Параметрические колебания консоли, внутренняя полость которой заполнена жидкостью


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2008. Вып. 3

УДК 532.5:534

© А. А. Пожалостин, А. В. Паншина




                ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛИ, ВНУТРЕННЯЯ ПОЛОСТЬ КОТОРОЙ ЗАПОЛНЕНА ЖИДКОСТЬЮ¹




В работе обсуждается вопрос о возбуждении параметрических колебаний защемленной одним концом консольной балки (цилиндрической трубки), внутренняя полость которой заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. Решаются, во-первых, гидродинамическая задача о взаимодействии стенок балки и жидкости и, во-вторых, задача о параметрических поперечных колебаниях консоли.

Ключевые слова: балка, идеальная несжимаемая жидкость, осесимметричные колебания, поперечные колебания.




                Введение




   В работе обсуждается вопрос о возбуждении параметрических колебаний защемленной одним концом консольной балки (цилиндрической трубки), внутренняя полость которой заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. Такие колебания могут возникать в трубопроводах авиационных конструкций и энергетических установок при внезапном защемлении конца трубопровода.
   Во-первых, решается гидродинамическая задача о взаимодействии стенок балки и жидкости, которая полностью заполняет внутреннее пространство балки. Предполагается, что со стороны свободного конца консоли сообщается вынуждающее перемещение, изменяющееся по гармоническому закону частоты р. Эта задача решается при следующих допущениях: колебания жидкости и цилиндрической стенки консоли считаются малыми, материал подчиняется закону Гука. Жидкость считается идеальной и несжимаемой, а ее движение — потенциальным с потенциалом скорости Ф. Рассматривается случай осесимметричных продольных вынужденных колебаний оболочки, полностью заполненной жидкостью. Для получения аналитического решения гидродинамической задачи используется метод собственных функций, а именно частные решения уравнения Лапласа. Упругая оболочка считается безмоментной. В результате решения этой краевой задачи определяется прогиб стенки как функция частоты возмущающего перемещения р.
   Во-вторых, за счет периодического вынужденного перемещения свободного конца консоли возникает переменное давление в жидкости, которое вызывает упругие колебания оболочки. Это приводит к периодическому изменению погонной массы балки, что может способствовать возбуждению параметрических изгибных поперечных колебаний балки как стержня. Применяя к решению этой задачи разложение по собственным формам, сводим ее для временной функции к уравнению Матье-Хилла, решение которого изучено в достаточной мере.




                § 1. Решение гидродинамической задачи




   Пусть консольная цилиндрическая балка полностью заполнена идеальной несжимаемой жидкостью (рис. 1). Движение жидкости предполагается потенциальным с потенциалом скорости Ф(г, x, t). Функция Ф для несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа [1,2]:

АФ = 0

в объеме жидкости т.


  ¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (грант Президента РФ, код НШ-1311.2008.8).