Московский Государственный Технический университет 

им. Н. Э. Баумана

И. Е.Денежкина

Линейная функция

(задачи повышенной сложности)

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана

в качестве учебного пособия

Москва
2 0 0 0

УДК 513.6 (075.8)
ББК 22.147
Д18

Рецензенты: Г.И. Бобрик, Ю.В. Тюменцев

Денежкина И.Е. Линейная функция: Учебное пособие.− М.: Из-во МГТУ 

им. Н.Э. Баумана, 2000,    стр., ил.

Учебное пособие представляет собой сборник задач, основанных на 

свойствах линейной функции, повышенной сложности ( в том числе задачи с 
параметром и/или модулем), содержащий все необходимые для их решения тео-
ретические сведения. 

Работа состоит из двух частей. В первой части приводятся необходимые 

теоретические сведения и рассматриваются решения наиболее важных или наи-
более сложных задач, содержащих линейную функцию. Вторая часть одержит 
набор задач, сложность которых постепенно нарастает.  Задачи снабжены отве-
тами.

Для преподавателей математики и учащихся физико-математических и 

профильных школ при технических университетах, преподавателей и слушате-
лей подготовительных курсов, абитуриентов. 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана 2000

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Основные методы решения задач,...............................................................4

связанных с исследованием линейных ......................................................................4

и кусочно-линейных функций....................................................................................4

§1. Линейная функция. Основные понятия............................................................4

1.1. Определение и график линейной функции..................................................4

1.2. Уравнения прямой на плоскости ..................................................................6

1.3. Взаимное расположение прямых на плоскости ..........................................7

2. Линейные уравнения и неравенства ...................................................................9

2.1. Решение линейных уравнений и неравенств...............................................9

2.2. Линейные уравнения и неравенства с коэффициентами, зависящими от 

параметра .............................................................................................................11

§ 3. Уравнения и неравенства, содержащие модуль ...........................................13

3.1. Модуль числа. Простейшие свойства модуля...........................................13

§ 4.  Кусочно-линейные функции и их графики..................................................14

4.1. Кусочно-линейная функция ........................................................................14

4.2. Графический метод исследования уравнений f(x) = a..............................16

4.3. Графический метод решения уравнений f(x) = a(x-x0) + y0 .....................18

Глава 2. Задачи...........................................................................................................20

§ 1. Линейные уравнения и неравенства. .............................................................20

§ 2. Графики линейных функций и их взаимное расположение........................21

§ 3. Системы и совокупности линейных уравнений и неравенств ....................24

§4. Модуль. Кусочно-линейная функция .............................................................25

§ 5. Линейная функция  в различных задачах......................................................29

ОТВЕТЫ .....................................................................................................................30

§ 1. Линейные уравнения и неравенства. .............................................................30

§ 2. Графики линейной функции и их взаимное расположение. .......................31

§ 3. Системы и совокупности уравнений и неравенств. .....................................32

§ 5. Линейная функция  в различных задачах......................................................33

Глава 1. Основные методы решения задач,

связанных с исследованием линейных 

и кусочно-линейных функций.

§1. Линейная функция. Основные понятия.

1.1. Определение и график линейной функции.

Линейной функцией называется функция вида 

y = f(x) = kx + b

здесь k и b – фиксированные действительные числа (константы), а x - перемен-

ная. Областью определения Df линейной функции является множество действи-

тельных чисел R, или вся числовая прямая. При k  0 областью значений Ef ли-

нейной функции также является R. При k = 0 линейная функция принимает вид  

f(x) = b и областью ее значений является множество {b}, состоящее из единст-

венной точки b. Число k называется угловым коэффициентом линейной функ-

ции, а число b – ее свободным членом.

Графиком линейной функции является прямая. При k=0 эта прямая y = b

параллельна оси абсцисс. Если b  0, то график линейной функции не имеет 

общих точек с осью OX ( рис.1а). Если b = 0, то график совпадает с осью абс-

цисс ( рис. 1б). Если k  0 то график линейной функции составляет с положи-

тельным направлением оси абсцисс угол  (  0), тангенс которого равен угло-

вому коэффициенту k:  tg  = k (рис. 1 в,г).

При этом углом между прямой, не параллельной оси OX, и  положитель-

ным направлением оси OX называется наименьший угол, на который нужно по-

вернуть ось OX против часовой стрелки до совмещения с этой прямой. Заметим, 

что если 0 является таким углом, то при повороте оси OX1 на угол 0+180, 

0+360,0+540,…,0+n180,…(n – целое положительное число) также проис-

ходит совмещение оси OX и данной прямой. Поэтому в определении и говорит-

ся о наименьшем угле. Угол между прямой, параллельной оси OX, и положи-

тельным направлением этой оси считается равным нулю по определению. Та-

ким образом и в случае k=0 выполняется условие tg  = k.

