Основы радиооптики

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Г.Р. лОКшИН
ОСНОВы 
РадИООпТИКИ

Г.Р. Локшин
Основы радиооптики: Учебное пособие / Г.Р. Локшин – 2е
изд. –  Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2014. –
344 с.
ISBN  9785915591737

Второе издание известного учебного пособия, широко применяемого в ведущих российских университетах.
Многие задачи обработки информации не могут быть решены без
привлечения оптических методов.
Преобразование света в оптических системах изучается с использованием закономерностей, управляющих работой линейных колебательных систем.
Вопросы дифракции и формирования оптического изображения,
а также принципы пространственной фильтрации и оптической обработки информации рассмотрены на основе естественного обобщения
принципов линейной фильтрации электрических сигналов. Обсуждаются методы улучшения качества изображений и наблюдения фазовых объектов; согласованная фильтрация и проблема распознавания
образов; способы получения голограмм без опорного пучка, основанные на идеях корреляционной фильтрации, и ряд других задач.
По своему методическому уровню руководство не имеет аналогов
в мировой литературе.
Книга предназначена для студентов и преподавателей радиофизических и оптических специальностей, инженеровразработчиков и
исследователей.

 © 2009, Г.Р. Локшин
© 2014, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN  9785915591737

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Гла ва 1
Что такое фурье-оптика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 1. Линейные фильтры, принцип суперпозиции, собственные функции
7
§ 2. Гармонические колебания в задачах линейной фильтрации . . . . . .
11
§ 3. Пространственная фильтрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§ 4. Плоские волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 5. Спектральное разложение. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . .
27
§ 6. Спектральный подход к задачам линейной фильтрации . . . . . . . .
31
§ 7. Временная и пространственная модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
§ 8. Демодуляция и детектирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§ 9. δ-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 10. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

Гла ва 2
Математическое дополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
§ 1. Некоторые важные задачи сложения гармонических колебаний . . .
71
§ 2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 3. Некоторые свойства преобразований Фурье . . . . . . . . . . . . . . . .
78
§ 4. Сигналы и их спектры. Соотношение неопределенностей . . . . . . .
86
§ 5. Теорема Котельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 6. Поля и пространственные спектры. Соотношение неопределенностей
98

Гла ва 3
Дифракция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 1. Введение. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
§ 2. Распространение волн в свободном пространстве . . . . . . . . . . . .
112
§ 3. Граничные условия Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
§ 4. Формула Грина и принцип Гюйгенса–Френеля . . . . . . . . . . . . . .
121
§ 5. Область геометрической оптики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 6. Дифракция Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
§ 7. Принцип Бабине (дифракция на дополнительном экране). . . . . . .
145
§ 8. Теорема Котельникова в оптике (применение к расчету френелевских дифракционных картин) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
§ 9. Дифракция Фраунгофера и метод стационарной фазы . . . . . . . . .
153
§ 10. Принцип Гюйгенса–Френеля и дифракция Фраунгофера . . . . . . .
157
§ 11. Разрешающая способность дифракционной решетки . . . . . . . . . .
165

Оглавление

Гла ва 4
Дифракционная теория формирования изображения и разрешающая
способность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
§ 2. Модуляционная характеристика линзы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
§ 3. Элементарная оптическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
§ 4. Поле в фокальной плоскости линзы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
§ 5. Поле в оптически сопряженной плоскости, функция рассеяния
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
§ 6. Структура оптического изображения (полевой подход) . . . . . . . . .
187
§ 7. Структура оптического изображения (спектральный подход) . . . . .
189
§ 8. Аберрации и дефокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
§ 9. Собственные функции (моды) оптической системы . . . . . . . . . . .
198
§ 10. Принцип двойной дифракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
§ 11. Экстремальные свойства системы L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212

