Линейная функция
Покупка
Основная коллекция
Автор:
Денежкина Ирина Евгеньевна
Год издания: 2000
Кол-во страниц: 33
Дополнительно
Учебное пособие представляет собой сборник задач, основанных на свойствах линейной функции, повышенной сложности ( в том числе задачи с параметром и/или модулем), содержащий все необходимые для их решения теоретические сведения.
Работа состоит из двух частей. В первой части приводятся необходимые теоретические сведения и рассматриваются решения наиболее важных или наиболее сложных задач, содержащих линейную функцию. Вторая часть одержит набор задач, сложность которых постепенно нарастает. Задачи снабжены ответами.
Для преподавателей математики и учащихся физико-математических и профильных школ при технических университетах, преподавателей и слушателей подготовительных курсов, абитуриентов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
- 02.03.02: Фундаментальная информатика и информационные технологии
- 02.03.03: Механика и математическое моделирование
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 03.03.03: Механика и математическое моделирование
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Московский Государственный Технический университет им. Н. Э. Баумана И. Е.Денежкина Линейная функция (задачи повышенной сложности) Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия Москва 2 0 0 0
УДК 513.6 (075.8) ББК 22.147 Д18 Рецензенты: Г.И. Бобрик, Ю.В. Тюменцев Денежкина И.Е. Линейная функция: Учебное пособие.− М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000, стр., ил. Учебное пособие представляет собой сборник задач, основанных на свойствах линейной функции, повышенной сложности ( в том числе задачи с параметром и/или модулем), содержащий все необходимые для их решения теоретические сведения. Работа состоит из двух частей. В первой части приводятся необходимые теоретические сведения и рассматриваются решения наиболее важных или наиболее сложных задач, содержащих линейную функцию. Вторая часть одержит набор задач, сложность которых постепенно нарастает. Задачи снабжены ответами. Для преподавателей математики и учащихся физико-математических и профильных школ при технических университетах, преподавателей и слушателей подготовительных курсов, абитуриентов. © МГТУ им. Н.Э. Баумана 2000
СОДЕРЖАНИЕ Глава 1. Основные методы решения задач,...............................................................4 связанных с исследованием линейных ......................................................................4 и кусочно-линейных функций....................................................................................4 §1. Линейная функция. Основные понятия............................................................4 1.1. Определение и график линейной функции..................................................4 1.2. Уравнения прямой на плоскости ..................................................................6 1.3. Взаимное расположение прямых на плоскости ..........................................7 2. Линейные уравнения и неравенства ...................................................................9 2.1. Решение линейных уравнений и неравенств...............................................9 2.2. Линейные уравнения и неравенства с коэффициентами, зависящими от параметра .............................................................................................................11 § 3. Уравнения и неравенства, содержащие модуль ...........................................13 3.1. Модуль числа. Простейшие свойства модуля...........................................13 § 4. Кусочно-линейные функции и их графики..................................................14 4.1. Кусочно-линейная функция ........................................................................14 4.2. Графический метод исследования уравнений f(x) = a..............................16 4.3. Графический метод решения уравнений f(x) = a(x-x0) + y0 .....................18 Глава 2. Задачи...........................................................................................................20 § 1. Линейные уравнения и неравенства. .............................................................20 § 2. Графики линейных функций и их взаимное расположение........................21 § 3. Системы и совокупности линейных уравнений и неравенств ....................24 §4. Модуль. Кусочно-линейная функция .............................................................25 § 5. Линейная функция в различных задачах......................................................29 ОТВЕТЫ .....................................................................................................................30 § 1. Линейные уравнения и неравенства. .............................................................30 § 2. Графики линейной функции и их взаимное расположение. .......................31 § 3. Системы и совокупности уравнений и неравенств. .....................................32 § 5. Линейная функция в различных задачах......................................................33
