Леонид Витальевич Канторович: математика, менеджмент, инофрматика

ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ

К А Н Т О Р О В И Ч

математика, менеджмент

информатика

Под редакцией Г.А. Леонова, В.С. Катькало,
А.В. Бухвалова

Санкт-Петербург

Издательство «Высшая школа менеджмента»

2009

УДК 65.050

Л47

Печатается по решению Ученого Совета

Высшей школы менеджмента

и математико-механического факультета

Санкт-Петербургского государственного университета

Л47
Леонид Витальевич Канторович: математика, менеджмент,
инофрматика /
Под
ред.
Г.А. Леонова,
В.С. Катькало, А.В. Бухвалова. СПб.: Изд-во «Высшая
школа менеджмента», 2009.— 575 с.

ISBN 978-5-9924-0044-1

Монография
посвящена
выдающемуся
советскому
ученому,
математику, лауреату Нобелевской премии по экономике Л.В. Канторовичу. Труды
Л.В.Канторовима заложили основы интенсивного развития исследований по
применению математики в экономике. Благодаря многогранной деятельности
Л.В. Канторовича в СССР утвердился термин «эконометрика», обозначающий
математические методы исследования и планирования экономических процессов. Он на деле показал полезность оптимизационных расчетов на примере крупных конкретных экономических задач (задачи раскроя материала, транспортная
задача, формализация механизма ценообразования, системное планирование и
т. д.). Пройденный Л.В. Канторовичем путь, его фундаментальные научные достижения и акты гражданского мужества ярко показали жизненную необходимость сочетания «высокой теории» науки с «конкретными и жесткими требованиями» экономики, необходимость сведения этого сочетания к учебным программам и курсам.

Книга предназначена для широкого круга читателей — она будет полезна как
для специалистов в соответствующих областях знания, так для преподавателей,
аспирантов и студентов.

ISBN 978-5-9924-0044-1

c⃝
Коллектив авторов, 2009
c⃝
Высшая школа менеджмента СПбГУ, 2009

Содержание

Введение
7

И. В. Романовский

Леонид Витальевич Канторович: некоторые черты
научной биографии
9

1. Экономическое открытие Л. В. Канторовича . . . . . . . . . . .
10

2. Биография Л.В. Канторовича
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

3. Судьба работ Л. В. Канторовича . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

4. Л. В. Канторович как педагог
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

5. Развитие идей Л. В. Канторовича в СПбГУ . . . . . . . . . . . .
32

I. МАТЕМАТИКА
39

В. В. Бухвалова

Линейное программирование: к истории управленческих
решений
41

1. ЛП: решение прикладных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

2. Задача ЛП как задача вычислительной геометрии
. . . . . . .
43

3. Линейная модель оплаты труда
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

4. Программное обеспечение для ЛП
. . . . . . . . . . . . . . . .
49

5. Комментарии к литературе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

СОДЕРЖАНИЕ

С. А. Вавилов, К. Ю. Ермоленко

Современная теория управления и управление
«портфелем активов»
61

1. Постановка задачи и основной результат . . . . . . . . . . . . .
63

2. Некоторые полезные оценки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

3. Экспериментальные и теоретические предпосылки
адекватности выбранной модели ценообразования . . . . . .
76

В. Р. Крым, Н. Н. Петров

Исследование операций и принятие решений
85

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов, С. М. Селеджи

Динамические принципы прогнозирования
и управления
103

1. Динамическое прогнозирование. Поучительный пример. . . . . 104
2. Предсказание поведения рынка, как аналог предсказания
погоды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3. Динамические принципы управления . . . . . . . . . . . . . . . 107

Т. А. Гаврилова

От исследования операций через ситуационное управление
к моделированию знаний
116

1. Системы управления знаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2. Введение в инженерию знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3. Визуальные модели репрезентации знаний . . . . . . . . . . . . 127
4. Онтология
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Н. И. Наумова, Л. С. Васильченко

Допустимые системы коалиций в задачах
распределения
141

1. Модели рационирования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2. Обобщенные K-ядра в кооперативных играх
. . . . . . . . . . 146

