Об одной задаче импульсной встречи


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып. 3

УДК 517.977

© В. И. Ухоботов, О. В. Зайцева




                ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИМПУЛЬСНОЙ ВСТРЕЧИ





Рассматривается игровая задача импульсной встречи в заданный момент времени, в случае когда первый игрок выбирает группу импульсных управлений, на выбор каждого из которых в процессе управления можно потратить свое заданное количество ресурсов. На выбор управления второго игрока накладывается геометрическое ограничение. Найдены достаточные условия возможности окончания игры из заданного начального состояния и построены соответствующие импульсные управления.

Ключевые слова: игровая задача, импульсная встреча, область достижимости, стабильный мост.





                § 1. Постановка задачи





   Рассмотрим игровую задачу импульсной встречи [1, 2, 3]


                               к
                       dz =       Ai(t') duᵢ(t) + v,
                              i=1


z G Rⁿ,  v G V(t) G Rn,    t < p.

Здесь uᵢ G Rn, Ai(t) — непрерьпитые при t < p матрицы соответствующих размерностей. При каждом t < p множество V(t) является компактом, непрерывно по Хаусдорфу зависящее от t. На каждом отрезке [т, t] С (-то,р] допустимыми программными управлениями первого игрока являются функции Ui : [т, t] ^ Rni, каждая из которых имеет ограниченную вариацию

У lldui⁽r⁾ll(i) = suP^ IIMri+J ⁻ ui⁽ri) II (i) .                   (1-1)


Здесь и всюду далее i = 1,... ,k, ||-|(ᵢ) — норма в пространстве Rn, а верхняя грань берется по всем разбиениям t = r₀ < r1 < ... < rj = т. Вариация (1.1) задает количество ресурсов, потраченных на формирование управления Ui [4], а изменение имеющегося запаса ресурсов определяется соотношением pᵢ(t) = рфт) — ft. ||dui(r)|(i). Позиция игры — точка (z,jd), где р = (р1,..., к)), а числа щ ^ 0.
   Определение 1. Стратегией п первого игрока назовем правило, которое каждому моменту т < p и каждой позиции (z,p) ставит в соответствие функции 7ЦП⁾ : [т, p] ^ Rni, вариации которых удовлетворяют неравенствам ff ||du⁽ⁿ⁾(r) || < pᵢ.


   Пусть заданы начальный момент времени to < p и начальна я позиция (z(to), p(to)). Возьмем разбиение ш : t₀ < t1 < ... < tj+1 = pc диаметром d(w) = max₀^ᵢ^ⱼ- (tᵢ+1 — tᵢ). Построим ломаную

' .. .

Ai(r) du/

(r) + / vₛ(r) dr, Jtₛ

ki^⁾⁽t⁾ = ki^Cts) — S ||duiⁿ⁾⁽r⁾||₍ᵢ₎ .

(1-2)

(1-3)

   Здесь tₛ < t < ts+1, s = 0, j, а интегралы, в которых стоят управления первого игрока, понимаются в смысле Римана-Стилтьеса [4]. Функции vₛ(r) G V(r) при tₛ ^ r ^ ts+i — любые измеримые управления второго игрока. Такой выбор управлений vₛ(r) будем называть допустимым поведением второго игрока.