ЕГЭ
ОЛИМПИАДЫ
ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗ

УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС
с решениями и указаниями

АЛГЕБРА
АЛГЕБРА

УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС
с решениями и указаниями

Москва 
Лаборатория знаний
2017

АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

3-е издание,
исправленное и дополненное
(электронное)

УДК 514
ББК 22.151.0я721.9
А45

А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
Первое издание данного пособия вышло в издательстве Мос-
ковского университета в 2011 г. (ISBN 978-2-211-05950-4)

А45
Алгебра. Углубленный курс с решениями и указания-
ми [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие /
Н. Д. Золотарёва [и др.] ; под ред. М. В. Федотова. — 3-е изд.,
испр. и доп. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf :
549 с.). — М. : Лаборатория знаний, 2017. — (ВМК МГУ —
школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-00101-530-7
Настоящее
пособие
составлено
преподавателями
факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственно-
го экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как
в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче Единого
государственного экзамена, а также учителям математики, репети-
торам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 514
ББК 22.151.0я721.9

Деривативное электронное издание на основе печатного
аналога: Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва [и др.] ; под ред.
М. В. Федотова. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : Лаборатория знаний,
2017. — 544 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-00101-040-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель
вправе
требовать
от
нарушителя
возмещения
убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-530-7

c○ Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
В. В. Сазонов, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов, 2017

c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Часть I. Теория и задачи
9

1.
Элементы теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1.
Целые числа. Делимость и остатки . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.2.
Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.3.
Смешанные задачи на целые числа . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.4.
Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . .
17

1.5.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

2.
Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функ-
ции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.1.
Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными три-
гонометрическими функциями
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.2.
Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

2.3.
Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригоно-
метрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.
Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . .
35

3.1.
Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

3.2.
Замены переменных в рациональных уравнениях, неравен-
ствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

3.3.
Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравен-
ствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

3.4.
Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах
. . . . . . . . . . . . . .
46

3.5.
Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометри-
ческие замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

4.
Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

4.1.
Недоопределённые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

4.2.
Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

4.3.
Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . .
60

5.
Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с парамет-
рами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

5.1.
Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета
. . . . . . . . . . . . .
63

5.2.
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

5.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

6.
Использование различных свойств функций и применение графиче-
ских иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

6.1.
Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

3

Оглавление

6.2.
Множество значений функции, промежутки знакопостоян-
ства и монотонности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

6.3.
Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . .
83

6.4.
Использование графических иллюстраций
. . . . . . . . . . .
89

7.
Метод оценок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

7.1.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . .
95

7.2.
Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . .
98

7.3.
Уравнения и неравенства с логарифмическими и показатель-
ными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.
Задачи на доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.
Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 106

8.2.
Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3.
Доказательство неравенств и тождеств
. . . . . . . . . . . . . 111

9.
Использование особенностей условия задачи
. . . . . . . . . . . . . . 114

9.1.
Оптимизация процесса решения, введение функций, искус-
ственное введение параметров, смена ролей параметра и пе-
ременной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2.
Чётность и симметричность по нескольким переменным, ис-
следование единственности решения, необходимые и доста-
точные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.3.
Редукция задачи и переформулирование условия
. . . . . . . 123

9.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Часть II. Указания и решения
131

1.
Элементы теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.1.
Целые числа. Делимость и остатки . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.2.
Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.3.
Смешанные задачи на целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . 146

1.4.
Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . 154

1.5.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.
Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функ-
ции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.1.
Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными три-
гонометрическими функциями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.2.
Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2.3.
Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригоно-
метрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.
Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . . 218
3.1.
Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.2.
Замены переменных в рациональных уравнениях, неравен-
ствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3.3.
Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравен-
ствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

3.4.
Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах
. . . . . . . . . . . . . . 259

3.5.
Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометри-
ческие замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.
Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.1.
Недоопределённые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4.2.
Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4.3.
Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 300

5.
Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с парамет-
рами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.1.
Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета
. . . . . . . . . . . . . 312

5.2.
Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

5.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

6.
Использование различных свойств функций и графических иллю-
страций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.1.
Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

6.2.
Множество значений функции, промежутки знакопостоян-
ства и монотонности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