Гла ва 5
Обработка информации в когерентных оптических системах . . . . . . . 214
§ 1. Корреляционная фильтрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
§ 2. Математические
преобразования,
осуществляемые
оптическими
системами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
§ 3. Методы улучшения качества изображения . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
§ 4. Аподизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
§ 5. Восстановление объекта по изображению, «испорченному» дифракционными эффектами. Сверхразрешение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
§ 6. Оптические системы с обратной связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
§ 7. Пространственно периодические поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
§ 8. Фазовая проблема в оптике. Принципы голографии. . . . . . . . . . .
252
§ 9. Цифровая голография. Метод фазовых шагов . . . . . . . . . . . . . . .
269
§ 10. Радиоголография. Радиолокатор с синтезированной апертурой . . . .
272
§ 11. Принципы корреляционной фильтрации и фазовая проблема . . . .
276
§ 12. Принципы корреляционной фильтрации в голографии . . . . . . . . .
283
§ 13. Эффект Талбота и визуализация фазовых структур . . . . . . . . . . .
293
§ 14. Восстановление фазовой структуры волны по картине интенсивности в фурье-плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
§ 15. Соотношение между амплитудой и фазой оптического сигнала в
фурье-плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
§ 16. Алгоритм Гершберга–Сектона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
§ 17. Метод бегущей тени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
§ 18. Устранение искажений в оптической системе. Инверсная фильтрация
308
§ 19. Винеровский фильтр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
§ 20. Согласованная фильтрация и задача распознавания образов . . . . .
318
§ 21. Синтез когерентных пространственных фильтров. Введение. . . . . .
321
§ 22. Модуляционная микроскопия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
§ 23. Допплеровская пространственная фильтрация . . . . . . . . . . . . . . .
333

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342

ВВЕДЕНИЕ

История науки сложилась так, что ко времени, когда Джеймс Кларк
Максвелл завершил создание теории электромагнетизма (1861 г.) и была окончательно установлена электромагнитная природа света, оптика
уже была вполне сложившейся фундаментальной наукой, имеющей свой
«оптический» язык, свою терминологию, свой подход к изучаемым явлениям. В то время как максвелловская электродинамика дала мощный
толчок ряду новых направлений науки и техники — таких как радиоэлектроника, теория связи и т. д., — оптика в силу инерции многолетних
традиций сохраняла по отношению к ним полную изоляцию и до конца
50-х годов ХХ в. считалась одним из наиболее завершенных и вместе с
тем застывших разделов физики.
Три фактора послужили мощным стимулом бурного развития оптики
в последние десятилетия. Первый фактор — начавшийся в 50-е годы ХХ в.
процесс проникновения идей и методов общей теории колебаний в оптику; второй фактор — создание лазеров, открывших по существу эру
когерентной оптики; наконец, третий фактор — изобретение голографии, существенно расширившей возможности и области применения
когерентной оптики. Первый из перечисленных факторов явился теоретическим базисом, а два последних — техническим обеспечением революционных изменений, происходящих в оптике.
Следует отметить, что быстрые успехи и достижения радиофизики,
радиоэлектроники и теории связи обусловлены в первую очередь тем,
что эти разделы электродинамики с момента своего появления опирались на эффективный математический аппарат теории колебаний, который стал основой радиофизических методов исследования.
Пришедший много позднее в оптику радиофизический язык (язык и
методы теории колебаний) нарушил многолетнюю изоляцию оптики по
отношению к другим разделам электродинамики. Он позволил увидеть
общие закономерности в различных на первый взгляд физических явлениях, что привело к новому пониманию многих известных достижений
оптики и возникновению радиооптических аналогий (что важно само по
себе и доставляет истинное эстетическое наслаждение).
Общий язык и методы исследования дали возможность взаимного
обогащения радиофизики и оптики: достижения оптики стало возможным использовать в радиофизике, электронике и теории связи, и, в свою

Введение

очередь, оптика получила доступ к использованию успехов и достижений радиофизики. Чрезвычайно важно также, что язык теории колебаний открыл новые перспективы развития и новые области применения
оптических методов исследования.
Общность теоретических методов исследования в оптике, с одной стороны, и в радиофизике, радиоэлектронике и теории связи, с другой, обусловлена общностью физических закономерностей, заложенных, в конечном счете, в универсальности максвелловских уравнений электродинамики. Как системам, служащим для преобразования радиосигналов, которые изучаются в радиоэлектронике и теории связи, так и системам,
преобразующим световые волны (которые изучаются в оптике), присущи
такие фундаментальные свойства, как линейность и инвариантн о с т ь. Это позволяет удобно и просто описать их поведение единым
образом, используя универсальный аппарат теории линейных колебательных систем (линейных фильтров).
Аппарат теории линейной фильтрации является основой нового, бурно развивающегося направления современной оптики, получившего название «фурье-оптика» (или радио-оптика).
Начало этому направлению положили работы Л. И. Мандельштама,
Г.С. Горелика, С.М. Рытова. Затем появились монографии Дж. Строука,
Дж. Гудмена, В. С. Зверева, Л. М. Сороко [1–8].
Однако, на наш взгляд, до сих пор не существует книги, которая содержала бы доступное для широкого круга читателей (студентов, аспирантов, инженеров и научных работников) достаточно полное изложение идей и принципов фурье-оптики.

