К свойству замкнутости множества почти периодических функций


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.518.65

© И. Н. Банщикова, С. Н. Попова

К СВОЙСТВУ ЗАМКНУТОСТИ МНОЖЕСТВА
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ¹

Работа посвящена исследованию свойства замкнутости относительно операции сложения множества равномерных почти периодических функций. Показано, что доказательство этого свойства, проведенное в монографии Б. П. Демидовича «Лекции по математической теории устойчивости», содержит пробел. Приведено корректное доказательство.

Ключевые слова: почти периодические функции, замкнутость.

   Работа посвящена исследованию свойства замкнутости относительно операции сложения множества равномерных почти периодических функций. Традиционно это свойство доказывается как следствие теоремы Бохнера (см., например, [1, с. 24-27]) о нормальности почти периодических функций. Прямое доказательство замкнутости в русскоязычной литературе содержится, по-видимому, только в монографии Б. П. Демидовича [2]. В настоящей работе показано, что доказательство в [2] содержит пробел, и приведено корректное доказательство. Его изложение в основном следует рассуждениям А. С. Безиковича [3]. При этом нами использованы более удобные обозначения и восстановлены фрагменты доказательства, опущенные в [3].
   Напомним основные понятия теории почти периодических функций [1,2].

  Определение 1. Числовое множество Е называется относительно плотным на действительной оси —ж < x < +то, если существует l > 0 такое, что каждый полуинтервал a ^ x < a +1 длины l содержит хотя бы один элемент этого множества. Каждое такое число l E

  Определение 2. Пусть е > 0. Чиело т G R называется е-почти периодом функции f : R ^ ^ R, если имеет место неравенство

sup |f ⁽x + т) — f (x)| < е.
                              xeR

   Непосредственно из этого определения вытекают следующие свойства почти периодов для одной и той же функции.
   Свойство 1. Если т есть е-почти период функции f (■), тт т есть е‘-почти период функции f (•) для любоге е¹ > е.
   Свойство 2. Если т есть е-почти период функции f (■), то —т есть также е-почти период этой функции.
   Свойство 3. Если т1 ес ть е1-почти пери од функции f (•) и т₂ ес ть е₂-почти период функции f (■), т о т1 ± т₂ ес ть £1 + е₂-почти пери оды функции f (■).
   Обозначим множество всех е-почти периодов функции f (•) через Е{е,ф}. Итак,

Е{е, f} = {т G R| sup |f (x + т) — f (x)| < е}.
xeR

Заметим, что свойство 1 записывается в виде Е{е', f} D Е{е, f} при всех е¹ > е;
свойство 2: если т G Е{е, f}, то —т G Е{е, f};
свойство 3: если п G Е{е1 ,f },т2 G Е{е2,f}, то п ± т2 G Е{е1 + е2,f}.

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12-01-00125).