6.3.
Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . 376

6.4.
Использование графических иллюстраций
. . . . . . . . . . . 392

7.
Метод оценок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.1.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 414

7.2.
Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . . 422

7.3.
Уравнения и неравенства с логарифмическими и показатель-
ными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.
Задачи на доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

8.1.
Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 458

8.2.
Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

8.3.
Доказательство неравенств и тождеств
. . . . . . . . . . . . . 477

9.
Использование особенностей условия задачи
. . . . . . . . . . . . . . 491

9.1.
Оптимизация процесса решения, введение функций, искус-
ственное введение параметров, смена ролей параметра и пе-
ременной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

9.2.
Чётность и симметричность по нескольким переменным, ис-
следование единственности решения, необходимые и доста-
точные условия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

9.3.
Редукция задачи и переформулирование условия
. . . . . . . 512

9.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Варианты ДВИ МГУ последних лет
528

Ответы
534

Список литературы
544

От редактора

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – шко-
ле». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготови-
тельных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных под-
готовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовле-
на серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия для 11-х классов по алгебре, геометрии, физике и ин-
форматике для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и экзаменам в вузы. В дальнейшем
предполагается продолжить эту серию пособиями для 9-х классов для подготовки
к ГИА.
По математике и физике вышли пособия двух уровней: базовый курс и курс,
содержащий сложные задачи части С единого государственного экзамена и нестан-
дартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различ-
ных факультетов МГУ имени М. В. Ломоносова). Базовый курс содержит все
разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач ЕГЭ ча-
стей А, В и некоторых задач части С, а также первой половины задач вариантов
вступительных экзаменов в вузы. Второе пособие содержит задачи, научившись
решать которые, вы сможете решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи
олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто
физически не успеть решить все задачи).
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложен-
ных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовитель-
ных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут
молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не все-
гда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу.
Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема пода-
чи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый
раз на более сложном уровне. Это позволяет не забывать пройденный материал и
постепенно подходить к сложным задачам.

Директор учебного центра
факультета Вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

6

Предисловие

Предлагаемый «Углублённый курс» является естественным продолжением «Базо-
вого курса» по алгебре и предполагает свободное владение методами и приёмами
из «Базового курса».
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому
сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном поряд-
ке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоре-
тического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи
вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подска-
зок). В случае, если вам не удалось получить правильный ответ или у вас возникли
сомнения в правильности вашего решения, рекомендуется изучить решение, пред-
ложенное авторами.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа
подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным раз-
делам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные
задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбина-
ции. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже
пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и
дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В. Ло-
моносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном
экзамене по математике в МГУ. Особо сложные задачи помечены звёздочкой.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращённое название факуль-
тета, затем – год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра
1 или 2, это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета – на
мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом, хи-
мическом, географическом факультетах и факультете почвоведения – одна олим-
пиада весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше
номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает,
что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете
ВМК, третьим номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в
1997 году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета
первым номером в варианте.

7

Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге

М/м
– механико-математический факультет,
ВМК
– факультет Вычислительной математики и кибернетики (.Б – отделение
Бакалавров по прикладной математики, .И – отделение Бакалавров по
Информационным технологиям),
Физ
– физический факультет,
Хим
– химический факультет,
ВКНМ – Высший колледж наук о материалах,
ФНМ
– факультет наук о материалах (до 2000 года – ВКНМ),
Биол
– биологический факультет,
Почв
– факультет почвоведения,
Геол
– геологический факультет (.ОГ – отделение общей геологии),
Геогр
– географический факультет,
Экон
– экономический факультет (.М – отделение менеджмента, .К – отделение
экономической кибернетики, .В – вечернее отделение),
ВШБ
– Высшая школа бизнеса,
Псих
– факультет психологии,
Фил
– философский факультет,
Филол – филологический факультет,
Соц
– социологический факультет,
ИСАА – Институт стран Азии и Африки,
ФГУ
– факультет государственного управления (отделение «Антикризисное
управление»),
ЧФ
– Черноморский филиал МГУ (г.Севастополь).

