Устойчивые периодические точки гладких диффеоморизмов многомерного пространства


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.925.53



© Е. В. Васильева


            УСТОЙЧИВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МНОГОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА¹


Рассматриваются Cr-гладкие (г ^ 1) диффеоморфизмы многомерного пространства в себя с гиперболической неподвижной точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Из работ Ш. Ньюхауса, Л. П. Шильникова, Б. Ф. Иванова и других авторов следует, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но по крайней мере один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В предлагаемой работе показано, что при определенных условиях, наложенных на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, в окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки лежит бесконечное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Ключевые слова: диффеоморфизм многомерного пространства, гомоклинические точки, устойчивые периодические точки.

   В данной работе показано, что при определенных условиях Cr-гладкий (г ^ 1) диффеоморфизм многомерного пространства в себя имеет счетное множество устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Предполагается, что у указанного диффеоморфизма имеются неподвижная гиперболическая точка в начале координат и нетрансверсальная гомоклиническая к ней точка. В работе определяется способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий и показывается, что при таком касании этих многообразий окрестность гомоклинической точки содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Из статей [1-3] следует, что при определенном способе касания этих многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но по крайней мере один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода, в предлагаемой работе рассматривается несколько иной способ касания.
   Ранее в работах [4, 5] рассматривался диффеоморфизм плоскости в себя, в этих работах показано, при каких условиях диффеоморфизм плоскости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Пример такого диффеоморфизма плоскости приведен в книге [6]. Диффеоморфизм многомерного пространства в себя класса C¹ рассматривался в работе [7], в которой предполагалось, что матрица Якоби указанного диффеоморфизма является диагональной в начале координат. В данной работе показано, что диффеоморфизм многомерного пространства произвольного класса гладкости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, причем матрица Якоби у такого диффеоморфизма не должна быть диагональной в начале координат.
   Пусть f — диффеоморфизм многомерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат, а именно f : Rⁿ ^ Rn, f (0) = 0.
   Далее координаты точек n-мерного пространств а обозначаются как (x,y), где (x,y) = (xi, x₂,..., xₙ₋₁,y); через x будут обозначаться векторы (п — 1)-мерного пространства, то есть x = col (x1,x₂,..., xₙ₋₁).
   Предположим, что диффеоморфизм f линеен в некоторой окрестности начала координат V,


  ¹ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 13-01-00624).