Современное введение в физику колебаний

А.Н. ПАРШАКОВ

СОВРЕМЕННОЕ ВВЕДЕНИЕ  
В ФИЗИКУ КОЛЕБАНИЙ

А.Н. Паршаков
Современное введение в физику колебаний: Учебное пособие /
А.Н. Паршаков – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект»,
2013. – 240 с.
ISBN 9785915591546

                        © 2013, А.Н. Паршаков
                         © 2013, ООО «Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN 9785915591546

Рассмотрены общие свойства колебательных процессов, происходящих в
радиотехнических, механических и других системах, а также различные методы их изучения. Большое внимание уделено описанию параметрических, автоколебательных, релаксационных и других нелинейных систем. Рассмотрены механизмы синхронизации колебаний и стохастической динамики простых
систем. Изучение этих колебательных систем проведено известными методами теории колебаний без подробного изложения и обоснования самих методов. По наиболее важным темам приведены задачи для самостоятельного решения.
Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей технических и физических специальностей университетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Собственные колебания в консервативных системах
10

1.1. Общий подход к рассмотрению колебаний. Фазовый портрет
колебательной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Колебания маятника. Метод последовательных приближений
19
1.3. Колебания в электрическом контуре с нелинейными элементами
28
1.4. Сложение гармонических колебаний . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.5. Квантовый гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . .
43

Глава 2. Собственные колебания в диссипативных системах
48

2.1. Особенности колебаний в диссипативных системах и методы их рассмотрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2. Гармонический осциллятор с затуханием . . . . . . . . . . . .
52
2.3. Метод поэтапного рассмотрения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.4. Линейные случаи реализации сил сухого трения . . . . . . .
64
2.5. Метод медленно меняющихся амплитуд . . . . . . . . . . . . .
69

Глава 3. Вынужденные колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

3.1. Вынужденные колебания в линейной системе при гармоническом воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.2. Электрические колебания. Импеданс . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.3. Амортизация колебаний. Антирезонанс . . . . . . . . . . . . .
92
3.4. Гармонический осциллятор под действием непериодической
силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.5. Резонанс в нелинейных системах . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

Оглавление

Глава 4. Параметрические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . .
104

4.1. Параметрическое возбуждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
4.2. Параметрический резонанс в консервативной линейной системе. Уравнение Матье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
4.3. Движение в быстро осциллирующем поле. Маятник Капицы
115
4.4. Параметрический резонанс в нелинейных системах (параметрический генератор) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

Глава 5. Автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130

5.1. Основные определения и классификация автоколебательных
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
5.2. Уравнение Ван-дер-Поля. Зависимость формы автоколебаний
от параметров системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
5.3. Автоколебательные системы томсоновского типа . . . . . . .
142
5.4. Релаксационные (разрывные) колебания . . . . . . . . . . . . .
146
5.5. Устойчивость колебаний в линеаризованных системах . . .
158
5.6. Стохастические колебания (динамический хаос) . . . . . . .
161

Глава 6. Связанные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169

6.1. Парциальные системы. Нормальные моды колебаний . . . .
170
6.2. Обмен энергией между парциальными системами . . . . . .
174
6.3. Вынужденные колебания в связанных системах . . . . . . .
177
6.4. Колебания в системе с произвольным числом степеней
свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179

Глава 7. Синхронизация колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184

7.1. Вынужденная синхронизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
7.2. Взаимная синхронизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
7.3. Синхронизация маятниковых часов (задача Гюйгенса) . . .
195
7.4. Синхронизация роторов механических вибровозбудителей .
199

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202

Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225

П.1. Математические модели активных двухполюсников и четырехполюсников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
П.2. Методы составления уравнений для электрических цепей .
229
П.3. Электронные генераторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
П.4. Некоторые тригонометрические соотношения и интегралы.
232