3. Допустимые системы коалиций при |N| ≤ 6
. . . . . . . . . . . 149

СОДЕРЖАНИЕ
5

Я. Ю. Никитин

Статистические оценки параметров диффузионных
процессов
159

1. Методы и результаты теории оценивания параметров
диффузионных процессов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2. Оценка интегральной волатильности
. . . . . . . . . . . . . . . 168

3. Оценка интегральной волатильности по зашумленным
наблюдениям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4. Оценка интегральной волатильности с помощью
диапазонных оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

II. МЕНЕДЖМЕНТ
195

А. В. Бухвалов

Л. В. Канторович и теория менеджмента
197

Приложение. Воспоминания о работе с Л. В. Канторовичем
. . . 222

А. В. Бухвалов, А. Л. Дмитриев

Л. В. Канторович и становление экономикоматематического образования в СССР
231

1. Предыстория шестого курса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2. Экономический факультет ЛГУ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

3. Организация шестого курса и дискуссии вокруг
подготовки экономистов-математиков
. . . . . . . . . . . . . 240

4. Дальнейшие шаги
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Приложение. Стенограмма заседания Ученого совета
ЛГУ 1 июня 1959 г.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

III. ИНФОРМАТИКА
295

Г. А. Леонов, В. И. Кияев, Н. В. Кузнецов, В. В. Оносовский,
С. М. Селеджи

Некоторые аспекты подготовки IT-менеджеров:
специальные курсы и производственная практика —
органически связанные части образовательного
процесса
297

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

2. Современное образование и требования IT-менеджмента
. . . 310

3. Новая образовательная программа на кафедре прикладной
кибернетики математико-механического факультета
СПбГУ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

4. Теоретические курсы и их связь с практикой
. . . . . . . . . . 362

Курс «Компьютерные архитектуры»
. . . . . . . . . . . . . 362

Курс «Введение в бизнес-программирование»
. . . . . . . . 375

Курс «Управление IT-проектами»
. . . . . . . . . . . . . . . 378

Курс «Метрология, стандартизация и качество разработки
программного обеспечения: аспекты менеджмента» . 395

5. Принципы реализации открытых систем
. . . . . . . . . . . . . 461

6. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

Приложение 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

Приложение 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

Хронологический указатель трудов Л. В. Канторовича
529

Об авторах
573

Введение

В настоящее время в России ощущается большая потребность в
менеджерах высшей квалификации. О необходимости подготовки таких
менеджеров неоднократно говорили Президент и Премьер-министр России. Для решения этой проблемы в 2005 г. правительством России было принято решение об организации двух ведущих школ менеджмента —
в Москве и в Санкт-Петербурге. В Санкт-Петербурге Высшая школа
менеджмента была организована на базе факультета менеджмента в составе Санкт-Петербургского государственного университета. За последние тридцать лет во многих странах мира возникли крупные центры
по подготовке топ-менеджеров и сложились авторитетные научные школы в области теории и практики менеджмента. Поэтому вполне естественным выглядит стремление использовать опыт и знания зарубежных
коллег при организации ведущих школ менеджмента в России.

Однако следует помнить об успешном сотрудничестве советских
математиков и экономистов, которое началось в Санкт-Петербургском
(Ленинградском) университете в 30–40–50-е гг. XX века. Нет никакого
сомнения в том, что знаковой фигурой здесь является выдающийся математик Леонид Витальевич Канторович, ставший одновременно
самым признанным в мире российским экономистом — этот факт закреплен присуждением ему (совместно с американским экономистом
Т. Купмансом) Нобелевской премии по экономике в 1975 г. Именно
Канторович стал «мотором» инновационного образовательного проекта — проведения в 1959/60-м учебном году дополнительного шестого
курса на экономическом факультете ЛГУ с целью обучения экономикоматематическим методам.

