Динамические свойства энергосистем при электромеханических колебаниях. Структурная организация движений и устойчивость

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
Н.Н. ЛИЗАЛЕК, В.Ф. ТОНЫШЕВ 
 
 
 
ДИНАМИЧЕСКИЕ  
СВОЙСТВА ЭНЕРГОСИСТЕМ 
ПРИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ  
КОЛЕБАНИЯХ 
 
 
СТРУКТУРНАЯ  
ОРГАНИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ  
И УСТОЙЧИВОСТЬ 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2013 

УДК 621.311.016.35(075.8) 
   Л 558 
 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор А.Г. Фишов 
д-р техн. наук, профессор С.В. Горелов 
 
 
 
 
 
 
 
Лизалек Н.Н. 
Л 558  
Динамические свойства энергосистем при электромеханических колебаниях. Структурная организация движений и устойчивость: учеб. пособие / Н.Н. Лизалек, В.Ф. Тонышев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. – 212 с. 

ISBN 978-5-7782-2296-0 

Учебное пособие посвящено анализу электромеханических переходных 
процессов в протяженных электроэнергетических системах с большим числом 
электростанций. 
Предназначено для студентов IV и V курсов факультета энергетики НГТУ,  
а также может быть использовано аспирантами по специальности 05.14.02. 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 621.311.016.35(075.8) 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-2296-0 
© Лизалек Н.Н., Тонышев В.Ф., 2013 
 
© Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2013 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................................. 5 

Введение. Предмет курса и его задачи .................................................................. 7 

1. Колебания распределенных механических систем. Основные  
понятия .............................................................................................................. 10 

1.1. Свободные колебания простых систем ................................................... 10 
1.2. Свободные колебания систем со многими степенями свободы ............ 17 
1.3. Вынужденные колебания.......................................................................... 23 
1.4. Бегущие волны .......................................................................................... 30 
1.5. Задания для самопроверки ....................................................................... 36 

2. Волновые процессы как причина естественной структурной  
организации электромеханических колебаний энергосистем ................ 38 

2.1. Математические модели электромеханических переходных 
процессов в энергосистеме. Свободные колебания в простейшей 
модели ........................................................................................................ 38 
2.2. Волновые уравнения колебаний энергосистем ...................................... 45 
2.3. Волновые уравнения схем регулярной структуры и их решения ......... 52 
2.4. Бегущие электромеханические волны ..................................................... 55 
2.5. Расчет собственных частот, собственных функций и оценка  
постоянных затухания колебаний в энергосистемах произвольной структуры ............................................................................................ 59 
2.6. Структурная организация «малых» колебаний и динамические 
структуры энергосистемы ......................................................................... 67 
2.7. Основные выводы ..................................................................................... 76 
2.8. Задания для самопроверки ....................................................................... 78 

3. Структурный анализ устойчивости и его задачи. Кинетическая  
и потенциальная энергия системы в электромеханическом переходном процессе ............................................................................................... 80 

3.1. Динамические свойства энергообъединения как распределенной 
колебательной системы............................................................................. 81 
3.2. Представление о структурном анализе устойчивости и пространственных осцилляторах энергосистемы ......................................... 86 
3.3. Получение модели системного уровня на основе принципа 
наименьшего действия. Сохранение энергии в консервативной 
системе. ...................................................................................................... 97 

3.4. Изменения кинетической энергии и импульса при электромеханических переходных процессах в энергосистемах ............................. 110 
3.5. Основные выводы ................................................................................... 113 
3.6. Задания для самопроверки ..................................................................... 114 

4. Структурно организованное движение. Энергетические соотношения и устойчивость .................................................................................. 116 

4.1. Структурная организация движения и его уровни иерархии. 
Уравнения относительных движений на разных уровнях иерархии ............................................................................................................. 116 
4.2. Изменение кинетической энергии системы и законы сохранения 
энергии структурно организованного движения .................................. 125 
4.3. Мгновенные неравновесные состояния. Импульсные и энергетические характеристики ударных возмущений .................................. 136 
4.4. Неустойчивость структурно организованного движения и ее  
виды. Предельные возмущения .............................................................. 141 
4.5. Основные выводы ................................................................................... 147 
4.6. Задания для самопроверки ..................................................................... 148 

5. Исследование архитектуры неустойчивых движений энергосистемы при внезапных проходящих возмущениях ................................... 150 

