Бифуркация автоволн обобщенного кубического уравнения Шредингера в случае трех независимых переменных


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып. 3

УДК 517.9

© А. Н. Куликов, Д. А. Куликов

БИФУРКАЦИЯ АВТОВОЛН ОБОБЩЕННОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В СЛУЧАЕ ТРЕХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ¹

Для уравнения, название которого приведено в заглавии статьи, рассмотрена периодическая краевая задача. У нее существует счетное число периодических по временной переменной плоских волн. Исследован вопрос об их устойчивости и бифуркациях. Оказалось, что от каждой из них могут бифурци-ровать инвариантные торы размерности 2, 3, 4, в том числе и асимптотически устойчивые. Указаны отличия от аналогичной задачи, когда число пространственных переменных равно 1 или 2. В частности, найдены диапазоны параметров, когда возможна докритическая бифуркация седловых торов, а также выявлены случаи реализации устойчивых режимов с обострением. Последнее проиллюстрировано рисунками. Все результаты получены аналитически и основаны на асимптотических методах нелинейной динамики.

Ключевые слова: аттрактор, устойчивость, бифуркация, краевые задачи.




                Введение




   Кубическим уравнением Шредингера принято называть следующее уравнение:

iuₜ = dAu + cu|u|²,                            (0.1)

где u = u(t, x, y, z) — комплекснозначная функция, A — оператор Лапласа по пространственным переменным x,y,z. Здесь d, c — действительные постоянные, причем d > 0, а знак c произволен. Уравнение (0.1) возникает во многих задачах нелинейной оптики и гидродинамики [1-5], в частности, в теории волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. Так, в монографии [2] отмечается, что это уравнение используется в нелинейной оптике при изучении узких пучков, а также изучении неустойчивости волновых пакетов. Как известно, в результате малых модуляций неустойчивый волновой пакет переходит в режимы более сложной структуры. Эти и иные сложные нелинейные эффекты позволили объяснить один из наиболее эффектных экспериментов нелинейной оптики — генерации второй гармоники.
   В случаях когда необходимо учитывать диссипативные процессы, это уравнение нуждается в обобщении. Простейшим таким обобщением служит уравнение

                              iut = dAu + (c — i)u|u|² + iu,                     (0.2)

которое получается из уравнения (0.1) при добавлении слагаемого iu, отвечающего за «подкачку» энергии, и слагаемого —iu|u|², характеризующего его диссипацию.
   Уравнение (0.2) удобно переписать в следующем виде:

                              ut = u — (1 + ic)u|u|² — idAu.                     (0.3)

Его можно интерпретировать как частный случай известного уравнения Гинзбурга-Ландау (Курамото-Цузуки)
ut = u — (1 + ic)u|u|² + (di + id)Au,

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00473).