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

ВВЕДЕНИЕ

В современной физике и технике почти нет областей, в
которых колебания не играют заметной роли, не говоря уже о том, что
ряд областей всецело базируется на колебательных явлениях. Под колебаниями понимают процессы, отличающиеся той или иной степенью
повторяемости. Такое определение объединяет широкий круг явлений,
встречающихся в природе и находящих многочисленные применения в
технике. Идея о колебательной общности внешне кажущихся непохожими явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, оптических, химических, биологических и др.) в наше время
представляется совершенно естественной.
Задачей этой книги является формирование адекватного и достаточно полного представления обо всем спектре колебательных процессов,
сформировавшихся к настоящему времени, при совмещении наглядности изложения с достаточным для практических применений уровнем
полноты и строгости. Книга предназначена в первую очередь тем, кто
ощущает необходимость более детального, чем это дается в стандартном курсе общей физики, знакомства с колебательными процессами
и их проявлением в различных областях науки и техники. Современная физика колебаний и волн для решения своих задач привлекает
достаточно сложный математический аппарат (комплексные переменные, дифференциальные уравнения в частных производных, ряды Фурье, специальные функции и т. д.). В связи с этим в книге приводятся
минимально необходимые сведения из математики. Многолетний опыт
общения со студентами определил оптимальное соотношение между
подробными выводами и той информацией, которую можно оставить «за
кадром».

Введение

Динамические системы, в которых могут существовать колебания
принято называть колебательными системами. В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают собственные
(затухающие и незатухающие) колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и самоподдерживающиеся (автоколебания).
Однако последовательная классификация различных колебательных
систем возможна только при условии замены конкретных реальных
систем моделями, в которых отражается только ограниченное число
особенностей, существенных для изучаемых колебательных процессов.
Простейшей колебательной системой с одной степенью свободы, с
которой обычно начинается изучение колебаний, является так называемый гармонический (линейный) осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением
¨x + ω2
0x = 0.
(*)

В данной системе реализуются гармонические колебания вида

x(t) = a cos (ω0t + α) ,

где a — амплитуда колебания, ω0 = 2π/T — круговая частота колебания
(мы будем называть ее просто частотой), T — период, α — начальная фаза. Гармонические колебания представляют особый интерес не
только в силу простоты их аналитического представления. Эта форма
движений наиболее обычна для колебательных процессов в системах
с постоянными параметрами (линейные системы) и чрезвычайно часто
встречается в реальных процессах, изучаемых не только в физике, технических дисциплинах, но и в химии, биологии.
Рассмотрим в качестве нетривиального, хотя уже и ставшим классическим примера — известную модель экологии «хищник–жертва»
(модель Лотка–Вольтерра). В этой модели рассматриваются два вида
животных, один из которых питается другим. Например, на замкнутом
ареале живут лисы (хищники) и зайцы (вегетарианцы). Зайцы (их число N1(t)) питаются только растительной пищей, имеющейся в избытке.
Лисы (их число N2(t)) питаются только зайцами. Поставим вопрос:
могут ли лисы съесть всех зайцев?
Если жертвы живут на ареале одни и пищи им хватает, то численность этого вида будет увеличиваться с некоторой скоростью, пропорциональной числу жертв на данный момент

˙N1 = α1N1.

Здесь и далее точкой над переменной обозначена производная по времени, α1 — постоянный положительный коэффициент прироста. Если бы

Введение
7

на ареале жили одни хищники, то из-за отсутствия пищи они вымирали
бы с постоянной скоростью, пропорциональной их числу на данный
момент
˙N2 = −α2N2

(α2 — постоянный положительный коэффициент вымирания). Разумно
допустить, что при совместном проживании обоих видов численность
хищников будет увеличиваться тем быстрее, чем чаще они сталкиваются с жертвами (соответственно уменьшается число жертв). Эта
частота столкновений пропорциональна произведению N1N2. Таким образом, для описания численности двух совместно проживающих видов
мы приходим к системе дифференциальных уравнений

˙N1 = N1(α1 − β2N2),
˙N2 = −N2(α2 − β1N1),
(**)

(β2 — положительная постоянная, характеризующая гибель жертв из-за
встречи с хищниками; β1 — положительная постоянная, характеризующая размножение хищников).
Интуитивно понятно, что в данной системе на достаточно большом временном интервале в среднем должно реализоваться состояние
равновесия, относительно которого возможны колебания численности
обоих видов. Пусть ⟨N1⟩ и ⟨N2⟩ — средние значения числа жертв и
хищников, характеризующие состояние равновесия. Из уравнений (*)
при ⟨ ˙N1⟩ = ⟨ ˙N2⟩ = 0 находим

⟨N1⟩ = α2

β1 ,
⟨N2⟩ = α1

β2 .
(***)

Предположим, что существуют малые отклонения n1(t) и n2(t) от равновесных значений ⟨N1⟩ и ⟨N2⟩, т. е. будем считать, что N1(t) = ⟨N1⟩ + n1,
N2(t) = ⟨N2⟩ + n2, причем n1 ≪ ⟨N1⟩, n2 ≪ ⟨N2⟩. Подставляя выражения
для N1(t) и N2(t) в (**) с учетом (***) и пренебрегая членами второго
порядка малости ∼ n1n2, получаем

˙n1 = −β2⟨N1⟩n2 = −β2α2

β1 n2,
˙n2 = β1⟨N2⟩n1 = β1α1

β2 n1.