5.1. Получение набора осциллирующих структур. Переход к колебательным структурам при конкретных возмущениях ............................ 151 
5.2. Подход к оценке предельных возмущений для объектов колебательной структуры. Понятие о возможных траекториях ..................... 154 
5.3. Оценка динамической устойчивости для колебательной структуры энергосистемы на основе метода площадей ................................ 159 
5.4. Определение спектра предельных по устойчивости возмущений 
при импульсных воздействиях. Энерговременные диаграммы 
неустойчивости ........................................................................................ 180 
5.5. Выбор структуры противоаварийного управления на основе  
исследований архитектуры неустойчивого движения ......................... 189 
5.6. Основные выводы ................................................................................... 193 
5.7. Задания для самопроверки ..................................................................... 195 
Заключение ........................................................................................................... 198 
Библиографический список ................................................................................ 200 
Приложение 1. Определения основных понятий .............................................. 201 
Приложение 2. Характеристика программных средств расчета переходных процессов и структурного анализа устойчивости .......................... 210 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В пособии рассмотрены предпосылки структурного анализа устойчивости энергосистем. Изложен подход к структурным исследованиям 
электромеханических переходных процессов и устойчивости, основанный на анализе осцилляторов системы и оценке их предельного возбуждения по устойчивости. Дана физическая интерпретация наблюдаемых эффектов изменения структур неустойчивости при изменении 
тяжести возмущений. 
В первом разделе рассмотрены колебания в простых механических 
системах с различным числом степеней свободы. Введены основные 
понятия теории колебаний распределенных колебательных систем, используемые затем при исследованиях электромеханических колебаний. 
Во втором разделе изложены основы волнового подхода к анализу 
электромеханических колебаний. Рассмотрены волновые уравнения, 
стоячие волны, вынужденные колебания и бегущие электромеханические волны. Описаны наблюдаемые физические эффекты для малых 
колебаний, в том числе свойства дисперсии колебаний и их структурной организации. 
В третьем разделе сформулированы задача структурного анализа 
устойчивости и проблема исследования архитектуры совокупности 
неустойчивых взаимных движений энергосистем. Введено представление об осцилляторах системы и о нарушениях устойчивости как  
последствии их перевозбуждения при возмущениях. На основе уравнений Лагранжа и теоремы об изменении кинетической энергии  
рассмотрены энергетические характеристики электромеханических 
колебаний. Сформулирована задача определения энергетических показателей структурно организованного движения. 
В четвертом разделе представлена иерархическая система относительных движений в энергосистеме. Определены энергетические соотношения отдельных составляющих изменений кинетической энергии и 
работ при относительных перемещениях объектов структурно органи

зованного движения. Описаны механизмы нарушений устойчивости, 
обусловленные энергетическими соотношениями между составляющими структурно организованного движения. 
В последнем, пятом, разделе рассмотрена задача получения характеристик совокупности неустойчивых движений и исследования их 
архитектуры. Описаны способы формирования колебательных структур на осцилляторах системы. На основе метода площадей описаны 
алгоритмы анализа устойчивости движения объектов колебательных 
структур. Результаты анализа представлены в виде энерговременных 
диаграмм неустойчивости, описывающих энергетические, временны´ е и 
пространственные характеристики неустойчивого движения. Показано, 
что энерговременны´ е диаграммы неустойчивости могут служить инструментом исследования архитектуры неустойчивых движений энергосистемы. 
В конце каждого раздела приведены задания для самопроверки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ КУРСА И ЕГО ЗАДАЧИ 

Главная особенность существующих в настоящее время энергообъединений – это их естественная, обусловленная историей развития, 
крупномасштабная структурность. Она выражается в существовании 
объединения как совокупности связанных между собой энергосистем 
(подсистем). Основная цель объединения заключается в организации 
выгодного в технико-экономическом отношении взаимодействия этих 
подсистем. Подсистемы взаимодействуют в стационарных и переходных режимах как непосредственно (смежные подсистемы), так и опосредованно (через промежуточные подсистемы).  
Переходные процессы в энергообъединении представляют собой 
взаимообусловленную совокупность движений локального (в подсистемах) и межсистемного (обменного) характера. Их интегральным 
результатом становится процесс распространения возмущения. Движение, инициированное возмущением в одной из подсистем, транслируется в энергообъединении, вызывая развитие переходных процессов 
в других его частях.  
Разделения объединения на подсистемы, отражающие особенности 
развития динамических явлений в нем, предназначенные для их изучения (разделения на динамические подсистемы), в общем случае не 
совпадают с разделениями на подсистемы, проведенными по другим 
соображениям (например, административным) или для других целей 
(например, для анализа технико-экономических показателей стационарных режимов объединения).  
В основе возможного понижения надежности энергоснабжения после формирования объединения, связанного с его свойствами в переходных режимах (динамическими свойствами), лежат технологические 
ограничения (в том числе по устойчивости) и процессы распространения возмущений. Обеспечение надежности во многом связано с решением проблем своевременного прерывания развития аварий и локализации возмущений средствами регулирования и противоаварийного 
управления.  

