я 

MJL Годожяцына 
СЛ. Зотов 
ГЛ.Гкврнлко 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЁТООЫ 
ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ 

МОДЕЛЕЙ РЭА И ТЕХНОЛОПИССКИХ 
ПРОЦЕССОВ. 
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ 
аля ОТЫСКАНИЯ оптимальных 
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 

Москва 
Издательство МГОУ 
1999 

о 

уда 621. 396. 6. 049. 77 
БЕК 327 844-02 
Г 61 

• Головицына М. В., Зотов С. П. Экспериментальные методы пост-
роения математических моделей РЭА и технологических процессов. 
Применение методов шинирования для отыскания оптимальных техноло-
гических режимов: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГОУ, 1999. 

В учебном пособии рассматриваются вопросы планирования актив-
ного эксперимента, перехода от полного к дробному факторному экс-
перименту и построения математических моделей, связывающих показа-
тели качества технологического процесса изготовления РЭА с входны-
ми и управляющими параметрами этого процесса. 

Пособие предназначено студентам радиотехнических специальнос-
тей вузов. 

Рецензент к. т. н., доц. Е. И. Смышляев 

ISBN 5-7045-0460-4 

С. Л. Зотов, 
Г.И. Гаврилко, 
1999 

ВВЕДЕНИЕ 

Студенты, обучающиеся по специальности "Конструирование и 
технология радиоэлектрбнных систем" (РЭС) (специальность 200.800) 
изучают дисциплину "Теоретические основы конструирования, техноло-
гии и надежности РЭС". 

Одними из важнейших в курсе являются вопросы планирования и 
проведения активных экспериментов для построения математических 
(регрессионных) зависимостей выходных показателей качества, кото-
рые необходиш. при проектировании технологического процесса произ-
водства РЭС. 

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 

В прикладной статистике методы обработки экспериментальных 
данных принято разделять на пассивные и активные. 

При проведении пассивного эксперимента исследователь не вме-
шивается в процесс функционирования изучаемого объекта. Его роль 
заключается лишь в теш, чтобы снять информацию с функционирующего 
объекта и обработать ее в соответствии с принятой математической 
моделью объекта. 

Однако проведение даже таких простых и естественных наблюде-
ний за состоянием изучаемого объекта не всегда возможно из-за тех-
нико-экономических соображений. 

Постановка активного эксперимента осуществляется по принятому 
заранее плану или программе. Такой эксперимент предусматривает, 
например, вмешательство в разные стадии разработки и производства 
объекта и далее в процесс его функционирования. 

Обычно чем активнее вмешательство в исследуемый процесс, тем 
с большей уверенностью можно ожидать извлечение из него информа-
ции, которая может быть использована для построения математической 
модели процесса и управления. 

Активный эксперимент - принципиально новый подход к экспери-
ментированию, который состоит в том, что в каждом опыте варьируют 
одновременно все независимые переменные (факторы) по специальному 
плану. Однако как в случае пассивного, так и в случае активного 
эксперимента результат! могут быть представлены одной и той же по-
линомиальной математической моделью. 

- 
4 
-

Так же как и в пассивном эксперименте, в теории планирования 
эксперимента объект оптимизации рассматривается как "черный ящик", 
имеющий п входов и 1 выходов (рис. 1). Входы "черного ящика" назы-
ваются факторами, в выходы - параметрами оптимизации. 

Управляющеевоздействия 
U 

Х4 
Р1 
Х4 

Объект 

проектирования 

(управления) 

Р1 

Х2 
Объект 

проектирования 

(управления) 

PZ 

'Хп 

Объект 

проектирования 

(управления) 
\pt 

Объект 

проектирования 

(управления) 

I f . . . . 1 

у-

Возмущения 

Ж 

Выход 

Т 

Рис. 1 . Простейшая структура объекта 
проектирования (управления) 

Параметр оптимизации должен быть: 
а) эффективным с точки зрения достижения цели; 
б) по возможности универсальным, т.е. способным всесторонне 
характеризовать объект; 

в) количественным и выражаться одним числом; 
г) имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым; 
д) существующим для всех различных состояний объекта исследо-
вания. 