Дифференцируя первое из этих уравнений по времени и используя второе, приходим, как ни странно, к уравнению для гармонического осциллятора ¨n1 + ω2n1 = 0 (такое же уравнение получается и для n2, где
ω2 = α1α2). Отсюда сразу следует, что в принятой нами модели численность животных обоего вида будет периодически изменяться по гармоническому закону.
Уравнение (*) описывает так называемые собственные незатухающие колебания и является базовым уравнением, демонстрирующим глав

Введение

ное свойство колебательных систем — их периодичность. Все остальные
колебательные системы могут быть описаны аналогичным уравнением
с некоторыми изменениями, определяющими тип колебаний. При наличии линейного затухания уравнение колебаний приобретает вид

¨x + 2β ˙x + ω2
0x = 0.

Вынужденные колебания при воздействии внешней гармонической силы описываются уже уравнением

¨x + 2β ˙x + ω2
0x = f0 cos ωt.

Если параметры системы являются функцией времени, то появляется возможность описания параметрических колебаний. Их математическое описание производится с помощью линейного дифференциального
уравнения с переменными коэффициентами

¨x + ϕ1(t)˙x + ϕ2(t)x = 0,

где ϕ1(t) и ϕ2(t) — периодические функции времени.
Конечно, рассмотрение колебательных процессов в линейных системах является только начальным этапом изучения физики колебаний.
Линейные колебания — колебания малой амплитуды, для которых выполняется принцип суперпозиции, по существу, есть результат приближенного описания. Уравнения линейных колебаний получаются в
результате линеаризации исходной модели вблизи какого-либо выделенного состояния или движения исследуемой модели. При более общем рассмотрении оказывается, что большинство явлений, с которыми мы имеем дело, оказываются нелинейными. Именно эти явления и
представляют наибольший интерес не только с теоретической, но и с
практической стороны.
Например, различные маятники (математический, физический и др.)
описываются уже нелинейным дифференциальным уравнением

¨x + ω2
0 sin x = 0

(или подобным). Автоколебательные системы, нелинейность которых
проявляется только в свойствах диссипативного члена в уравнении движения, в общем случае можно описать уравнением

¨x + ψ (x, ˙x) + ω2
0x = 0.

При соответствующем выборе функции ψ(x, ˙x) данное уравнение справедливо для любого вида автоколебательных систем (как осцилляторных, так и релаксационных).

Введение
9

Колебания в линейных и нелинейных колебательных системах с
одной степенью свободы носят строго детерминированный характер. В
фазовых пространствах с размерностью большей двух возможно установление так называемых стохастических колебаний в полностью детерминированной, без шумов и флуктуаций нелинейной системе. Хаотические колебания могут развиваться в нелинейной колебательной системе, находящейся под действием гармонической возбуждающей силы,
уравнение этих колебаний, например, может иметь вид

¨x + 2β ˙x + x + x3 = ρ cos ωt.

В современной физике колебаний большое значение приобретают
вопросы синхронизации колебаний, т. е. установление и поддержание
такого режима колебаний двух и более систем, при котором их частоты
равны или кратны друг другу. При таких колебаниях параметры какойлибо колебательной системы начинают зависеть от состояния соседних
систем.
Главной задачей при написании этой книги являлось полное, последовательное и обоснованное рассмотрение колебательных процессов в
различных динамических системах, не выходя за рамки курса общей
физики. Теоретические методы анализа колебательных систем сопровождаются рассмотрением их разнообразного практического применения в науке и технике.
При этом предполагается, что читатель уже знаком с предварительными сведениями о колебаниях в рамках стандартного курса физики
колебаний в техническом вузе.