Процессы распространения возмущений связаны с нелокальными 
реакциями системы. Они проявляются в отклонениях режимных параметров в областях, удаленных от первоначального очага аварии, достигающих в ряде случаев значений, при которых включаются в действие 
различные режимные регуляторы или происходят нарушения устойчивости и (или) срабатывание средств противоаварийного управления.  
Нелокальность возмущенных движений в энергообъединении есть 
следствие нескольких групп взаимосвязанных факторов. В первую 
очередь проявляется взаимозависимость электрических режимов отдельных частей системы, что приводит к практически мгновенному 
изменению состояния электрической сети при появлении возмущения. 
Вторая группа связана с распространением электромеханических колебаний по системе. Третья группа факторов определена каскадными 
процессами нарушения устойчивости и (или) отключения элементов, 
происходящими таким образом, что каждое последующее событие является следствием предыдущих. Последняя группа связана с процессами изменения частоты и соответствующими изменениями генерации 
и потребления в системе.  
Нелокальные реакции при действии указанных выше факторов 
проявляются в естественной временно´й последовательности, при которой инициализируются сначала первая группа факторов, затем вторая, 
третья и далее, причем результат последующего развития аварии целиком определяется процессами на ее предыдущих стадиях. Ясно, что 
предотвращать развитие аварии целесообразно на самых ранних этапах 
ее развития. Наиболее перспективен для этой цели этап распространения электромеханических колебаний в объединенной системе, который 
может занимать достаточно большой временной интервал после возникновения первичного возмущения.  
Таким образом, проблемы обеспечения надежности энергообъединений существенным образом связаны с их электромеханическими  
колебаниями (колебательными свойствами системы). Изучать электромеханические колебания (динамические свойства при электромеханических колебаниях, далее – динамические или колебательные свойства) энергообъединений необходимо на фоне их протяженного 
характера, т. е. энергообъединение нужно рассматривать как распределенную колебательную систему.  
В настоящем курсе развивается подход к постановке и решению 
задач устойчивости энергосистем и энергообъединений, основанный 
на применении физических понятий и методов теории колебаний  

протяженных колебательных систем. Необходимость развития такого 
подхода обусловлена отсутствием в практике расчетов переходных 
процессов и устойчивости методических материалов, позволяющих без 
глубокого эквивалентирования исходной схемы или без многочисленных трудоемких расчетов: 
 проводить обзорные исследования динамических свойств сложных энергообъединений, интерпретировать и визуализировать эти 
свойства с выдачей необходимых количественных характеристик; 
 выявлять глобальную структуру проблем обеспечения устойчивости системы при электромеханических переходных процессах, проводить их количественную оценку. 
Кроме того, развитие физических представлений о динамических 
свойствах и устойчивости энергосистем позволяет обеспечить методическую поддержку при постановках и решениях задач устойчивости 
сложных энергообъединений, выполняемых в соответствии с действующими методическими рекомендациями и руководящими указаниями. 
В базисном курсе электромеханических переходных процессов 
особо не выделяют задачу интерпретации и обобщенного описания 
динамических свойств протяженных энергообъединений как распределенных колебательных систем и не останавливаются на ней. При этом 
характеристики энергосистемы как среды, в которой происходят электромеханические колебания, и, следовательно, ее физические свойства 
остаются за рамками анализа.  
Задачи настоящего пособия: изучение электромеханических колебательных процессов в энергообъединениях как распределенных колебательных системах; исследование структурной организации электромеханических колебаний и ее проявлений в процессах нарушения 
устойчивости.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ 
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.  
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Используемые понятия теории колебаний распределенных колебательных систем проиллюстрированы в первом разделе учебного пособия на примерах простых механических систем. 