Г Л А В А
1

ЧТО ТАКОЕ ФУРЬЕ-ОПТИКА?

Подход к изучению волновых явлений, используемых в фурье-оптике,
основан на понимании закономерностей управляющих процессами в линейных колебательных системах (таких как электрический колебательный контур, механический маятник и т. д.). Выявляющиеся при таком
подходе колебательно-волновые аналогии позволяют глубже разобраться
во многих оптических явлениях. В силу сказанного, читателя не должно
удивлять, что речь в начале пойдет о вещах, не имеющих на первый
взгляд к оптике ни малейшего отношения.

§ 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ, ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ,
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

На рис.1.1,а изображен колебательный контур, содержащий
сопротивление R, индуктивность L и емкость C. Контур находится под
действием ЭДС, меняющейся со временем по закону f (t). Нас интересует закон изменения напряжения на конденсаторе g(t). Мы могли бы
исследовать RC-цепочку (рис. 1.1, б) или LR-цепочку (рис. 1.1, в), или какую-либо другую электрическую цепь, содержащую сопротивления, емкости и индуктивности. Мы могли бы, наконец, изучать механическую
колебательную систему (рис. 1.2), находящуюся под действием внешней
силы f (t), исследуя зависимость координаты тела от времени.

Рис. 1.1

Общим в приведенных примерах является то, что искомые функции
являются решениями линейных уравнений, т. е. уравнений, в которых
каждое слагаемое содержит неизвестную функцию и ее производные

Глава 1. Что такое фурье-оптика?

только в первой степени. Действительно, напряжение на конденсаторе
колебательного контура, согласно закону Ома, подчиняется уравнению
¨g + 2δ ˙g + ω2
0g = ω2
0 f (t),
(1.1)

где δ = R

2L — затухание, ω0 =
1
√

LC — собственная частота. Координата

тела в механическом осцилляторе (рис. 1.2) определяется вторым законом Ньютона:
m¨x + kx = f (t).
(1.2)

Читатель без труда может написать уравнения, определяющие искомые
функции g(t) для RC- и LR-фильтров, изображенных на рис. 1.1, б, в и

Рис. 1.2

убедиться, что и в этих примерах уравнения оказываются линейными.
Важно отдавать себе отчет в том, в
результате каких принятых идеализаций
возникает то или иное уравнение, почему уравнения (1.1) и (1.2) оказались
линейными? При достаточно больших
внешних ЭДС сопротивление контура
перестает быть постоянной величиной; оно начинает зависеть от величины тока, при этом линейность уравнения (1.1) нарушается. Если внешняя сила, действующая на механический осциллятор, велика, то растяжение пружины оказывается большим — перестает выполняться закон
Гука (линейная зависимость упругой силы от величины деформации),
при этом нарушается линейность уравнения (1.2).
Отмеченный факт является общим для всех физических явлений:
линейность нарушается при достаточно сильных внешних воздействиях.
Мы ограничимся сделанными замечаниями и будем полагать в дальнейшем, что внешние воздействия достаточно малы и не нарушают линейности рассматриваемых колебательных систем.
При изучении общих свойств линейных систем (фильтров) обычно
не интересуются их конкретным устройством и изображают с помощью

Рис. 1.3

блок-схемы (рис. 1.3). Внешнее воздействие
f (t) называют входным сигналом фильтра, а искомую зависимость g(t) — выходным сигналом или откликом фильтра.
Квадратик L представляет собой некоторое
устройство, преобразующее входной сигнал
f (t) в выходной сигнал g(t).
Тот факт, что g(t) является откликом фильтра на входное воздействие f (t), будем записывать в виде операторного равенства

g(t) = L[f (t)].
(1.3)

