Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2011, №74

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

1

УДК 51-73:532.5.013 
UDC 51-73:532.5.013 
 
 
МЕТОДИКА ПРОГНОЗА ВОЗНИКНОВЕНИЯ 
ПАВОДКОВОЙ СИТУАЦИИ НА УЧАСТКЕ 
РУСЛА ГОРНО-РАВНИННОЙ РЕКИ, 
ОСНОВАННАЯ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ 
УРАВНЕНИЯ ВОДНОГО БАЛАНСА 

FORECASTING METHOD OF FLOOD 
SITUATION IN A CHANNEL OF THE 
MOUNTAIN-FLAT RIVER BASED ON USING 
WATER BALANCE EQUATION  

 
 
Вандина Наталья Валерьевна 
Vandina Natalia Valerievna 
Армавирская государственная педагогическая 
академия, Армавир, Россия 
Armavir State Pedagogical Academy, Armavir, Russia 

 
 
Описана методика прогноза расхода потока на 
участке русла горно-равнинной реки, основанная 
на уравнении водного баланса и стохастической 
модели прогноза возникновения паводковой 
ситуации в гидрометрическом створе реки. 
Приведены результаты тестовых расчетов, 
выполненных для участков русла реки Кубань 

Forecasting method of flow discharge on the reach of 
the mountain-flat river channel based on water balance 
equation and stochastic forecasting model of flood 
situation in a hydrometric section line of river canal is 
described. The results of test calculations executed for 
a reaches of the river Kuban are presented 

 
 
Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ ВОДНОГО 
БАЛАНСА, ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР 
КАЛМАНА-БЬЮСИ, РАСХОД ПОТОКА, 
ПРОГНОЗ ПАВОДКОВОЙ СИТУАЦИИ 

Keywords: WATER BALANCE EQUATION, 
KALMAN-BUCY OPTIMAL FILTER, FLOW 
DISCHARGE, FORECAST OF FLOOD SITUATION 

 

1. Постановка задачи 

В настоящее время остро стоит проблема поиска методов и моделей 

прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных 

рек, наносящих значительный экономических ущерб регионам России.  

Задача прогноза возникновения паводковой ситуации на участке 

русла реки основывается на экстраполяции кривых зависимостей 

гидрологических характеристик потока от времени (глубины ( )t
h
, средней 

скорости 
( )t
v
, расхода 
( )t
Q
) за пределы диапазона измеренных или 

вычисленных значений. 

Пусть в результате расчетов найдена функция 
( )t
ϕ
 определяющая 

зависимость некоторой основной гидрологической характеристики потока 

от времени t . 

Под чрезвычайной (паводковой) ситуацией, возникшей на заданном 

участке русла горно-равнинной реки, будем понимать такую ситуацию, 

при 
которой 
будет 
наблюдаться 
превышение 
рассматриваемой 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

2

характеристики потока ( )t
ϕ
 некоторой критической величины 
кр
ϕ , т.е. 

 
(
)
кр
t
ϕ
τ
ϕ
>
+
, 

где (
)
τ
ϕ
+
t
 – расчетное значение характеристики потока в момент времени 

τ
+
t
, 
кр
ϕ  – критическое значение характеристики потока, превышение 

которой приведет к выходу воды на пойму и затоплению прибрежных 

построек. 

Практический интерес представляет также задача определения 

момента времени 
τ
+
t
 начала затопления территории 
в районе 

рассматриваемого участка русла. 

Момент 
времени 
затопления 
τ
+
t
 
можно 
определить 
из 

алгебраического уравнения 

 
(
)
кр
t
ϕ
τ
ϕ
=
+
. 

Разобьем русло реки на расчетные участки 
iP  (
n
i
,1
=
) таким образом, 

чтобы их границы находились на гидрологических постах, расположенных 

на реке (рис. 1). 

