Медицинская и биологическая физика

В.Г. Лещенко 
Г.к. ИЛьИч

Медицинская  
и биологическая  
физика

Допущено 
Министерством образования Республики Беларусь
 в качестве учебного пособия для студентов 
учреждений высшего образования 
по медицинским специальностям

2017

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

УДК [61:53+577.3](075.8)
ББК 53.6я73
 
Л54

Лещенко, В.Г.
Медицинская и биологическая физика : учеб. пособие / 
В.Г. Лещенко, Г.К. Ильич. — Минск : Новое знание ; М. : 
ИНФРА-М, 2017. — 552 с. : ил. — (Высшее образование). 

ISBN 978-985-475-456-7 (Новое знание). 
ISBN 978-5-16-005338-7 (ИНФРА-М, print). 
ISBN 978-5-16-105685-1 (ИНФРА-М, online).

Рассмотрены физические процессы и явления, сопровождающие 
и обеспечивающие жизнедеятельность организма, а также физические основы как традиционных, так и современных методов диагностики и лечения. Использован удобный для усвоения порядок изложения материала: сначала физическая сторона изучаемого явления, 
а затем его медицинские и биологические приложения. В пособие 
включены также элементы высшей математики, теории вероятностей, 
основы статистики и корреляционного анализа в соответствии с типовой программой дисциплины.
Для студентов медицинских вузов. Может быть полезно аспирантам и студентам технических вузов, изучающим медицинскую и биологическую физику.

УДК [61:53+577.3](075.8) 
ББК 53.6я73

Л54

 
© Лещенко В.Г., Ильич Г.К., 2012
 
© ООО «Новое знание», 2012

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра медицинской и биологической физики Гродненского государственного медицинского университета (зав. кафедрой — кандидат физико-математических наук, доцент И.М. Бертель);
зав. кафедрой «Конструирование и производство приборов» Белорусского 
национального технического университета, доктор технических наук, профессор М.Г. Киселев

ISBN 978-985-475-456-7 (Новое знание) 
ISBN 978-5-16-005338-7 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-105685-1 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10  

1. 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12
1.2. .
.  . . . . . . . . . . . . . . . .  15
1.3. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  17
1.4. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  18
1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  19
1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21
1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21
1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  24
1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  26
1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  30

2. 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31
2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  33
2.3. . . . . . . .  34
2.4. . . . . . . . . .  37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  40

3. 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  42 
3.2. .
. . . . . . . . . . . . . .  44
3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
46
3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
50
. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
53

4. 4.1. .
. . . . . . . . . . .  54
4.2. . . . . . . . . . . . .  56
4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . .  64
4.4. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  66
4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  69
4.6. .  . . . . .  70
4.7. .. . . . . . . . . . . . . . .  70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
73

5. 5.1. .  . . . . . . . .  74
5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  78 
5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . .  84 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
93

6. 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  95 
6.2. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  98 
6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  100
6.4. . . . . . . . . . . . . . . .  102 
6.5. .  . . . . . .  104
6.6. -.  . . . . . . . . . . .  105
6.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  107
6.8. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7. 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113 
7.2. , .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  116
7.3. –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  118 
7.4. . . . . . . . .  120 
7.5. . 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Оглавление

8. . 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  132
8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  134
8.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  136
8.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  137
8.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139
8.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  141
8.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  143
8.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  144
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9. 9.1. . . . .  149 
9.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  156
9.3. . . . . . . .  158
9.4. . . . . . . . . . . .  161
9.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  165
9.6. 166
9.7. .. . . . . . . . . . . . . . . .  170
9.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  174
9.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  177
9.10. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  180
. . . . . . . . . . . . . . . . . .  182

10. 10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  184 
10.2. .  . . . . . .  190
10.3. . . .  195
10.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  198
. . . . . . . . . . . . . . . . .  201

Оглавление

11. 11.1. . . . . . . . . . . . . . . . .  202
11.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  203
11.3. . 207
11.4. 216
11.5. . . .  217
. . . . . . . . . . . . . . . . .  224