При варьировании факторы и параметры оптимизации принимают 
определенное число различных значений (уровней). Множество значе-
ний, которые могут принимать X и 
образуют область их определе-
ния. 

Варьируя факторы Xi на различных уровнях, на выходе "черного 
ящика" получают множество параметров оптимизации pj, характер из-
менения которых определяется свойствами исследуемого объекта, йз-

- 5 -

менения р3 в зависимости от Xj описывают математическими моделями 
вида 
. . . 
\ 

Pi * »(Xj). 
(1) 

Изменения значений р3 называет отклике»! "черного яадкаг" на 
изменения х^ Зависимость отклика от рассматриваемых факторов яв-
ляется функцией отклика, а геометрическое представление функции 
отклика - поверхностью отмшка. 

Задача поиска оптимальных условий поведения исследуемого объ-
екта формулируется в таких двух постановках: определить условия 
поведение объекта,, щи которых несколько известных параметров оп-
тимизации сохраняют заранее, известные оптимальные значения; опре-
делить условия поведения объекта, при которых один параметр опти-
мизации имеет оптимальное значение. 

Первая задача относится к классу так называемых многокритери-
альных задач. Второй кяасс задач - с универсальным оптимумом. В 
настоящее время он получил наибольшее распространение в технике 
конструирования и технологии производства промышленных изделий. 
Поскольку при такой постановке имеет место только один оптимум, 
т.е. один параметр оптимизации, он и является целевой функцией. 
Если задачи поиска оптшума сводятся к нахождению экстремума целе-
вой функции, то такие задачи называют экстремальными. 

• Оптимальными считают такие эксперименты, которые позволяют 
получить максимальное количество информацииоб изучаемом объекте 
при минимальных (или заданных) затратах (времени, материальных 
средств и пр.). 

Взгляды на вопрос оптшальности планов менялись с течением 
времени. Вначале оптимальными считались ортогональные планы, позд-
нее - ротатабельше.-

Наилучшим экспериментом считается эксперимент X, минимизирую-
щий Функцию потерь 

ROO = Т + НССХ)]. 
(2) 

где Т - затраты, необходиие для проведения эксперимента X, а так-
же другие факторы, которые могут характеризовать общую 
стоимость эксперимента; 

4 - некоторый функционал качества оценивания, зависящий от 
дисперсионной матрицы оценок параметров. 

- 
6 
-

Вид функционала + определяется конечной целью эксперимента, 
бее четкого представления о которой нецелесообразно вообще прове-
дет» работ, по планирование эксперимента. 

Функционал • считают равнш 
. _ 

•СС(Х)3 = kLCC(X)з, 
(3) 

где к 
постоянный норыируювдй множитель. 

L[С(X)] определяется тем способом сравнения экспериментов, ко-
торцЛ подходит к данной экспериментальной ситуации. 

Исходя.нреаде всего, из изложенных оценок плановэксперикя-
тов, определяет далее некоторые критерии оппшальности. Предпола-
гается, что ашфоксяаирующая модель выбрана правильно, случайная 
not ревность аддитивна и распределена по нормальному закону- Расс-
матриваются две характеристики: 

1) точность оценок параметров, описываемая плотностью их ко-
вариационной матрицы; 

2) точность оценки модели в иатересупвдгй облзати, которая-
представляет собой функцию 62<Р>. зависящую от ковариационной мат-
риц* оценок. 

Такш образом, критерии, опташвьвосугй saaaa догшны овределять 
некоторые желательные свойства ковариационной матрицы. Выбираешй 
плав лучше других планов, если ему соответствует наименьшая коваг-
риашвюиная матрица. Поскольку такие аланы аошво не удается найти, 
то определяют некоторый функционал от ковариационной матрицы для 
характеристики ялашв. 

В зависимости от природы исследуемого объекта параметры опти-
мизации могут быть: экономическими, технические!, статистическими 
и т.д. В щюцессе исследования параметры оптимивации могут изме-
няться не только количественно, во я по своей физической природе. 
Нащямер, при освоении выпуска нового типа изделия на первой ста-
дии производства нас, прежде всего, интересует выход продукции, 
далее, когда производство налажено, в качестве параметра оптимиза-
ции целесообразно использовать себестоимость изделия, затем имеет 
сшсл попытаться оптимизировать характеристики процесса. 