При k  0 график линейной функции пересекает ось OX в точке (

k
b

; 0). 

Для любого значения k график линейной функции пересекает ось ординат в 

точке (0; b). При b=0 прямая y = kx проходит через начало координат.

При k > 0 (tg  > 0) угол  острый и все точки графика линейной функ-

ции, за исключением точек отрезка, соединяющего точки пересечения графика с 

осями координат, лежат в I и III четвертях координатной плоскости (рис. 1в). 

Функция y = f(x) = kx + b при этом является возрастающей. При k < 0  (tg  < 0) 

указанный угол  тупой и все точки графика, кроме точек указанного отрезка, 

лежат во II и IV четвертях (рис. 1г). Функция y = f(x) = kx + b при этом убывает. 

1 Вращение оси OX происходит вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходя-
щей через точку пересечения OX с прямой. Если k=0, то таких точек нет.

1.2. Уравнения прямой на плоскости

Хотя графиком любой линейной функции  y = kx + b является прямая, 

существуют прямые, не являющиеся графиками 

линейной функции. Это прямые, параллельные 

оси OY. Уравнения таких прямых имеют вид x = 

a, где a определяет точку (a, 0) пресечения пря-

мой с осью OX (рис. 2).

Таким образом, любая прямая на плоскости 

может быть задана уравнением 1-го порядка (линейным уравнением). Верно и 

обратное утверждение: любое уравнение первой степени, содержащее две пере-

менных задает прямую на плоскости этих переменных. Уравнением (произ-

вольной)  прямой на плоскости является уравнение

px + qy + r = 0,

где p и q произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю 

(это условте часто записывают в виде p2 + q2  0 ). При q  0 это уравнение рав-

носильно рассмотренному выше  уравнению y = kx + b, 
q
r
b
,
q
p
k




, и соот-

ветствует прямой, не параллельной оси ординат. При q = 0 ( тогда p  0) это 

уравнение x = a, 
p
r
a


, и соответствует прямой, параллельной оси ординат.

Прямая линия на плоскости с фиксированной декартовой сиcтемой коор-

динат может быть задана угловым коэффициентом k и координатами (x0, y0)

любой точки, принадлежащей этой прямой (говорят, что  прямая задана точкой 

и направлением). В этом случае уравнение прямой имеет вид:

y – y0 = k (x – x0).

При необходимости это уравнение может быть преобразовано к виду y = kx + b, 
где b = y0 – kx0.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные различные точки с 

координатами (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) имеет вид2:

(x – x1)(y – y1) = (x2 – x1)(y2 – y1),

здесь  x1  x2 или y1  y2. 

1.3. Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые, заданные линейными функциями 

f1(x) = k1x + b1 и
f2(x) = k2x + b2,

- совпадают в том и только том случае, когда 








2
1

2
1

b
b

k
k
;

- параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k2 ; (следует иметь в виду, что 

прямая параллельна самой себе, т.е. совпадение прямых – частный случай их 

параллельности); - перпендикулярны в том и только том случае, когда k1 k2 = -1.

Отметим, что если k1 = 0 , то не существует прямой, описываемой ли-

нейной функцией, перпендикулярной прямой f1(x) = b. Все прямые, перпенди-

кулярные этой прямой, описываются уравнением x = a, поскольку прямые, пер-

пендикулярные оси абсцисс, параллельны оси ординат ( и обратно).

Углом между прямыми называется мень-

ший из двух смежных углов, образованных эти-

ми прямыми.  Поэтому угол  между прямыми 

лежит в пределах от 0 до 90 (от 0 до 2


). 

генс такого угла всегда неотрицателен.

Если прямые описываются линейными 

функциями  f1(x) = k1x + b1 и  f2(x) = k2x + b2, , 

и составляют с положительным направление 

оси OX углs  и 
соответственно, то угол 

между этими прямыми может равен наимень-

шему из чисел 

 
и  





(рис.4). Ес-

ли прямые заданные этими функциями, не перпендикулярны ( т.е. k1  k2  -1), 

то тангенс угла  между ними находится по формуле: 

2
1

1
2

k
k
1

k
k
tg






.

Пример 1. При каких значениях параметра р прямые 1 и  2 , заданные 

уравнениями  1 : p(p-2)x + (p-1)y + 3 = 0  2 : px + (p-2)y + 3p = 0

а) параллельны?  б) перпендикулярны?