12. .
12.1. . . . . . . . . .  226
12.2. . . . . . . . . . . . . . . . .  230
12.3.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  236
. . . . . . . . . . . . . . . . .  243

13. 13.1. . . . . . . . . . . . . . . . .  245
13.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  248
13.3. , . . . . . . . . . . . . . . .  251
. . . . . . . . . . . . . . . . .  253

14. . . 14.1. . . . . . . . .  254
14.2. .  . . . . .  255
14.3. . . . . .  261
14.4. .  . . . . . . . . . . . . . . . .  264
. . . . . . . . . . . . . . . . .  268

15. 15.1. . . .  269
15.2. . . . . . . . . . . . . . . . .  273
15.3. , . . . 277
15.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  279
15.5. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  281

Оглавление

15.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  283
15.7. .  . . . . . . . .  285
. . . . . . . . . . . . . . . . .  287

16. 16.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  289
16.2. . . . . . . . .  292
16.3. . . . . . . . . . . . .  298
. . . . . . . . . . . . . . . . .  299

17. 17.1. . . . . . . . . . .  301
17.2. . . . . . . . . .  308
. . . . . . . . . . . . . . . . .  311

18. 18.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  314
18.2. . . . . .  317
18.3. . . . . . . . . . . . . . . . .  324
18.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  332
. . . . . . . . . . . . . . . . .  334

19. 19.1. . . .  336
19.2. . . . . . . . .  339
19.3. .  . . . . . . . .  343
19.4. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  349
19.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  350
19.6. . . . . . .  351
. . . . . . . . . . . . . . . . .  356

20. 20.1. .  . . .  358
20.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  360
20.3. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  364

Оглавление

20.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  365
20.5. . . . . . . . . . . . . . . . . .  366
20.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  368
. . . . . . . . . . . . . . . . .  369

21. 21.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  370
21.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  374
21.3. . . . . . . . . . . . . . . . .  377
21.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  381
21.5. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  384
21.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  387
21.7. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  392
. . . . . . . . . . . . . . . . .  401

22. . 22.1. .  . . . . . . . . . .  403
22.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  405
22.3. . . . . . .  410
. . . . . . . . . . . . . . . . .  411

23. 23.1. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  413 
23.2. .  . . . . . . . . . . . . . . . . .  416
23.3. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  417
23.4. . . . . . . . . . . . . . . .  419
. . . . . . . . . . . . . . . . .  421

24. 24.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  422
24.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  424
24.3. .  . . . . . . . . . . .  431
. . . . . . . . . . . . . . . . .  441

25. 25.1. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  443
25.2. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  449
25.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  450
25.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  453
25.5. . . . . . . . . . . . . .  458
. . . . . . . . . . . . . . . . .  460

Оглавление

26. 26.1. . . . .  462
26.2. . . . . . . . . . . .  464
26.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  470
26.4. -. . . . .  475
. . . . . . . . . . . . . . . . .  480

27. 27.1. . . . . . . . . . . . . . .  482
27.2. . . . . . .  486
27.3. .  . . . . . . . . . .  488
27.4. . .  490
27.5. .. . . . . .  492
. . . . . . . . . . . . . . . . .  495

28. 28.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  497
28.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  500
28.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  503
28.4. .
.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  507
28.5. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  512
28.6. . . .  517
28.7. .  . . . . . . . . . . . .  521
. . . . . . . . . . . . . . . . .  524

29. 29.1. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  525
29.2. .  . . . .  534
29.3. . . . . . . . . . . . . .  538
29.4. .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  542
29.5. , .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  545
. . . . . . . . . . . . . . . . .  548
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  549

Оглавление

Ïðåäèñëîâèå

, . , , (, .).
. , , ,
-,
-, -. , , .. , .
, .
. , . , . , .

, -.
-, . , .
, , -, .
1, 6, 7, 9, 13, 14, 27, 28 29 .. , — .. .
.. «», «», «», .. , -.. .. .

Предисловие

Ýëåìåíòû âûñøåé 
ìàòåìàòèêè

, , , , .
, — .