Г Л А В А
1

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ

1.1.
ОБЩИЙ ПОДХОД К РАССМОТРЕНИЮ КОЛЕБАНИЙ.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

При рассмотрении колебательных систем особое внимание
уделяется системам с малым затуханием, в которых энергия, рассеиваемая за период колебаний, мала по сравнению с общим запасом энергии
самих колебаний. Такими системами являются резонансные элементы входных цепей радиоприемных устройств, колебательные контуры
полосовых фильтров, частотомеров, спектр-анализаторов, маятник или
баланс в часовых механизмах и др. В подобных системах их колебательные свойства проявляются наиболее ярко и весьма слабо зависят от
величины и характера затухания. Поэтому, ограничиваясь не слишком
большими по сравнению с периодом колебаний интервалами времени,
можно вообще пренебречь затуханием и рассматривать колебательную
систему как консервативную. Несмотря на отсутствие в природе идеализированных консервативных колебательных систем, их изучение позволяет получить важную информацию, помогающую изучению систем,
отличных от консервативных.
Ограничим рассмотрение консервативных колебательных систем системами с одной степенью свободы, поведение которых определяется
одной независимой переменной x. Для упругих механических систем
под величиной x можно понимать линейную или угловую координату,
характеризующую отклонение системы от положения равновесия. В
электрических же системах за основную переменную часто принимают заряд конденсатора q. В общем случае для описания движений в

1.1. Общий подход к рассмотрению колебаний
11

консервативных системах рассматривают дифференциальное уравнение
второго порядка
¨x = F(x, ˙x)
(1.1)

(здесь и далее точкой над x обозначено дифференцирование по времени).
К уравнению типа (1.1) приводится, например, уравнение колебаний
гармонического осциллятора (рис. 1.1), для которого второй закон Ньютона выглядит как
m¨x = −kx,

где m — масса, k — жесткость пружины. Введя обозначение ω2
0 = k/m,
последнее уравнение можно переписать в виде

¨x + ω2
0x = 0,
(1.2)

где ω0 — частота собственных незатухающих колебаний гармонического (линейного) осциллятора (пружинного маятника).
Для идеального математического маятника (рис. 1.2) с длиной подвеса l и массой m, находящегося в поле тяготения с ускорением свободного падения g, дифференциальное уравнение движения для угловой
координаты ϕ имеет вид

ml2 ¨ϕ = −mgl sin ϕ,

или
¨ϕ + ω2
0 sin ϕ = 0,
(1.3)

где ω2
0 = g/l. Уравнение типа (1.3) описывает также колебания физического маятника, но с другим значением ω0.

Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3

В случае электрического колебательного контура без сопротивления
(рис. 1.3) дифференциальное уравнение колебаний заряда конденсатора q имеет вид

L¨q + q

C = 0,
(1.4)

Гл. 1. Собственные колебания в консервативных системах

где L — индуктивность контура (при отсутствии ферромагнетиков
L = const), C — емкость конденсатора (при отсутствии сегнетоэлектриков она также постоянна). Уравнение (1.4) сводится к уравнению (1.2),
если положить x = q и обозначить ω2
0 = 1/(LC).
Уравнения (1.2) и (1.3) описывают колебания в консервативных системах, но уравнение (1.2) линейно относительно координаты x и, следовательно, описывает движения в линейной колебательной системе.
Уравнение же (1.3) нелинейно относительно координаты ϕ, и поэтому
колебательная система, описываемая этим уравнением, нелинейна.
В общем случае и уравнение (1.4) также является нелинейным. Это
происходит, если в индуктивности используется сердечник из ферромагнитных материалов. Их магнитная проницаемость существенно зависит от величины магнитного поля, т. е. от протекающего по обмотке
тока I = ˙q. В этом случае индуктивность контура L является функцией
скорости изменения заряда L(˙q) и тогда уравнение (1.4) можно записать
в виде
¨q +
q

C · L(˙q) = 0,

что явно сводится к уравнению вида (1.1).
Начнем с изучения случая, когда уравнение (1.1), описывающее движение в рассматриваемой колебательной системе, не содержит ˙x. Тогда
общим видом подобного дифференциального уравнения второго порядка будет
¨x = f(x).
(1.5)

Для механических колебаний это означает, что возвращающая сила,
отнесенная к единичной массе, не зависит от скорости, и определяется только положением. Будем полагать функцию f(x) голоморфной,
интегрируемой и в общем случае нелинейной функцией координаты x.
Выбрав в качестве новой переменной ˙x, можно исключить из (1.5) время
в явном виде, хотя по-прежнему x = x(t) и ˙x = ˙x(t). Для этого запишем

d2x
dt2 = d˙x

dt = d˙x

dx · dx

dt = d˙x

dx · ˙x.

Тогда в новых переменных (x, ˙x) уравнение (1.5) принимает вид

d˙x
dx = f(x)

˙x .
(1.6)

И после интегрирования получаем

˙x2

2 −
f(x) dx = w,

где w — некоторая постоянная интегрирования.