§ 1. Линейные фильтры, принцип суперпозиции, собственные функции
9

Фундаментальное свойство всех линейных физических явлений (т. е.
явлений, описываемых линейными уравнениями) состоит в следующем:
результат нескольких одновременных воздействий можно найти, суммируя
результаты, к которым приводит каждое отдельное воздействие. Это —
наиболее общая формулировка принципа линейной суперпозиции. Обратимся к приведенным выше примерам. Пусть gn(t) — напряжение на конденсаторе контура, находящегося под действием ЭДС fn(t) (n = 1, . . . , N).
Легко убедиться, что если внешняя ЭДС есть

f (t) =

Nn=1
cn fn(t),

то напряжение на конденсаторе меняется по закону

g(t) =

Nn=1
cngn(t).

Точно так же зависимость координаты тела от времени под действием
суммарной силы f (t) =
cn fn(t), действующей на механический осциллятор, есть x(t) =
cnxn(t), где xn(t) — отклонение под действием
силы fn(t).
Можно сформулировать принцип линейной суперпозиции по отношению к произвольному фильтру следующим образом. Если отклик фильтра на входной сигнал f1(t) равен g1(t), т. е. g1(t) = L[f1(t)], а при входном воздействии f2(t) выходной сигнал равен g2(t), т. е. g2(t) = L[f2(t)],
то отклик фильтра на линейную комбинацию f (t) = c1 f1(t) + c2 f2(t) равен линейной комбинации откликов g1(t) и g2(t): g(t) = c1g1(t) + c2g2(t).
Таким образом, свойство линейности выражается равенством

L[c1 f1(t) + c2 f2(t)] = c1L[f1(t)] + c2L[f2(t)].
(1.4)

Можно рассмотреть линейную суперпозицию более общего вида, когда сигнал f (t) выражается непрерывной суперпозицией функций ψ(t, ω) (ω — непрерывно меняющийся параметр):

f (t) =
c(ω)ψ(t, ω) dω.

Линейность фильтра означает тогда, что

g(t) = L[f (t)] =
c(ω)L[ψ(t, ω)] dω.
(1.5)

Итак, свойство линейности позволяет предложить следующий алгоритм
решения любой (линейной) физической задачи. Произвольное (вообще
говоря, сложное) внешнее воздействие нужно представить в виде линей

Глава 1. Что такое фурье-оптика?

ной суперпозиции более простых воздействий и искать решение, соответствующее каждому слагаемому в этой суперпозиции. Искомое решение находится как линейная суперпозиция решений, соответствующих
каждому слагаемому внешнего воздействия.
Конечно, представление любой функции в виде суперпозиции некоторых более простых функций неоднозначно. Выбор «базиса» (элементарных слагаемых) — это вопрос физической целесообразности, вопрос
об отношении сигнала к той реальной физической системе, на которую
сигнал воздействует.
Особый интерес по отношению к линейным фильтрам представляют
так называемые собственные функции этих фильтров. Если входным сигналом фильтра является его собственная функция, то сигнал на выходе
имеет тот же функциональный вид (т. е. описывается той же функцией),
что и внешнее воздействие. Таким образом, согласно определению, если
ψn(t) — собственная функция, то

L[ψn(t)] = λnψn(t).
(1.6)

Числа λn называются собственными значениями, а вся совокупность
этих чисел — спектром собственных значений.
Ясно, что если собственные функции фильтра известны, то произвольный входной сигнал удобно представлять в виде f (t) =
cnψn(t).
Используя (1.5) и (1.6), находим искомый выходной сигнал g(t):

g(t) = L[f (t)] = L
cnψn(t)
=
cnL[ψn(t)] =
cnλnψn(t).
(1.7)

Если спектр собственных значений непрерывен, то вместо (1.6) имеем:

L[ψ(t, ω)] = λ(ω)ψ(t, ω),
(1.8)

где ω — непрерывно меняющийся параметр, λ(ω) — непрерывный набор
собственных значений. Каждому значению непрерывно меняющегося
параметра ω отвечает своя собственная функция и соответствующее собственное значение. В этом случае решение задачи, согласно (1.8) и (1.5),
имеет вид

g(t)=L
c(ω)ψ(t, ω) dω
=
c(ω)L[ψ(t, ω)] dω=
c(ω)λ(ω)ψ(t, ω) dω.
(1.9)

Имеется широкий класс систем, собственными функциями которых
являются г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я. Это линейные стационарные системы, т. е. такие линейные системы, свойства которых не меняются с течением времени. (Например, колебательный контур с постоянными, н е з а в и с я щ и м и о т в р е м е н и параметрами R, L и C.)

