Метод решения нелинейных стационаргых анизотропных задач фильтрации


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА




                МАТЕМАТИКА





2008. Вып. 3

УДК 517.958:532.546

© И. Б. Бадриев, И. Н. Исмагилов, Л. Н. Исмагилов

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ

        АНИЗОТРОПНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ¹

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

Ключевые слова: теория фильтрации, математическое моделирование, вариационные неравенства, обратно сильно монотонный оператор, итерационный метод.


        Введение

   Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов, каждый из которых является суперпозицией выпуклого липшиц-непрерывного функционала и линейного непрерывного оператора. Для решения подобных вариационных неравенств второго рода в работах [1-3] предложены итерационные методы расщепления. Основную трудность при этом представляет решение возникающих на каждой итерации задач минимизации. Для изотропного случая эту задачу удалось решить в явном виде (см. [5]) благодаря тому, что можно эффективно вычислить субдифференциал функционала, сопряженного к минимизируемому. В случае же анизотропного закона фильтрации, когда минимизируемый функционал является суммой нескольких функционалов, вычислить сопряженный функционал не удается. В настоящей работе предложен алгоритм расщепления, позволяющий обойти указанную трудность. Каждый шаг метода сводится фактически к решению краевой задачи с линейным сильно эллиптическим оператором.

        § 1. Постановка задачи

Пусть Q — ограниченная область в Rm, m ^ 1, с непрерывной по Липшицу границей Г = Г1 IJГ₂, Г1 Г|Г₂ = 0, mesr₂ > 0. Рассматривается краевая задача


divv(x) = f (x), x G Q,                              (1.1)



(v(x), n) = 0, x G Г1, u(x) = 0, x G Г₂,

(1-2)

           ₁ m m
vⁱ⁽x⁾ G-m S Saki9i (D²⁽u⁽x⁾⁾)

du(x) dxk ’

l = 1,2,..., m,

(1-3)

    Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 08-01-00676, 09-01-00814).