Используемые обозначения

{a}
– множество, состоящее из одного элемента a;
N
– множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
– множество всех целых чисел;
Q
– множество всех рациональных чисел;
R
– множество всех действительных чисел;
∪
– объединение;
∩ – пересечение;
∅ – пустое множество;
∈
– знак принадлежности;
⊂ – знак включения подмножества;
∀
– для любого;
A\B – разность множеств A и B;
=⇒
– следовательно;
⇐⇒ – тогда и только тогда;
ОДЗ – область допустимых значений;
 ... – знак системы, означающий, что должны выполняться все
...
условия, объединённые этим знаком;
 ...
– знак совокупности, означающий, что должно выполняться
...
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факульта-
тивов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

1.
Элементы теории чисел

1.1.
Целые числа. Делимость и остатки

Теоретический материал

При решении задач на целые числа необходимо знать следующие факты:

• любое натуральное число единственным образом (с точностью до перестанов-
ки сомножителей) может быть представлено в виде произведения простых
чисел;

• при делении натурального числа p на натуральное число q возможны1 q
различных остатков: 0, 1, 2, . . ., (q − 1).

Полезно также помнить признаки делимости натуральных чисел:

• при делении на 5 и на 10 число даёт такой же остаток, как и последняя его
цифра;

• при делении на 4, 25, 50 и на 100 число даёт такой же остаток, как и число,
записанное двумя его последними цифрами;

• при делении на 3 и на 9 число даёт такой же остаток, как и сумма его цифр.
Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и само число делится
на 3 или на 9.

Заметим, что при изучении делимости чисел достаточно работать не с самими
числами, а с остатками от деления этих чисел. Все арифметические действия с
остатками, кроме деления, повторяют действия с числами, а именно: при сложении
чисел складываются остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся
остатки и т.д.
В задачах, где требуется установить, что какое-то выражение, зависящее от
натурального числа n, делится или не делится при всех n на заданное натуральное
число, часто используется следующий факт: произведение k последовательных
натуральных чисел делится на k.

1Иногда бывает удобно рассматривать отрицательные остатки. Например, в качестве остатка
при делении числа 15 на 8 можно использовать 7, а можно (−1).

Теория и задачи

Примеры решения задач

П р и м е р 1.
Остатки от деления на 3 чисел m и n равны 1 и 2 соответственно.
Каковы остатки от деления на 3:
а) суммы m + n;
б) произведения m · n?

Р е ш е н и е. Так как m = 3k + 1, а n = 3l + 2, то

m + n = 3k + 3l + 3 = 3 · (k + l + 1).

Следовательно, m + n делится на 3 нацело. Рассмотрим теперь произведение

mn = (3k + 1) · (3l + 2) = 9kl + 3l + 6k + 2 = 3(3kl + l + 2l) + 2,

то есть при делении на 3 произведения mn остаток равен 2.

О т в е т. а) 0,
б) 2.

П р и м е р 2.
Доказать, что для всех натуральных n выражение (n3 + 3n2 + 2n)
делится на 6.

Р е ш е н и е. Так как n3 + 3n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2) – есть произведение трёх
последовательных чисел, которое всегда делится и на 2, и на 3, то n3 + 3n2 + 2n
делится на 6.

П р и м е р 3.
Дано число 21995 . Найти
а) последнюю цифру этого числа,
б) остаток от деления на 7.

Р е ш е н и е. а) Представим исходное число в виде

21995 = 24·498+3 = 16498 · 8.

Поскольку 16 в любой натуральной степени оканчивается на 6, а 6 · 8 = 48, по-
следняя цифра числа 21995 равна 8.

б) Рассмотрим остатки степеней двойки от деления на 7:

• 21 при делении на 7 даёт остаток 2,

• 22 при делении на 7 даёт остаток 4,

• 23 при делении на 7 даёт остаток 1.

Эти остатки повторяются с периодом T = 3. Так как 1995 = 3 · 665, то 21995 при
делении на 7 даёт остаток 1.

О т в е т. а) 8,
б) 1.

1.2.
Уравнения в целых числах
11

Задачи

1. Доказать, что число n5 − n делится на 30.

2. Доказать, что число n3 − 7n делится на 6.

3. Доказать, что n2 + 1 не делится на 3 ни при каких целых n.