Глава 1. Основные методы решения задач, связанных с исследованием линейных и кусочно-линейных функций. §1. Линейная функция. Основные понятия. 1.1. Определение и график линейной функции. Линейной функцией называется функция вида y = f(x) = kx + b здесь k и b – фиксированные действительные числа (константы), а x - перемен ная. Областью определения Df линейной функции является множество действи тельных чисел R, или вся числовая прямая. При k 0 областью значений Ef ли нейной функции также является R. При k = 0 линейная функция принимает вид f(x) = b и областью ее значений является множество {b}, состоящее из единст венной точки b. Число k называется угловым коэффициентом линейной функ ции, а число b – ее свободным членом. Графиком линейной функции является прямая. При k=0 эта прямая y = b параллельна оси абсцисс. Если b 0, то график линейной функции не имеет общих точек с осью OX ( рис.1а). Если b = 0, то график совпадает с осью абс цисс ( рис. 1б). Если k 0 то график линейной функции составляет с положи тельным направлением оси абсцисс угол ( 0), тангенс которого равен угло вому коэффициенту k: tg = k (рис. 1 в,г). При этом углом между прямой, не параллельной оси OX, и положитель ным направлением оси OX называется наименьший угол, на который нужно по вернуть ось OX против часовой стрелки до совмещения с этой прямой. Заметим,
что если 0 является таким углом, то при повороте оси OX1 на угол 0+180, 0+360,0+540,…,0+n180,…(n – целое положительное число) также проис ходит совмещение оси OX и данной прямой. Поэтому в определении и говорит ся о наименьшем угле. Угол между прямой, параллельной оси OX, и положи тельным направлением этой оси считается равным нулю по определению. Та ким образом и в случае k=0 выполняется условие tg = k. При k 0 график линейной функции пересекает ось OX в точке ( k b ; 0). Для любого значения k график линейной функции пересекает ось ординат в точке (0; b). При b=0 прямая y = kx проходит через начало координат. При k > 0 (tg > 0) угол острый и все точки графика линейной функ ции, за исключением точек отрезка, соединяющего точки пересечения графика с осями координат, лежат в I и III четвертях координатной плоскости (рис. 1в). Функция y = f(x) = kx + b при этом является возрастающей. При k < 0 (tg < 0) указанный угол тупой и все точки графика, кроме точек указанного отрезка, лежат во II и IV четвертях (рис. 1г). Функция y = f(x) = kx + b при этом убывает. 1 Вращение оси OX происходит вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку пересечения OX с прямой. Если k=0, то таких точек нет.
1.2. Уравнения прямой на плоскости Хотя графиком любой линейной функции y = kx + b является прямая, существуют прямые, не являющиеся графиками линейной функции. Это прямые, параллельные оси OY. Уравнения таких прямых имеют вид x = a, где a определяет точку (a, 0) пресечения пря мой с осью OX (рис. 2). Таким образом, любая прямая на плоскости может быть задана уравнением 1-го порядка (линейным уравнением). Верно и обратное утверждение: любое уравнение первой степени, содержащее две пере менных задает прямую на плоскости этих переменных. Уравнением (произ вольной) прямой на плоскости является уравнение px + qy + r = 0, где p и q произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю (это условте часто записывают в виде p2 + q2 0 ). При q 0 это уравнение рав носильно рассмотренному выше уравнению y = kx + b, q r b , q p k , и соот ветствует прямой, не параллельной оси ординат. При q = 0 ( тогда p 0) это уравнение x = a, p r a , и соответствует прямой, параллельной оси ординат. Прямая линия на плоскости с фиксированной декартовой сиcтемой коор динат может быть задана угловым коэффициентом k и координатами (x0, y0) любой точки, принадлежащей этой прямой (говорят, что прямая задана точкой и направлением). В этом случае уравнение прямой имеет вид: y – y0 = k (x – x0).
При необходимости это уравнение может быть преобразовано к виду y = kx + b, где b = y0 – kx0. Уравнение прямой, проходящей через две заданные различные точки с координатами (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) имеет вид2: (x – x1)(y – y1) = (x2 – x1)(y2 – y1), здесь x1 x2 или y1 y2. 1.3. Взаимное расположение прямых на плоскости Две прямые, заданные линейными функциями f1(x) = k1x + b1 и f2(x) = k2x + b2, - совпадают в том и только том случае, когда 2 1 2 1 b b k k ; - параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k2 ; (следует иметь в виду, что прямая параллельна самой себе, т.е. совпадение прямых – частный случай их параллельности); - перпендикулярны в том и только том случае, когда k1 k2 = -1. Отметим, что если k1 = 0 , то не существует прямой, описываемой ли нейной функцией, перпендикулярной прямой f1(x) = b. Все прямые, перпенди кулярные этой прямой, описываются уравнением x = a, поскольку прямые, пер пендикулярные оси абсцисс, параллельны оси ординат ( и обратно). Углом между прямыми называется мень ший из двух смежных углов, образованных эти ми прямыми. Поэтому угол между прямыми лежит в пределах от 0 до 90 (от 0 до 2 ). генс такого угла всегда неотрицателен.