Многочисленные ученики и последователи Канторовича распространили эту инновацию по всей стране. Многие выпускники по появившейся в результате специальности «Экономическая кибернетика» стали
крупными экономистами, первыми откликнулись на проведение экономических реформ и построение рыночной экономики России. Все здесь
сказанное
убедило
нас
в
необходимости
наряду
с
использованием
знаний и опыта зарубежных школ менеджмента привлечь и развить отечественный потенциал как прикладной математической науки, которая
всегда была сильна в Санкт-Петербургском университете, так и теории и

Введение

практики менеджмента, которые в последние годы активно развиваются
вместе с уверенным ростом экономики России и Петербурга.

Потребность в таком развитии особенно остро ощущается в высокотехнологических отраслях и в частности, — в сфере информационных технологий. Поэтому в 2007 г. мы предложили нашим коллегам по
университету, работающим на математико-механическом факультете и
в Высшей школе менеджмента, написать эту книгу, в которой отражались бы: прошлый позитивный опыт сотрудничества математиков и
экономистов, современное состояние науки, которую можно назвать «математическими методами в менеджменте и финансах», и возможности
их развития в будущем для решения актуальных проблем менеджмента
и подготовки топ-менеджеров, обеспечивающих экономический рост и
процветание России. Промежуточным, но важным, результатом нашей
работы стал совместный семинар «Традиции взаимодействия академического университетского образования и науки с технологическим фирмами. От Л.В. Канторовича до подготовки IT-менеджеров», состоявшийся в Высшей школе менеджмента СПбГУ 14 декабря 2007 г. Доклады,представленные на этом семинаре, наметили структуру настоящей
книги. Ее главная идея — от инновации в университетском образовании,
созданной благодаря усилиям Л.В. Канторовича в 1959 г., к современной
инновации,
связанной
с
ориентацией
на
высокотехнологичные
российские и международные компании. Результатом наших совместных
усилий и явилась эта книга.

чл.-корр. РАН, проф. Г.А. Леонов

проф. В.С. Катькало
проф. А.В. Бухвалов

И.В. Романовский

Леонид Витальевич Канторович:

некоторые черты научной биографии

В этой статье описывается жизненный путь Леонида Витальевича
Канторовича — известного математика и экономиста, действительного члена АН СССР, лауреата Государственной премии СССР, Ленинской премии, Нобелевской премии по экономике, иностранного члена ряда академий и почетного доктора многих университетов. Мы гордимся тем, что он был выпускником нашего университета, много лет был
его профессором, и с его именем связаны многие прогрессивные изменения в университете. В заключение будет немного рассказано о том, как
развивалась в университете проблематика, связанная с математической
экономикой.

Недавно в издательстве СО РАН вышел двухтомник [18, 19] очень
интересных материалов о Леониде Витальевиче. В первый том входит
и полный текст воспоминаний Л. В. Канторовича «Мой путь в науке»,
продиктованных им перед смертью, когда он был уже тяжело болен и
лежал в больнице. Мы будем часто цитировать это издание.

Л. В. Канторович был формально связан с нашим университетом с
1926 до 1960 г., а неформально — до конца своей жизни. В университете
он стал знаменитым математиком, был активным профессором математико-механического факультета, инициатором создания в университете
специальностей вычислительного, программистского и кибернетического профиля. Здесь зародился его интерес к математико-экономическим
исследованиям, и здесь он опубликовал свою знаменитую первую работу. Вполне естественно, что именно в Ленинградском университете Леонид Витальевич инициировал подготовку студентов-экономистов, обладающих в нужной мере математическим образованием.

Конечно, самый интересный вопрос в его биографии — это переход
высокоталантливого, преуспевающего молодого профессора математики
в неясные, а порой опасные дебри экономической науки, в те времена
сильно окрашенной в политические цвета. Зачем он туда пошел?

И. В. Романовский

На первой конференции по применению математики в экономике в
1960 г.1 Леонид Витальевич шутливо сравнил себя с популярной тогда
ткачихой Валентиной Гагановой, перешедшей в отстающую бригаду для
того, чтобы научить их, как нужно работать. И немедленно получил отповедь от представителей «отстающей бригады» — как он осмелился сравнить себя с самой Гагановой, к тому моменту уже кандидатом в члены
ЦК КПСС.