Ори выборе модели основная задана обстоит в том, чтобы подоб-
рать такой нолинсм, который бы с необходйюй точностью удовлетво-
рял требованиям математической модели и содержал возможно меньве 
коэффициентов. 

- 7 -

Минимизация числа коэффициентов уравнения регрессии важна по-
тому, что при прочих равных условиях для определения меньшего чис-
ла Коэффициентов требуется меньше опытов. Это составляет основную 
цель и преимущество активного эксперимента. 

Главное требование, предъявляемое к математической модели, 
это ее способность предвидеть отклики в тех состояниях, где экспе-
римент не проводился, т.е. предсказывать с требуемой точностью 
направление дальнейших опытов: в конечном счете - указывать в фак-
торном пространстве последовательность точек, в которых необходимо 
проводить эксперимент для достижения искомого оптимума с минималь-
ным числом опытов. 

Чтобы использовать линейную модель поиска оптимума целевой 
функции на поверхности отклика, надо проверить ее адекватность . 

В планировании эксперимента независимо от выбранного метода 
достижения оптимума целевой функции всегда используется последова-
тельная шаговая стратегия, заключающаяся в том, что после каждого 
опыта (шага) производится анализ полученных результатов и на осно-
вании этого принимается решение о дальнейших исследованиях. 

Такой подход при проведении экспериментов имеет ряд сущест-
венных преимуществ: 

а) исследователь может количественно решить поставленную за-
дачу, абстрагируясь от сложных и плохо изученных физико-химических 
явлений, происходящих в процессах; 

б) эксперименты ставятся небольшпш сериями по заранее сос-
тавленной програше, оптимальной с точки зрения цели исследования, 
что исключает слепой хаотический поиск; 

в) для получения1 математического описания процесса требуется 
минимальное количество опытов, из которых информация навлекается с 
максимальной полнотой; это позволяет в несколько раз сократить 
расходы времени и средств на проведение опытов; 

г) по полученному математическому описанию возможно проведе-
ние оптимизации исследуемого процесса. 

Процесс достижения оптимума при использовании принципов пос-
ледовательного эксперимента и линейных моделей заключается в сле-
дующем. В факторном пространстве выбирается' произвольная исходная 
точка. Далее рассматривается множество точек в окрестности первого 
, оптимума, образующих некоторую малую подобласть вокруг" исходной 
точки. Размеры этой подобласти согласуются о гч^ластью определения 

-
8 
-

факторов, интервалом их варьирования и дабяраютря так, чтобы в, вей 
«шейная модель была адекватной. В выбранной таким образом маюй 
подобласти проводят первый эксперимент, на основании которого 
строится,первая линейная математическая модель, напршер, уравне-
ние регрессии (коэффициенты этого уравнения определяют по данным, 
полученнда в результате эксперимента). 

В процессе проведения первого экспермента выявляется некото-
раяточка в первой подобласти, в которой значения целевой функции 
наилучше (из всех полученных в опыте). Эту точку (поскольку она 
расположена блике всех к оптшуму) называют наилучшей. 

Установление наилучшей точки дает возможность определить, с 
какой стороны от исходной точки расположен оптимум, и далее двига-
ться к нему по самому короткому пути в направлении градиента ли-
нейного приближения. 

Направление последнего определяется нормалью, проведенной из 
исходной точки к линиям разного отклика (равного выхода). Кривые 
равного опашка, характеризуювиеся уровнем р « const, аналогичны 
oq, своей физической природе. Процедура такого движения к оптимуму 
соответствует самому крутому пути. Отсюда и название метода - ме-
тод крутого восхождения. 
. 
После того, как на поверхности отклика в первой исследуемой 
подобласти выбраны исходная точка, интервалы варьирования факто-
ров, проведен эксперимент и определены крэффшренты уравнения рег-
рессии первой линейной модели, направление градиента задается од-
нозначно и является единственным. Последуйте ошты ставят в нап-
равлении градиента вплоть до того, пота №блвдавтся улучшения в 
значениях целевой функции. Если одного линейного приближения ока-
зывается недостаточно, то выбирают следующую подобласть, которая 
по сравнению с первой ближе к оптимуму. За исходную выбирают пос-
леднюю наилучшую точку первого линейного приближения. 