 
 
 
Рис. 1. Участок русла горно-равнинной реки 

 

Рассмотрим некоторый участок 
iP  русла реки. Математическая 

модель движения потока воды в верхнем створе данного участка 

описывается уравнением  

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

3

gJBh
Q

Bh
gn

dt
dQ
+
−
=
2
3
/
7

2
, 
(1) 

при заданном начальном условии  

 
( )
0
0
Q
t
Q
=
, 
(2) 

где g  – ускорение свободного падения, B  – ширина потока, J  – уклон дна 

русла, n  – коэффициент шероховатости. 

Будем считать, что в каждый момент времени t  результаты 

наблюдений ( )t
Q
 содержат случайные ошибки ( )t
w
: 

 
( )
( )
( )t
w
t
Q
t
z
+
=
,  
 

где 
( )t
w
 – случайный процесс типа белого гауссова шума с нулевым 

средним и корреляционной функцией: 

 
(
)
( ) ( )
( ) (
)
τ
δ
τ
τ
ϕ
−
=
=
t
t
P
w
t
w
M
t
ww
]
[
,
, 

( )t
P
 – интенсивность белого шума, ( )
0
>
t
P
 при 
[
]
T
t
t
,
0
∈
. Предполагаем, 

что функция ( )t
P
 непрерывно дифференцируема при 
[
]
T
t
t
,
0
∈
. 

Пусть 
на 
основе 
методики 
построения 
оптимальной 
в 

среднеквадратическом смысле оценки расхода потока 
( )t
Q
 решения 
( )t
Q
 

задачи (1) – (2)  построена стохастическая модель прогноза возникновения 

паводковой ситуации в створе русла реки [1]: 

 
(
)
( )
(
)
τ
τ
τ
τ
+
⋅
=
+
t
u
F
t
u
d
d
, 
(3) 

 
(
)
[
]
( )t
u
t
u
=
+
=0
τ
τ
, 
(4) 

 
(
)
(
)
(
)
τ
τ
τ
+
+
+
=
+
t
Q
t
u
t
Q
~
, 
(5) 

 
(
)
кр
Q
t
Q
>
+τ
, 
 

где 
( )
( )

( )

3
/
7

2 ~
2
t
Bh
t
Q
gn
t
F
−
=
, 
( )t
Q~
 – приближенное решение уравнения (1) при 

заданном начальном условии 
( )
0
0

~Q
t
Q
=
. ( )t
u
 является решением фильтра 

Калмана-Бьюси и находится из соотношений 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

4

( )
( ) ( )
( )

( )

( )t
F
t

t

s
F
e
u
ds
s
P
e
s
y
s
R
t
u
1

0

1

0 ⋅
+
= ∫

−
, 
 

 
( )
( )
( )
( )
∫
−
=

t

t
ds
s
P
s
R
s
F
t
F

0

1
; 

 
( )

( )

( )

( )
∫
+
=
t

t

s
F

t
F

ds
s
P
e
u

e
u
t
R

0

2

2

2
0

2
0

1
, 
 

 
( )
( )
∫
=

t

t
ds
s
F
t
F

0
2
2
; 

 
( )
( )
( )t
Q
t
z
t
y
~
−
=
. 

Пусть в результате решения задачи (3) – (5) найдена зависимость 

расхода потока от времени в верхнем створе участка русла реки 
(
)
τ
+
t
Qв
. 

Поставим задачу прогноза возникновения паводковой ситуации в створе 

русла реки, расположенном ниже по течению. Для решения данной задачи 

необходимо 
найти 
функцию 
(
)
τ
+
t
Qн
, 
позволяющую 
вычислить 

прогнозное значение расхода потока в  нижнем створе в будущий момент 

времени 
τ
+
t
. 

 

2. Методика решения поставленной задачи 

Решение поставленной задачи прогноза возникновения паводковой 

ситуации выполним на основе уравнения водного баланса, которое для 

участка русла реки имеет вид [2]: 

 
0
.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
т
и
ф
сб
вз
б
в
н
±
−
±
+
−
+
=
, 
(6) 

где 
н
Q  – расход воды в нижнем по течению створе реки, 
в
Q  – расход воды 

в верхнем створе реки, 
б
Q  – боковой приток, 
вз
Q  и 
сб
Q  – суммарный 

водозабор и сброс воды в реку, 
ф
Q  – фильтрационный приток или отток, 

т
и
Q .  – испарение с водной поверхности и транспирация воды, влаги 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

5

растительностью, 
0
Q  – остаточный член, компенсирующий неучтенные 

компоненты и погрешности определения учтенных. 