Но сравнение было совершенно правильным — математик, как казалось, представитель самой абстрактной науки, пришел учить новому подходу закоснелых догматиков, не способных решить самые насущные вопросы народнохозяйственной экономики.

1. Экономическое открытие Л. В. Канторовича

Хочется
попытаться
объяснить,
что
же
мог
сделать
в
экономике
математик, не владевший даже «правильным» экономическим языком.
Формул использовать при таком объяснении нельзя, но у нас есть хороший пример: сам Л. В. Канторович, объясняя свои идеи экономистам
и практикам, формул не писал или почти не писал и основывался на
простых модельных примерах, часто в конкретных числах. Это обстоятельство ни у кого, кроме математиков, возражений не вызывало — ведь
Маркс поступал точно так же.

Начнем с простого практического вопроса.
Предприятие может увеличить выпуск своей продукции, увеличив при
этом себестоимость. Выгодно ли это делать и, если да, то в какой мере?

Именно такие вопросы задавал себе Канторович, когда начал переходить от математики к экономике, и именно ответы на эти вопросы, в том
числе значительно более фундаментальные, легли в основу разработанной
им теории.

Как же он ответил на этот вопрос?
С точки зрения рыночной экономики, если рынок нуждается в
данной продукции и платит за нее больше себестоимости, то некоторое
увеличение выпуска выгодно. Мы говорим «некоторое», так как при
увеличении производства обычно происходит некоторое снижение цены.
Спрос на продукцию устанавливает ее граничную («маргинальную»)

1 Официально это было «Научное совещание о применении математических методов
в экономических исследованиях и планировании». Оно состоялось в Москве с 4 по
8 апреля 1960 г.

Леонид Витальевич Канторович: некоторые черты научной биографии
11

цену и соответствующую ей граничную себестоимость. Сейчас это
очевидно и элементарно (если в рассмотрение не входят более сложные
факторы).

В советские времена «рыночные аргументы» были противопоказаны,
а слово «маргинальный» (или «маржинальный») запрещено. Кроме
того, объем выпуска продукции диктовался планом.

Но и в такой ситуации можно позаботиться об эффективности. Представим себе, что данную продукцию выпускают несколько предприятий, и
себестоимости у них различны и зависят от объема выпуска. И в этом случае найдется граничное значение себестоимости, определяющее эффективные объемы выпуска: ни у одного предприятия себестоимость не должна превышать этого граничного значения, а с меньшей себестоимостью
предприятие выпускает продукцию только в случае, когда не может увеличить ее выпуск.

Это, конечно, самый простой из множества возможных вопросов.
Но уже в нем появляется новый важный показатель — граничная себестоимость продукции. Канторович установил, что во многих задачах,
моделирующих
экономические
ситуации
с
ограничениями
ресурсов,
возникают
такие
вспомогательные
показатели.2
Они
возникают
из
математического анализа задачи, но оказываются очень полезными для
экономического исследования практической ситуации, так как всегда им
можно придать ясный (хотя и непривычный) экономический смысл.

Например, одной из рассматривавшихся Канторовичем ситуаций
была транспортная задача, в которой нужно определить откуда-кудасколько везти, если заданы сбалансированные объемы производства и потребления однородного продукта. Возникающие здесь показатели трактуются как специальные «условные цены» продукта во всех пунктах сети,
а перевозка идет только по тем направлениям, где стоимость перевозки
равна разности таких цен в пунктах назначения и отправления. Если стоимость перевозки меньше этой разности, такое направление использовать
нельзя.3

Получающиеся условные цены зависят от задачи и не связаны с
условиями производства. Но они подсказывают экономисту, где при данном спросе выгодно увеличить производство, а где его желательно уменьшить.

2 Впрочем, как оказалось, такой «маргинальный» показатель было разрешено использовать энергетикам — замыкающее топливо.
3 В более поздние времена в нашей экономики раскрылись случаи, когда для выполнения плана перевозок эшелоны песка просто катали по замкнутому маршруту.

