ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013. Вып. 2
ФИЗИКА И ХИМИЯ

Физика конденсированного состояния

УДК 536.421.4

Д.В. Александров, А.В. Бритоусова, С.В. Вихарев, А.А. Иванов, А.П. Малыгин, И.Г. Низовцева, 
И.О. Стародумов

КОНВЕКТИВНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ 
С ОБЛАСТЬЮ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

Проведено исследование и обобщение полуэмпирических подходов и моделей описания структурно-фазовых пе-
реходов в процессах затвердевания с двухфазной зоной на различные законы конвективного тепломассопереноса 
в жидкой фазе системы при разных переохлаждениях и кинетических механизмах роста твердого вещества.

Ключевые слова: затвердевание, конвекция, двухфазная зона.

Многочисленные экспериментальные данные по затвердеванию расплавов, выращиванию кри-

сталлов, а также данные полевых наблюдений по замерзанию морской воды свидетельствуют о 
сильном влиянии конвективно-кинетических механизмов тепломассопереноса на динамику струк-
турно-фазовых переходов. Изучение таких процессов в значительной степени опирается на экспери-
ментально известные зависимости, определяющие кинетические и конвективные механизмы роста 
твердой фазы и вместе с тем являющиеся характеристиками конкретных веществ и условий прове-
дения наблюдений. Настоящая работа обобщает известные полуэмпирические подходы и модели 
описания таких процессов на различные законы конвективного тепломассопереноса в жидкой фазе 
системы при разных переохлаждениях и кинетических механизмах роста твердого вещества.

Рассмотрим процесс кристаллизации бинарной системы, изображенный на рис. 1. В начальный 

момент времени расплав температуры 
0
T  начинает охлаждаться от границы 
0
=
z
, поддерживае-

мой при температуре 
bT , которая может зависеть от времени t . На самых начальных стадиях про-

цесса происходит образование двухфазной области, разделяющей чисто твердую и чисто жидкую 
фазы системы [1]. Отметим, что такой процесс образования протекает достаточно быстро как в ме-
таллургических процессах затвердевания расплавов [2], так и в геофизических процессах замерзания 
солевых растворов [3] (при этом чисто твердая фаза занимает обычно узкий слой вблизи охлаждае-
мой границы). Далее кристаллизация происходит с движущейся областью фазового перехода 

ih
z <
<
0
, в которой претерпевает рост доля   твердой фазы системы.

Рис. 1. Схематическая диаграмма процесса. В областях I, II и III соответственно располагаются 

двухфазная зона, расплав и твердая фаза. На рисунке проиллюстрировано распределение 

температуры в различные моменты времени

Конвективно-кинетическая динамика кристаллизации…
61

ФИЗИКА И ХИМИЯ
2013. Вып. 2

Поскольку диффузионные процессы в зоне двухфазного состояния вещества часто протекают 

достаточно медленно (см., например, [3]), будем использовать уравнение Шейла для определения 
концентрации примеси 
)
,
(
t
z
Cm

,
)
(
=
)
(1
t
C
C
t
C

s
m

m









(1)

где 
s
C
– концентрация примеси в твердой фазе. При необходимости учет диффузионных процессов 

можно произвести в духе работы [4]. Учитывая, что время релаксации температурного поля на не-
сколько порядков меньше остальных характерных времен процесса, распределение температуры в 
твердой фазе и двухфазной зоне можно представить линейной функцией пространственной коорди-
наты z

),
(
<
<
0
,
)
(
)
(
=
)
,
(
t
h
z
z
t
G
t
T
t
z
T
i
T
b
m

(2)

где 
T
G
– температурный градиент.

Соотношение между температурой и концентрацией примеси в области фазового перехода 

устанавливается с помощью фазовой диаграммы, которая достаточно часто бывает нелинейной [5]. 
Поэтому запишем такую зависимость в виде произвольного закона линии ликвидус 

).
(
=
m
L
m
C
T
T
(3)

Основываясь на данных работ [1; 6], граничное условие теплового баланса запишем в виде 



),
(
=
,
=
)
(
t
h
z
F
z
T
k
dt
dh
L
T
T
c
i
T

m

m

i

i
i
l
l






(4)

 где 
lc  и 
lT
– теплоемкость и температура жидкой фазы, 
iT
– температура на межфазной границе 

ih
z =
, L – скрытая теплота кристаллизации, 



s
l
m
k
k
k

 )
(1
=
)
(
– коэффициент теплопро-

водности двухфазной зоны (
lk  и 
sk
– коэффициенты теплопроводности жидкой и твердой фаз), 

T
F
– конвективный тепловой поток, идущий от расплава в двухфазную область. Экспериментальные 

и теоретические данные работ [1; 6-8] по кристаллизации водных растворов показывают, что тепло-
вой поток при достаточно больших числах Рэлея Ra  (порядка 
6
10  и более), которые определяют 

конвекцию, можно представить в следующем виде: 

.
=
,
)
(
=
)
(

1/3

















l

l
i
l
l
T

g
k
B
T
T
B
T
F
(5)

Отметим, что в упомянутых экспериментах это число по порядку величины составляло 
9
10

(при значениях Ra  от 
3
10  до 
6
10  по порядку величины это соотношение нуждается в модифи-

кации, а при Ra  меньше 
3
10  конвекция прекращается во всем объеме жидкости [6]). Здесь 
–

коэффициент теплового расширения, g – ускорение свободного падения, 
l
– коэффициент тем-

пературопроводности, 
– коэффициент кинематической вязкости, 
– эмпирическая постоянная 

(согласно данным работ [1; 6; 9] 
0.14


, 
4/3
=

). Отметим, что коэффициент B  может зави-

сеть от температуры. Так, по данным работ [1; 9], такая зависимость содержится в эмпирических со-
отношениях для   и  .

Степенная зависимость (5) теплового потока от переохлаждения, следующая из данных экспе-

риментов, реализуется при различных значениях  . Так, во многих работах при описании конвек-
тивных потоков жидкости в термодиффузионных процессах используются экспериментально уста-
новленные степенные зависимости при 
1
=

 [10; 11], 
4/3
=

 [6], 
2
=

 [12]. Для общности 

рассматриваемого подхода далее будем использовать обобщенный вид потока при произвольных 
значениях интенсивности конвекции  .

При интенсивном конвективном движении расплава изменение его температуры можно пред-

ставить в виде 

.
=
/
)
(
T
l
i
l
F
dt
dT
h
H
c


(6)