В результате получают вторую формальную линейную математичес-
кую модель, отличающуюся от предыдущей значениями коэффициентов 
регрессии. Далее определяют новое направление градиента линейного 
приближения и последующие опыты ставят в этом направлении. 

, Описаннуюпроцедуру продолжают, пока набяедаются улучшения в 
значениях целевой функции, т.е. до тех пор, пока справедлива ли-
нейная модель. После чего (обычно это бывает вблизи оптимума) пе-
реходят от линейной к более сложной нелинейной математической мо-

- 9 -

дели, которая более детально и точно характеризует подобласть оп-
тимума. Процедура поиска оптимума целевой функции методом крутого 
восхождения показана на рис. 2. 

Рис. 2. Поиск оптимальной области методом 
крутого восхождения 

Существуют и другие методы поиска оптимума: композиционный 
план, классический метод (метод Гаусса - Зейделя) и другие. 
Все методы делятся на два класса: 
первый класс использует только оценки функции; 
второй класс применяет, наряду с оценками функций, еще инфор-
мацию о градиенте. Первые известны как прямые методы поиска, вто-
рые - как градиентные. 

Преимущества прямых методов поиска - возможность использова-
ния их в случаях, когда градиент неизвестен ЕЛИ когда градиент не 
существует (функция ошибок имеет разрьвы), а также простота прог-
раммирования. Основной недостаток - снижение скорости сходимости 
вблизи минимума. 

Преимущество градиентных методов - высокая скорость сходимос-
ти вблизи минимума, недостатки - сложность вычисления градиентов, 
особенно при численном дифференцировании, и программирования 
вследствие применения матричной алгебры. 

Методы оптимизации, в которых не оценивается градиент в ана-
литическом виде, относят к прямым методам поиска, так как при этом 
численное дифференцирование включает в себя оценку функций. 

- 10 -

Рассмотрим применение методов планирования эксперимента для 
отыскания оптимальных технологических режимов. Часто задачи, воз-
никающие в производстве, формулируются (фазу как задачи поиска 
экстремума некоторого показателя качества, например, требуется по-
добрать такие режимы проведения технологических операций, чтобы 
напучить максимальный процент выхода годных приборов, минимальное 
отклонение размеров и т. д. 

Опимизация процесса начинается обычно в условиях, когда он 
уже подвергался некоторым исследованиям, т. е. уже имеется некото-
рая априорная информация. На основе анализа этой информации проис-
ходит выбор границ областей изменения факторов. 

После определения общей области факторного пространства необ-
ходимо приступить к следующему важному этапу - выбору основных 
уровней и интервалов варьирования для каждого исследуемого фактора. 

Проведение этого этапа также основано на анализе априорной 
информации. В качестве исходной точки проведения эксперимента бе-
рут обычно ту точку факторного пространства, где предположительно 
будет получен наилучший результат. Исключением является случай, 
когда эта точка лежит на границе (или весьма'близко к границе) об-
ласти определения фактора. Тогда необходию основной уровень выби-
рать с некоторым сдвигом от наилучших условий. 

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, 
но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет 
достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в цент-
ре, либо в случайной точке этой подобласти. Исходную точку прове-
дения эксперимента выбирают в качестве основного уровня фактора. 

После выбора основного уровня необходимо определить для каж-
дого фактора уровни, на которых он будет варьироваться в экспери-
менте. Обычно эти уровни берутся симметричными относительно основ-
ного уровня. 

Расстояние между основным уровнем и верхним (или'Нижний 
уровнем образует интервал варьирования. Таким образом, задача вы-
бора уровней сводится к задаче выбора интервалов варьирования. 

Выбор интервала варьирования - ответственный, неформализо-
ванный этап планирования эксперимента, связанный с анализом апри-
орной информации (точность измерения факторов, возможный диапазон 
измерения параметров оптимизации). Поэтому рекомендаций по 'оДноз-
начноыу выбору кнтгразлоз не существует.