И. В. Романовский

2. Биография Л. В. Канторовича

Л. В. Канторович родился в Петербурге 19(6) января 1912 г. Его отец, врач
по специальности, умер в 1922 г., и пятерых детей их мать, Паулина Григорьевна, растила одна. Яркая одаренность Леонида Витальевича проявилась очень рано, и в школьные годы ему выделялась специальная стипендия.

Леонид Витальевич окончил школу и поступил в Ленинградский
университет в 1926 г. в возрасте 14 лет. О своем зачислении в университет он узнал своеобразно и с некоторым опозданием из такого письма:

«Вторично. Студенту ЛГУ тов. Канторович Л. Правление Ленинградского госуниверситета извещает, что Вам надлежит пройти
комиссию по платности 9 ноября 1926 г. Непрохождение в названный срок повлечет за собой исключение из числа студентов
ун-та без права восстановления. Одновременно уведомляем, что
назначенная плата должна быть Вами внесена не позднее 9/ХI-26 г.
Невзнос платы вызовет те же последствия, что и неявка в комиссию. Зав. студ. отделом» [18, с. 26].

Свои студенческие годы Канторович вспоминал с большой теплотой.
Хотя в основном он интенсивно занимался математикой, часть времени
тратилась на лекции по политической экономии и современной истории,
в частности, он слушал замечательные лекции академика Е. Л. Тарле.
Своими учителями в математике Леонид Витальевич считал, прежде всего, Г. М. Фихтенгольца, В. И. Смирнова, а вне университета —
С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

В семинарах Г. М. Фихтенгольца и В. И. Смирнова Леонид Витальевич занимался (начиная с 1927 г.) актуальными тогда вопросами
математического анализа и, в дальнейшем, функционального анализа.
Очень быстро он приобрел известность в математических кругах, и в
год окончания университета (1930) участвовал в работе 1-го Всесоюзного
математического съезда в Харькове.

Сразу же по окончании университета Леонид Витальевич, будучи еще
аспирантом, начинает преподавать, в 1932 г. он становится профессором, а
затем заведующим кафедрой математики в выделившемся из Политехнического института Институте инженерно-промышленного строительства.
В 1934 г. Леонид Витальевич становится профессором университета, а в
1935 г. получает диплом доктора наук. С тех пор Л. В. Канторович остается профессором университета до своего переезда в Новосибирск в 1960 г.

Довольно скоро Леонид Витальевич занялся вопросами вычислительной математики. Нужно заметить, что в то время вычислительная математика не считалась достойным занятием для талантливого ученого,

Леонид Витальевич Канторович: некоторые черты научной биографии
13

и Леонид Витальевич вспоминал, что Л. С. Понтрягин (впоследствии
академик, удостоенный высоких наград за свои прикладные работы)
говорил ему:

— Почему ты, Леонид, занялся вычислениями, у тебя ведь были такие интересные теоретические работы? У нас в Москве за вычисления брались только самые слабые из моих однокурсников [18, с. 41].

По-видимому, на Леонида Витальевича в этих его интересах влияло
его преподавание в Институте инженерно-промышленного строительства, который вскоре был преобразован в Высшее инженерно-строительное училище (ВИТУ). Это очень характерная для Канторовича
черта — ни в какой своей работе он не ограничивался формальным исполнением обязанностей, а стремился расширить постановку задачи и предложить новые подходы и решения. Например, уже в годы оттепели, когда
в Москве перешли на оплату проезда в автобусе по единой ставке вместо
существовавших тогда тарифных участков, этот переход вызвал большие
убытки из-за того, что автобусы мигом переполнились пассажирами, едущими «от конца до конца». Московские транспортники не ожидали такого
«эгоистического поведения» пассажиров.4 Ленинградские транспортники
обратились к Канторовичу с просьбой... рассчитать убыток заранее —
так что неудобства пассажиров и потеря денег их нисколько не смущали.
Из этой консультации и объяснений влияния тарифа на поведение пассажиров родилось... введенное в 1961 г. изменение оплаты такси (введение
фиксированной платы за посадку).