1.1. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

, «». , , , , .
,
,
. .
1.1, yf(x).
1 Ãëàâà 1

Ðèñ. 1.1. 13

2, :
x21. : yy2y1. , x 0, y 0. y
x x , y(x) .
. ydy
dx . ,

y
dy
dx
y
x .
x
 
lim
0
(1.1)

. . 1.1 , y
x
BC
AC
,
tg— AB .

x (2 1), , 0:

lim
x
y
x
0
0
tg. 
(1.2)

, , , , .
, . t S, v
S
t
.

1.1. Производная функции

1. Элементы высшей математики
14

S (v), S t t 0:

v
S
t
d S
d t
t
lim
0
.   
(1.3)

, .
, . () , :

a
dv
dt
d
dt
dS
dt
d S
dt
2

2 . 
(1.4)

, .
, dy
dx
.
.
. , x, .. (. 1.2). 
dC
dx .
, Молекулярные вещества

Ðèñ. 1.2. «»

. df
dx  — , f.
, .
, , , , .. . () ; ..

1.2. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ 
ïðîèçâîäíîé. Íàõîæäåíèå ýêñòðåìóìîâ 
ôóíêöèè

(x) (x) (x). , .
(x) . , , (. 1.3):
() < 0, (x) :
(x1, x2), (c, d);
() > 0, (x) : (, 1), (2, 3) (3, b);
()0, (x) : (b, c).

1.2. Исследование функции с помощью производной

1. Элементы высшей математики
16

()0 1, 2, 3, …, , .. .
f(x) 1, : f(x1) > f(x1x) f(x1) > f(x1x).
f(x) 2, : f(x2) < f(x2x) f(x2) < f(x2x).
, : (x)0. .
f(x) :
1. (x).
2. (x)0. 1,
2, 3, …, xn , .
3. .
1-. (x) i, .. (xix) (xix):

Ðèñ. 1.3. (1, 1), (2, 2) , (), () (bc). 17

i «» «», .. (xix) < 0,
a (xix) > 0, i (, 0, );
i «» «», .. (xix) > 0,
a (xix) < 0, i (, 0, );
i (, 0, ) (, 0, ), i .
2-. (x) :
(xi) < 0, i ;
(xi) > 0, i ;
(xi)0, i 1-.

1.3. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè

 dx , .. dxx.
d()
:
 
ddx.
(1.5)

d,
. . , d.
: , .

1.3. Дифференциал функции

1. Элементы высшей математики
18

. l1 . V
, l1 ?
:

V(ll)3 l33l2l3l(l)2(l)3.

.
, () () , VdV (l3)l3l2l3 1 0,010,03 3.

.

1.4. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå

. , .
, U(x, y, z, ..., t), x, y, z, ..., t, ; y — ; z — .. ?
, ,
. U(x, y) :

U
U x, y
x
U x
x, y
U x, y
x
x
x
(
)
lim
(
) – 
(
)

0
.  
(1.6)

— U
«» () () 19

, — .
y .
U(x, y) y:


U
U x, y

y

U x, y
y
U x, y

y
y
y
lim
0
.  
(1.7)

() .

. Ux3sin y.
U , , .. sin y :

U
U
x
x
y
x
3
2 sin
.

y,
3 sin y:

U
U
y
x
 y
y
3 cos
.

1.5. ×àñòíûå äèôôåðåíöèàëû. 
Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè

(— )
U(x, y).
 x (dxU) x dx:

d U
U
x dx
x
.

1.5. Частные дифференциалы. Полный дифференциал функции

1. Элементы высшей математики
20

:

d U
U
y dy
y
.

. U(x, y) dU
U
x dx
 U
y dy
. 
(1.8)

, — , .

. : 1 ,
2 , z3 . , x0,01 y0,02 , z0,01. V ?
:

V
x
x
y
y
z
z
xyz
–
.

. , , V V (— ) dV:

V
dV
d z
V
x
x
V
y
y
V
z
z.
, dV
yz x
xz y
xy z
2 3 0 01

1 3 0 02
1 2 0 01
0 10

,

,
–
,
,
.
3