Отметим, что данная модель не учитывает время руслового 

добегания τ , которое влияет на результаты прогноза характеристик потока 

при рассмотрении участков русла реки большой протяженности. Более 

того, в модели должна быть учтена отдаленность гидрологических постов, 

расположенных на боковых притоках реки от точек их впадения в русло. 

Также при составлении прогноза необходимо учитывать количество 

осадков, прогнозируемых на участке за период времени τ . 

Возникает необходимость в уточнении модели (6) с учетом времени 

добегания, количества выпадающих осадков и специфики расположения 

гидропостов на боковых притоках реки. 

Функция расхода потока 
( )t
Qв
 может быть найдена в результате 

расчетов или известна из непосредственных наблюдений расхода воды в 

верхнем створе реки участка 
iP . Функцию 
( )t
Qн
, представляющую собой 

зависимость расхода потока в нижнем створе рассматриваемого участка, 

будем определять из соотношения: 

 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
p
з

M

k
з
пр
б

N

j
б
p
в
н
t
F
t
Q
t
Q
t
Q
t
Q
k
k
j
j
j
τ
τ
τ
τ
τ
−
+
−
−
−
−
+
−
=
∑
∑
=
=
1
1
, (7) 

где 
б
Q  – боковой приток, 
з
Q  – забор воды из русла реки в каналы для 

сельскохозяйственных нужд, F  – количество прогнозируемых за период 

времени 
p
τ  осадков, 
p
τ  – время добегания объема воды от верхнего до 

нижнего створа, 
j
б
τ
 – время добегания объема воды от точки впадения j 
го бокового притока в русло реки до нижнего створа, 
j
пр
τ
 – время 

добегания объема воды от створа j -го бокового притока, в котором 

известна функция 
б
Q  до точки его впадения в русло реки, 
kз
τ
 – время 

добегания объема воды от k -го створа, в котором производится отъем 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

6

воды, до нижнего створа. 

В предлагаемом уравнении (7) не учитываются фильтрационный 

приток (или отток) и испарение с водной поверхности, поскольку их 

величина в русле горно-равнинной реки при больших расходах воды, 

наблюдающихся во время паводка, не оказывает значительное влияние на 

величину расхода в замыкающем створе реки.  

Время добегания τ  на участке реки, границами которого являются 

гидрологические посты, может быть найдено по результатам многолетних 

наблюдений расходов воды в русле реки и анализа гидрографов 

гидропостов (рис. 2). 

 
 
 
Рис. 2. Гидрографы р. Кубань 

 

На рисунке 3 представлены гидрографы, полученные по результатам 

измерений расхода воды на гидропостах города Армавира и станицы 

Ладожской. Среднее время добегания может быть найдено как разность 

абсцисс пиковых значений расхода воды. Из рисунка видно, что время 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

7

добегания на данном участке русла реки Кубань составляет два дня 

(
2
=
p
τ
). 

Разница значений ординат пиков гидрографов обусловлена наличием 

Новокубанского канала, в котором производится забор воды. 

 

 

Рис.3. Гидрографы р. Кубань – г. Армавир, ст. Ладожская 

 

На практике часто возникает задача прогноза возникновения 

паводковой ситуации в нижнем створе русла реки, в районе которого 

отсутствует гидрологический пост и не имеется данных измерений. В этом 

случае приближенное значение времени добегания может быть найдено по 

формуле 

 
 

p

p
p
v

x
=
τ
, 
(8) 

где 
p
x  – расстояние между створами, 
p
v  – средняя скорость движения 

потока на заданном участке. 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

8

Аналогичным образом могут быть получены величины 
j
б
τ
, 
j
пр
τ
, 

kз
τ
.  