С ВИТУ Канторович был связан долгие годы, включая военное
время, о чем речь пойдет дальше.

В
1936 г.
Л. В. Канторович
и
В. И. Крылов
опубликовали
книгу
«Методы приближенного решения уравнений в частных производных»
объемом в 536 страниц. Эта книга под названием «Приближенные методы
высшего анализа» неоднократно переиздавалась (в 1941 г. — 2-е издание,
в 1962 г. — 5-е) и была переведена на многие языки. Долгие годы она
оставалась наиболее полным и авторитетным изданием по вычислительной математике. Многие вопросы авторы разрабатывали для этой книги
заново, и в ней они опубликованы впервые.

Вопросы прикладных приближенных вычислений вошли в область
научных интересов Л. В. Канторовича очень серьезно в послевоенное
время, об этом тоже речь пойдет далее.

А в 30-е гг. именно в Ленинградском университете (в НИИ Математики и Механики) с обычной научной консультации производственникам

4 Как современный министр социального развития и здравоохранения не ожидал
уже в XXI веке «эгоизма» льготников, имеющих право на бесплатные лекарства.

И. В. Романовский

начались исследования Леонида Витальевича по применениям математики в экономике. В 1938 г. за консультацией обратились сотрудники Фанерного треста, которые интересовались задачей оптимальной загрузки
производственных мощностей. Консультируя их, Леонид Витальевич увидел, что классические методы поиска экстремума в получающейся экстремальной задаче не дают работоспособного алгоритма: устанавливается,
что экстремум достигается в одной из многочисленных вершин сложно
описываемого многогранника, и нужно «просто» перебрать эти вершины. Леонид Витальевич предложил новый, более эффективный метод, в
основе которого было использование специальных множителей, обобщающих хорошо известные множители Лагранжа (понадобились специальные
приемы работы с ограничениями в форме неравенств, которые были бы
эффективны, когда таких ограничений много).

Вслед за этим Канторович увидел (поразительно полно) многочисленные применения таких моделей и таких методов в различных экономических и технико-экономических ситуациях. Анализируя свойства
упомянутых множителей в этих моделях, он провел замечательные
аналогии между множителями и экономическими показателями, специфичными для конкретных моделей, своего рода «внутренними ценами»
экономических ситуаций, даже таких, в которых не было цен (например, в сравнительной денежной оценке городских территорий при отсутствии продажи земли). Это и были те самые показатели, о которых шла
речь в начале нашего рассказа. Интересно, что к похожим выводам (без
использования математических моделей) пришел примерно в то же
время и ленинградский экономист В. В. Новожилов.5

5 Профессор Виктор Валентинович Новожилов (1892–1970) был представителем нарождавшейся в начале ХХ века (и загубленной впоследствии) русской экономической
школы, основоположниками которой были М. И. Туган-Барановский, Е. Е. Слуцкий,
А. И. Чупров и В. К. Дмитриев.

В 20-х гг. он был приглашен участвовать в проведении экономической реформы в новой России. В этот период (до 1929 г.) проявил себя как крупный специалист по финансам, ценообразованию, хозяйственному расчету, материальному стимулированию. Тогда же впервые получил мировое признание и был отмечен международными премиями
за критические труды в области финансового и денежного обращения. Теоретические
исследования В. В. Новожилова по вопросам ценообразования, кредита, эмиссионной
политики были непосредственно связаны с хозяйственными нуждами тех лет. Первая
из его классических работ «Недостаток товаров» (1926) посвящена анализу проблем
диспропорции между платежеспособным спросом и предложением товаров под углом
зрения политики цен.
Многолетняя работа в качестве эксперта по экономическим вопросам привела
В. В. Новожилова к углубленному изучению проблем теории и методологии расчетов экономической эффективности в народном хозяйстве. Первоначально математические методы были приложены им к задачам нахождения общего максимума эффекта