Решение: Рассмотрим сначала случай, когда коэффициенты при y в урав-

нениях прямых обращаются в нуль: p = 1: В этом случае 1 : x= 3, 2 : y = x + 3, 

прямые не параллельны и не перпендикулярны. p = 2: В этом случае 1 : y = - 3, 

2 : x= - 3, прямые перпендикулярны. При p R {1,2 } 1 и  2 описываются 

линейными функциями
p
2

p
3
x
p
2

p
y
:
l
;
p
1

3
x
p
1

)
2
p
(
p
y
:
l
2
1










В этом случае условие параллельности прямых имеет вид:





































































2

5
5
p

2

5
5
p

0
p

}
2
;
1
{
p

0
)
5
p
5
p
(
p

}
2
;
1
{
p

0
)
2
p

1

p
1

2
p
(
p

}
2
;
1
{
p

p
2

p

p
1

)
2
p
(
p
2

2 В справочной литературе чаще используется вил уравнения  

1
2

1
2

1

1

y
y

x
x

y
y

x
x






, в котором 

В этом же случае условие перпендикулярности прямых имеет вид:






























p

}
2
;
1
{
p

1
p
p
1

}
2
;
1
{
p

p
2

p

p
1

)
2
p
(
p
2

Ответ:  1 2 при  
}
2

5
5
;
2

5
5
;
0
{
p



;  1  2 при  р =2.

2. Линейные уравнения и неравенства

2.1. Решение линейных уравнений и неравенств

Решением уравнения f(x) = 0 называется множество всех таких чисел, 

которые при подстановке в это уравнение обращают его в верное высказывание.

Решением неравенства  f(x) < 0 ( f(x) > 0, f(x)  0, f(x)  0) называется множест-

во всех таких чисел, которые при подстановке в это неравенство обращают его в 

верное высказывание.

Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если множест-

ва их решений совпадают. Процесс решения уравнения (неравенства) заключа-

ется в их последовательных равносильных преобразованиях. Между равносиль-

ными уравнениями (неравенствами) ставится знак «». При проведении этих 

преобразований используются следующие свойства множества действительных 

чисел:

1. a = b  a+c = b+c для всех a, b,c  R.

2.
a = b  ac = bc для всех a, b,c  R, c 0.

3. a  b  a+c b+c для всех a, b,c  R.

4. a  b  ac  bc для всех a, b,c  R, c >0.

предполагается различие обеих координат заданных точек. В приведенной же в тексте формуле 
достаточно, чтобы различалась хотя бы одна из координат.

5.
a  b  bc  ac для всех a, b,c  R, c <0.

Линейным уравнением (неравенством) называется уравнение f(x) = 0 

(неравенство f(x)  0 ), когда f(x) -линейная функция.

Пример 1: Решить уравнение 2x-1- x = x -1.

Решение: 2x-1-x = x -1 x-1 = x -1  0 = 0. Т.к. последнее высказывание 

истинно для всех  x  R, любое x  R является решением уравнения.

Ответ: x  R.

Пример 2: Решить уравнение
x
2
1
2
x
3


.

Решение: 
x
2
1
2
x
3



1
x
2
2
x
3



1
2
x 

 x= -2 .

Ответ: { -2}.

Пример 3:   Решить неравенство 2x-1 < 1-2x.

Решение: 2x-1 < 1-2x  4x <2  x< 

2
1 .

Ответ: 
)
2
1
;
( 

Пример 4 : Решить неравенство 1-x  2-x.

Решение: 1-x  2-x  1  2.

Ответ: x  R.

Пример 5 : Решить неравенство -2x > x-3x.

Решение: -2x > x-3x  -3x > -3x  x-x < 0  0<0  .

Ответ:  .

2.2. Линейные уравнения и неравенства с коэффициентами, 

зависящими от параметра

При решении уравнения вида Ax = B, где A и B – выражения, зависящие 

от параметров, необходимо рассматривать два случая: A=0 и A0.

Ax = B




































































































A
B
x

0
A

B
0

0
B

0
A

0
0

0
B
A

A
B
x

0
A

B
0

0
A

A
B
x

0
A

B
x
0

0
A

Ответ: при A=B=0  x  R, при A=0  B0  x  , при A R{0}  x A

B .

Пример 1: Для каждого значения параметра a решите уравнение: 4a2x+3=9x+2a.

Решение: 4a2x + 3 = 9x + 2a  (4a2 – 9)x = 2a-3  (2a – 3)(2a+3)x = 2a-3






































































































3
a
2

1
x

}
2
3
,
2
3
{
\
a

6
0

2
3
a

0
0

2
3
a

)
3
a
2
)(
3
a
2
(

3
a
2
x

0
)
3
a
2
)(
3
a
2
(

6
x
0

0
3
a
2

0
x
0

0
3
a
2

Ответ:   при a = 

2
3 x  R; при a = 
2
3

x  ; 

при a R{

2
3 ;
2
3

}  x
}
3
a
2

1
{

.

При решении неравенства Ax  B, где A и B – выражения, зависящие от 

параметров, необходимо рассматривать три случая: A=0, A< 0 и A> 0. Напом-

ним, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на