4. Сумма m2 + n2 делится на 3. Доказать, что она делится на 9.

5. Доказать, что число n(n + 1)(n + 2)(n + 3) делится на 24.

6. Доказать, что n3 + 3n2 − n − 3 делится на 48 при нечётном n.

7. При каких натуральных n число n4 + 2n3 − n2 − 2n не делится на 120?

8. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных чисел делится на 9.

9. Цифры трёхзначного числа переписаны в обратном порядке. Доказать, что
разность между исходным и полученным числом делится на 9.

10. Докажите, что 4343 − 1717 делится на 10.

11. Делится ли на 7 число 19911917 + 19171991?

12. Доказать, что для всех натуральных n выражение

82n−1 − 1

делится на 7.

13. Доказать, что 5n − 3n + 2n делится на 4.

14. Найти все натуральные n, при которых число n · 2n + 1 делится на 3.

15. Доказать, что число 11 . . .1
  
81
делится на 81.

16. Доказать признак делимости на 11: «число n кратно 11 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр с чередующимися знаками кратна 11».

17. При каких n число M = 1717 . . .17




2n цифр

делится на 33?

1.2.
Уравнения в целых числах

Теоретический материал и примеры решения задач

Приведём основные приёмы решения уравнений в целых числах.

• Разложение на множители с последующим перебором возможных вариантов.

П р и м е р 1.
Решить в натуральных числах уравнение 2xy = x2 + 2y.

Р е ш е н и е.
2xy = x2 + 2y
⇐⇒
y2 − 2y = (x − y)2
⇐⇒

⇐⇒
(y − 1)2 − (x − y)2 = 1
⇐⇒
(2y − x − 1)(x − 1) = 1.

Следовательно, оба множителя равны единице и x = 2, y = 2.

О т в е т. (2; 2).

Теория и задачи

П р и м е р 2.
Решить в целых числах уравнение 2x + 1 = y2 .

Р е ш е н и е. Если x < 0, то 0 < 2x < 1 и y2 /∈ Z . При x = 0 также y /∈ Z.

Пусть x > 0, тогда 2x = (|y| − 1)(|y| + 1), следовательно, |y| − 1 = 2p,
|y| + 1 = 2q и 0 ≤ p < q. Откуда 2q − 2p = 2
⇐⇒
2p(2q−p − 1) = 2.
Возможные варианты:

а)

2p = 2,
2q−p − 1 = 1
⇐⇒

p = 1,
q − p = 1
⇐⇒

p = 1,
q = 2
⇐⇒

y = ±3,
x = 3.

б)

2p = 1,
2q−p − 1 = 2
⇐⇒
∅.

О т в е т. (3; 3), (3; −3).

• Использование делимости целых чисел.

П р и м е р 3. Доказать, что уравнение y2 = 5x2+6 не имеет решений в целых
числах.

Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде

y2 − x2 = 4x2 + 6
⇐⇒
(y − x)(y + x) = 4x2 + 6.

Так как правая часть уравнения является чётным числом, то и левая часть
также должна быть чётным числом. Если (y + x) чётно, то (y − x) тоже
чётно, и наоборот. Следовательно, левая часть уравнения делится на 4, но
правая часть на 4 не делится. Значит уравнение не имеет решений.

• Использование оценок с последующим перебором возможных значений.

П р и м е р 4. Решить в натуральных числах уравнение 2xy+4z = zx2+4y2z.

Р е ш е н и е. Вынесем z за скобки:

z(x2 + 4y2 − 4) = 2xy.

Выражение в скобках не равно нулю, так как иначе 2xy = 0, что неверно
при x, y ∈ N. Следовательно,

z =
2xy

x2 + 4y2 − 4.

Так как z ∈ N, то z ≥ 1, то есть

2xy

x2 + 4y2 − 4 ≥ 1
⇐⇒
x2 + 4y2 − 4 − 2xy ≤ 0
⇐⇒
(x − y)2 + 3y2 ≤ 4.

Отсюда видно, что y не может быть больше 1, а при y = 1 получаем

(x − 1)2 ≤ 1.

Следовательно, x = 1 либо x = 2.

О т в е т. (1; 1; 2), (2; 1; 1).