§ 2. Гармонические колебания в задачах линейной фильтрации
11

Характерное (и очевидное) свойство стационарных систем состоит в том,
что сдвиг во времени входного сигнала приводит лишь к эквивалентному
сдвигу реакции системы на этот сигнал, т. е. если L[f (t)] = g(t), то

L[f (t + t0)] = g(t + t0).
(1.10)

В следующем параграфе изложены элементарные сведения о гармонических колебаниях.

§ 2.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Особую роль по отношению к линейным стационарным системам играют гармонические функции

s(t) = a cos(ωt + ϕ)
(1.11)

(ω — частота колебания, a — амплитуда, Φ(t) = ωt + ϕ — фаза колебания, ϕ — начальная фаза, равная значению Φ(t) при t = 0).
Мы, как правило, будем пользоваться комплексной формой записи,
рассматривая вместо действительных функций вида (1.11) комплексные
функции
f (t) = aei(ωt+ϕ) = ceiωt.
(1.12)

Очевидно, колебательный процесс s(t) есть действительная часть комплексной функции f (t):
s(t) = Re f (t).

Комплексное число c = aeiϕ определяет и амплитуду колебания, и
его начальную фазу.
В дальнейшем мы будем широко пользоваться векторными диаграммами, изображая гармоническое колебание (1.11) в виде вектора s, длина
которого равна a, а угол между осью x и направлением вектора есть ϕ
(рис. 1.4). Удобство и целесообразность векторного представления гармонических колебаний состоит в том, что сумма колебаний вида (1.11)
может быть найдена по правилу сложения векторов, так что колебание
s(t) = s1(t) + s2(t) (где s1(t) = a1 cos(ωt + ϕ1) и s2(t) = a2 cos(ωt + ϕ2))
изображаются в виде вектора s, равного сумме s1 и s2 (рис. 1.5). (Мы
рекомендуем читателю проверить, что амплитуда a суммарного колебания s(t) равна длине вектора s, а его фаза ϕ равна углу между s и осью x.)
Из треугольника векторов на рис. 1.5 легко найти a, используя теорему косинусов:
a2 = a2
1 + a2
2 + 2a1a2 cos ϕ,

где ϕ = ϕ1 − ϕ2 — разность фаз.

Глава 1. Что такое фурье-оптика?

Отметим, что комплексное число aeiϕ также можно изобразить в виде
вектора на комплексной плоскости (x — действительная ось, y — мнимая ось), так что проекция вектора на ось x равна действительной части
комплексного числа, а его проекция на ось y — мнимой части; модуль
комплексного числа равен при этом длине вектора, а аргумент ϕ —
углу с действительной осью. Так же как и гармонические колебания,
комплексные числа можно складывать по правилу сложения векторов.
Таким образом, комплексное представление гармонических колебаний
и их векторное изображение полностью эквивалентны.

Рис. 1.4
Рис. 1.5

Представление (1.12) чрезвычайно упрощает все линейные операции
(сложение и умножение на число, а также дифференцирование и интегрирование), поскольку они оставляют неизменным вид множителя eiωt:

d
dt eiωt = iωeiωt,
eiωtdt = 1

iωeiωt.

Именно такие операции и проводятся с функциями в линейных уравнениях. Итак, пусть нас интересует реакция произвольной линейной
колебательной системы на внешнее реальное гармоническое воздействие
a cos(ωt + ϕ). Обозначив искомую реакцию через s(t), запишем:

s(t) = L[a cos(ωt + ϕ)].

Если входной сигнал фильтра есть a sin(ωt + ϕ), то мы получаем

s1(t) = L[a sin(ωt + ϕ)].

Из свойств линейности следует:

g(t) = s(t) + is1(t) = L[a cos(ωt + ϕ) + ia sin(ωt + ϕ)]