Если прямые описываются линейными функциями f1(x) = k1x + b1 и f2(x) = k2x + b2, , и составляют с положительным направление оси OX углs и соответственно, то угол между этими прямыми может равен наимень шему из чисел и (рис.4). Ес ли прямые заданные этими функциями, не перпендикулярны ( т.е. k1 k2 -1), то тангенс угла между ними находится по формуле: 2 1 1 2 k k 1 k k tg . Пример 1. При каких значениях параметра р прямые 1 и 2 , заданные уравнениями 1 : p(p-2)x + (p-1)y + 3 = 0 2 : px + (p-2)y + 3p = 0 а) параллельны? б) перпендикулярны? Решение: Рассмотрим сначала случай, когда коэффициенты при y в урав нениях прямых обращаются в нуль: p = 1: В этом случае 1 : x= 3, 2 : y = x + 3, прямые не параллельны и не перпендикулярны. p = 2: В этом случае 1 : y = - 3, 2 : x= - 3, прямые перпендикулярны. При p R {1,2 } 1 и 2 описываются линейными функциями p 2 p 3 x p 2 p y : l ; p 1 3 x p 1 ) 2 p ( p y : l 2 1 В этом случае условие параллельности прямых имеет вид: 2 5 5 p 2 5 5 p 0 p } 2 ; 1 { p 0 ) 5 p 5 p ( p } 2 ; 1 { p 0 ) 2 p 1 p 1 2 p ( p } 2 ; 1 { p p 2 p p 1 ) 2 p ( p 2 2 В справочной литературе чаще используется вил уравнения 1 2 1 2 1 1 y y x x y y x x , в котором
В этом же случае условие перпендикулярности прямых имеет вид: p } 2 ; 1 { p 1 p p 1 } 2 ; 1 { p p 2 p p 1 ) 2 p ( p 2 Ответ: 1 2 при } 2 5 5 ; 2 5 5 ; 0 { p ; 1 2 при р =2. 2. Линейные уравнения и неравенства 2.1. Решение линейных уравнений и неравенств Решением уравнения f(x) = 0 называется множество всех таких чисел, которые при подстановке в это уравнение обращают его в верное высказывание. Решением неравенства f(x) < 0 ( f(x) > 0, f(x) 0, f(x) 0) называется множест во всех таких чисел, которые при подстановке в это неравенство обращают его в верное высказывание. Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если множест ва их решений совпадают. Процесс решения уравнения (неравенства) заключа ется в их последовательных равносильных преобразованиях. Между равносиль ными уравнениями (неравенствами) ставится знак «». При проведении этих преобразований используются следующие свойства множества действительных чисел: 1. a = b a+c = b+c для всех a, b,c R. 2. a = b ac = bc для всех a, b,c R, c 0. 3. a b a+c b+c для всех a, b,c R. 4. a b ac bc для всех a, b,c R, c >0. предполагается различие обеих координат заданных точек. В приведенной же в тексте формуле достаточно, чтобы различалась хотя бы одна из координат.
5. a b bc ac для всех a, b,c R, c <0. Линейным уравнением (неравенством) называется уравнение f(x) = 0 (неравенство f(x) 0 ), когда f(x) -линейная функция. Пример 1: Решить уравнение 2x-1- x = x -1. Решение: 2x-1-x = x -1 x-1 = x -1 0 = 0. Т.к. последнее высказывание истинно для всех x R, любое x R является решением уравнения. Ответ: x R. Пример 2: Решить уравнение x 2 1 2 x 3 . Решение: x 2 1 2 x 3 1 x 2 2 x 3 1 2 x x= -2 . Ответ: { -2}. Пример 3: Решить неравенство 2x-1 < 1-2x. Решение: 2x-1 < 1-2x 4x <2 x< 2 1 . Ответ: ) 2 1 ; ( Пример 4 : Решить неравенство 1-x 2-x. Решение: 1-x 2-x 1 2. Ответ: x R. Пример 5 : Решить неравенство -2x > x-3x. Решение: -2x > x-3x -3x > -3x x-x < 0 0<0 . Ответ: .