. Ущерб не возмещается.
4.2. Условная франшиза равна 5000 руб., а размер ущерба 6000 руб.
Найти страховое возмещение.
Решение. Поскольку размер ущерба превышает условную
франшизу, он возмещается в полном объеме и возмещение составляет 6000 руб.
Ответ. 6000 руб.
4.3. Безусловная франшиза равна 5000 руб., а размер ущерба
4000 руб. Найти страховое возмещение.
Решение. Поскольку размер ущерба меньше безусловной
франшизы, он не возмещается.
Ответ. Ущерб не возмещается.
4.4. Безусловная франшиза равна 5000 руб., а размер ущерба
6000 руб. Найти страховое возмещение.
Решение. Страховое возмещение определяется при помощи
вычитания:

6000
5000
1000
руб.
Ответ. 1000 руб.

10

5. Страхование предпринимательского
р и с к а п о с и с т е м е п р е д е л ь н о й
ответственности

5. Страхование предпринимательского риска

Страхование предпринимательского риска по
системе предельной ответственности осуществляется в соответствии со следующей схемой:
Страхователь и страховщик на основании экспертных заключений, а также статистических данных, накопленных на протяжении ряда лет, прогнозируют доход от будущей страхуемой предпринимательской деятельности.
Если по прошествии указанного в страховом договоре периода
времени полученный от застрахованной предпринимательской
деятельности доход не меньше спрогнозированного, то считается,
что страхового события не было, и страховое возмещение не выплачивается.
Если же по прошествии указанного в страховом договоре периода
полученный от застрахованной предпринимательской деятельности доход меньше спрогнозированного, то вычисляется ущерб от
предпринимательской деятельности по формуле

,
(5.1)

причем полученный доход может принимать как положительное,
так и отрицательное значение (расход).
Если предел ответственности страховщика установлен в размере
а %, то страховое возмещение рассчитывается по формуле

.
(5.2)

5.1. Компьютерная фирма застраховала по системе предельной ответственности доход от производства и продажи 10 000 ноутбуков,
причем предел ответственности страховщика установлен в размере 40 % ущерба. Со страховщиком была согласована средняя цена
реализации одного ноутбука – 1460 у.е., однако 2000 ноутбуков было реализовано по цене 1500 у.е., 3000 ноутбуков – по цене 1450 у.е.,
а 5000 ноутбуков – по цене 1400 у.е. Найти страховое возмещение.
Решение. Доход от реализации ноутбуков спрогнозирован в
размере

D 10000 1460
14600000 (у.е.).

11

Страховое
возмещение = Ущерб
а
100

=
Ущерб
Прогнозируемый
доход
Полученный
доход
–

В действительности же фирма реализовала эти ноутбуки на
сумму

R 2 000 1500
3000 1450
5000 1400
14350000 (у.е).
Найдем размер ущерба по (5.1):

U
D
R
14600000 14350000
250000 (у.е.).
Теперь по (5.2) найдем страховое возмещение:

Sb 250000 0 4
100000
,
(у.е.).
Ответ. 100 000 у.е.
5.2. Банк предоставил клиенту кредит в размере 100 000 руб. сроком
на 1 год с годовой процентной ставкой 10 %. Риск невозврата кредита застрахован по системе предельной ответственности, причем
предел ответственности страховщика установлен в размере 30 %
ущерба. Найти страховое возмещение в случае невозврата кредита.
Решение. Сначала найдем ущерб, нанесенный банку в случае
невозврата кредита. В соответствии с (5.1)
U 100000 01
100000
110000
,
(руб.).
Теперь по (2.2) найдем страховое возмещение:

Sb 110000 0 3
33000
,
(руб.).
Ответ. 33 000 руб.
5.3. Заемщик 01.01.07 взял в банке кредит на сумму $ 800 000 сроком
на 1 год с годовой процентной ставкой 21 %. Погашение кредита
(вместе с процентными деньгами) должно осуществляться ежеквартально в равных долях. Банк застраховал риск непогашения
кредита. Предел ответственности страховщика 90 %, страховая
премия составляет 3,5 % страховой суммы. Страховая премия уплачивается в рассрочку при помощи ежеквартальных страховых
взносов, комиссия за рассрочку не взимается. Составить график
страховых взносов.
Решение. Определим сначала общую сумму K, которую заемщик должен возвратить банку, и процентные деньги Р:

K = 800 000 1,21 = 968 000;

Р = 800 000 0,21 = 168 000.
Ежеквартально заемщик должен погашать основной долг в
сумме

K
4
800000
4
200000
,

12