Для вычисления средней по сечению скорости потока воды 
p
v  

воспользуемся уравнением Шези [3]: 

 
R
C

v
J
p

2

2
=
, 
(9) 

где J  – уклон дна русла реки,  C – коэффициент Шези, R  – 

гидравлический радиус, равный отношению площади живого сечения 

потока к длине смоченного периметра живого сечения потока (для 

достаточно широких русел принимается равным глубине потока 
h
R ≈
). 

Уравнение (9) с учетом эмпирической формулой Маннига для 

вычисления коэффициента Шези  

  

6
1
R
n
C =
 
 

может быть представлено в виде: 

 
J
h
n
v p
3
2
1
=
, 
(10)  

где n  – коэффициент шероховатости. 

В (10) коэффициент n  находится по справочным таблицам [3]. 

Уклон дна русла J  определяется путем продольного нивелирования русла 

реки [4]. 

 

3. Расчет расхода воды на бесприточном участке русла реки 

Рассмотрим 
участок 
реки 
Кубань, 
расположенный 
между 

гидропостами в городе Армавире и станице Ладожской. Используя 

уравнение водного баланса для участка русла реки (7), найдем зависимость 

расхода воды от времени в нижнем створе рассматриваемого участка по 

известным результатам наблюдений расходов в верхнем створе с учетом 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

9

времени руслового добегания. 

 Уравнение (7) для рассматриваемого участка русла реки принимает 

вид: 

 
( )
(
)
τ
−
=
t
Q
t
Q
А
Л
, 
(11) 

где 
( )t
QЛ
 – зависимость расхода потока от времени в ст. Ладожской, 
( )t
QА
 

– зависимость расхода потока от времени в г. Армавире, τ  – время 

добегания объема воды от верхнего до нижнего створа. 

Результаты измерений расхода воды в г. Армавире, представленные 

на 
рисунке 
4, 
аппроксимированы 
многочленом 
8-й 
степени 
с 

коэффициентом детерминации 
999
,0
2 =
R
: 

 

( )

.1,
216
73
,
186
83
,
76

74
,8
205
,
11
538
,2
241
,0
00938
,0
10
68
,8

2

3
4
5
6
7
8
5

+
⋅
−
⋅
+

+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
−

t
t

t
t
t
t
t
t
t
QА

 

 
Рис. 4. Данные измерения расхода воды в г. Армавире и график 

аппроксимирующей их функции  

 

Анализ гидрографов, построенных по экспериментальным данным 

измерений расхода потока в заданных створах, показывает, что среднее 

время добегания τ  объема воды на данном участке составляет 2 дня.  

На рисунке 5 представлен график изменения во времени расхода 

воды в ст. Ладожской, построенный по результатам расчетов по формуле 

Научный журнал КубГАУ, №74(10), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/10/pdf/47.pdf

10

(11), а также гидрограф, построенный по результатам непосредственных 

измерений расхода воды в данный период времени.  

 

 
Рис. 5. Сравнительный анализ результатов расчета с данными измерений 

 

Средняя относительная погрешность вычислений по формуле (11) 

составляет 
%.
4,5
=
ср
δ
 

4. Расчет расхода воды на участке русла реки с притоком 

Пусть функция 
в
Q  известна из результатов непосредственных 

измерений. Выполним расчет расхода потока в нижнем створе участка 

русла реки с боковым притоком. Будем рассматривать участок русла реки 

Кубань от села Успенское до города Армавира. На данном участке имеется 

боковой приток (река Уруп), который впадает в реку Кубань в районе 

Армавира.  

Для данного участка русла реки с одним боковым притоком без 

учета выпадающих в рассматриваемый период времени осадков уравнение 

(7) примет вид: 

 
( )
(
)
(
)
пр
С
p
У
А
t
Q
t
Q
t
Q
τ
τ
−
+
−
=
, 
(12) 

где 
( )t
QА
 – зависимость расхода потока от времени в г. Армавире, 
( )t
QУ
 –