1.1. Свободные колебания простых систем 

Собственными или свободными колебаниями называются движения в системах, вызванные первоначальным внешним возбуждением. 
Движение элемента системы описывается некоторой физической величиной, зависящей от положения элемента и времени. Для механических систем такими элементами могут быть точечные массы, тогда 
смещение массы в точке с координатами (x, y, z) представляется вектором A(x, y, z, t). Эту векторную функцию мы будем называть волновой 
функцией.  
Рассмотрим свободные колебания систем с одной степенью свободы (если положение системы может быть описано одним единственным параметром, то такая система имеет одну степень свободы). Во 
многих случаях смещение движущегося элемента относительно его 
исходного положения (положения равновесия), может быть описано 
функцией 
 
( )
cos(
),
A t
A
t

     
(1.1.1)  

где A – положительная константа, называемая амплитудой колебаний; 
 – угловая частота, имеющая размерность рад/с; f = /2 – частота, 
измеряемая в герцах (Гц) (циклах в секунду); величина, обратная f, 
называется периодом T и измеряется в секундах, T = 1/f;  – фазовая 
постоянная, или фаза колебания. Значение фазы может быть несущественно, так как всегда можно так «перевести» часы, что  станет равной нулю. Колебания в различных частях распределенных систем  

часто характеризуются взаимными фазовыми сдвигами в 180 градусов.  
В этом случае оказывается удобным использовать амплитуды с отрицательными знаками, что позволяет говорить о синфазном движении  
(с одной и той же фазой) уже во всей системе.  
Колебания вида (1.1.1) являются результатом таких свойств физической системы, как возвращающая сила и инерция.  
Пример маятника. Простой маятник состоит из невесомой нити 
длиной L, один конец которой закреплен, а ко второму прикреплен  
точечный груз с массой M. Маятник колеблется в заданной плоскости, 
и его положение полностью задается углом  . Смещение маятника  
по окружности равно L , такому смещению соответствуют скорость 

(
/
)
L d
dt

 и тангенциальное ускорение 
2
2
(
/
)
L d
dt

. Возвращающая 
сила есть тангенциальная составляющая веса груза 
Mg , она  
равна 
sin
Mg

 . По второму закону Ньютона получим уравнение 

2

2
sin
d
ML
Mg
dt

  
 . 

Для малых   разложим sin по степеням   и пренебрежем членами разложения со степенью выше первой. Тогда уравнение малых колебаний маятника можно записать в виде 

 

2
2
2
d

dt

    ,  
(1.1.2) 

где 
2
g
L
 
.  

Дифференциальное уравнение (1.1.2) называется уравнением гармонического осциллятора. Его общее решение представляет собой 
гармоническое колебание 
( )
cos(
)
t
A
t


   . Две постоянные A и  
определяются по начальным условиям (по смещению и скорости) в 
момент времени t = 0.  
Заметим, что квадрат частоты малых колебаний может быть представлен как 

 



2
Возвращающая
сила
(Смещение)
(Масса)
g
Mg
L
L
M

 



.  
(1.1.3) 

В числителе стоит возвращающая сила при малых колебаниях (когда 
sin  ), а в знаменателе – произведение массы на смещение, т. е. для 
малых колебаний маятника справедливо символическое равенство: 
 

2 = возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы.

 
Из (1.1.3) следует, что произведение массы на квадрат частоты колебаний дает удельную возвращающую силу, приходящуюся на единицу смещения: 
 

М2 = возвращающая сила на единицу смещения.

 
Дифференциальные уравнения, содержащие не более чем первую 
степень неизвестной функции времени A(t) и ее производных (любого 
порядка), называются линейными. При этом уравнение называется однородным, если оно не содержит членов, не зависящих от A(t). Если в 
уравнении появляются степени функции A(t) или ее производных, то 
уравнение называется нелинейным.  
Линейные однородные уравнения имеют следующее важное свойство: сумма любых двух решений уравнения также будет его решением. Имея в виду это свойство, говорят, что колебания систем, описываемых линейными однородными уравнениями, подчиняются принципу 
суперпозиции (наложения). Нелинейное уравнение таким свойством не 
обладает: сумма двух решений нелинейного уравнения не будет его 
решением. Примером применения принципа суперпозиции служит суперпозиция начальных условий. Пусть 
1( )
A t  и 
2( )
A t  – колебания системы, соответствующие разным начальным условиям (по смещению и 
скорости в начальный момент времени). Тогда начальным условиям, 
являющимся их алгебраической суммой, будет отвечать решение 

3
1
2
( )
( )
( )
A t
A t
A t


.  
Уравнение одномерных линейных колебаний при действии внешнего возбуждения можно записать (линейное неоднородное уравнение):  

 

2

2
( )
( )
( )
d А t
M
CA t
F t
dt
 

,  
(1.1.4) 

где C – положительная константа; F(t) – возбуждающая сила. В этом 
случае принцип суперпозиции выглядит следующим образом. Пусть