Элементы квантовой механики

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ 
 
 
 
 
 
 
 
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Новосибирск 2011 

УКД 53:(07) 
ББК 22.314, я7 
Э 456 
 
Кафедра теоретической и прикладной физики 
 
Составители: канд. техн. наук, доц. В.Я. Чечуев; канд. 
техн. наук, доц. С.В. Викулов; канд. с-х. наук, доц. 
Л.А. Митина 
 
Рецензенты: д-р. физ.-мат. наук, проф. М.П. Синюков 
(НГАВТ); канд. физ.-мат. наук В.И. Сигимов (НГАВТ) 
 
Элементы квантовой механики: учеб. пособие / 
Новосиб. гос. аграр. ун-т; сост.: В.Я. Чечуев, С.В. Викулов, 
Л.А. Митина. – Новосибирск: Изд-во НГАУ, 2011. – 59 с. 
 
Данное пособие содержит материал, изучаемый, 
согласно программе, в курсе общей физики. Иначе, чем в 
известной литературе, изложены гипотеза де Бройля и 
принцип неопределенности Гейзенберга. В остальных 
разделах изучаемый материал рассмотрен с достаточными 
подробностями. 
Предназначено для студентов дневной и заочной 
формы 
обучения 
всех 
направлений 
подготовки 
Новосибирского государственного аграрного университета. 
Утверждено и рекомендовано к изданию методическим 
советом Инженерного института (протокол №12 от 30 ноября 
2010 г.). 
 
 
 
 
© Новосибирский государственный  
аграрный университет, 2011 

ВВЕДЕНИЕ 
 
При переходе от невысоких скоростей к субсветовым 
классическая механика перестает давать правильные 
результаты, и для их получения надо пользоваться 
релятивистской механикой Эйнштейна. В ядерной физике, 
как правило, приходится иметь дело именно с очень 
высокими скоростями. 
Но 
ядерная 
физика 
обладает 
и 
ещё 
одной 
особенностью: она имеет дело с микрообъектами, размеры 
которых можно считать равными 
14
15
10
10



 м, а массу  

25
30
10
10



 кг. А для столь малых частиц неприменим 
общепринятый способ описания их движения, которым мы 
пользуемся в обычной механике. 
Напомним, что движение тела в классической 
механике 
описывается 
заданием 
его 
траектории. 
Материальная точка может двигаться, например, по 
прямолинейной траектории, по окружности, по спирали, по 
параболе и т.п. С помощью уравнений движения 
классической механики, основанных на законах Ньютона, 
можно рассчитать положение материальной точки на 
траектории, т.е. найти ее координаты в любой момент 
времени, можно найти  её скорость в этой точке и 
ускорение. 
Используя этот подход, люди уже давно научились 
предсказывать солнечные и лунные затмения, движение 
планет и комет. Сейчас с огромной степенью точности 
рассчитываются 
траектории 
баллистических 
ракет, 
спутников, 
космических 
кораблей 
и 
межпланетных 
станций. 
И 
сложность 
этих 
расчетов 
носит 
вычислительный, а не принципиальный характер.  
Некоторое 
добавочное 
усложнение 
расчетов 
возникает при движении частиц или тел с субсветовыми 
скоростями. Но и в этом случае усложнение не носит 

принципиального 
характера, 
так 
как 
основное 
представление о том, что движение частицы происходит по 
определенной траектории, сохраняется и в релятивистской 
механике. 
Принципиальные трудности возникают при попытке 
перенести методы обычной механики (классической или 
релятивистской) на мир микрочастиц. А именно таким 
способом действовали вначале физики в своих попытках 
объяснить строение и свойства атома. 
 
1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ БОРА 
 
Атомное ядро было открыто Резерфордом в 1911 г. в 
опытах по изучению рассеяния частиц на тонких фольгах. 
Чтобы объяснить отклонение небольшой доли частиц на 
большие углы (до 180°С), Резерфорд предположил, что в 
центре каждого атома расположено  тяжелое (до 99,98% 
массы всего атома) положительно заряженное ядро очень 
малых 
размеров 
(
14
15
10
10



м). 
Вокруг 
ядра 
на 
относительно больших расстояниях (порядка 
10
10 м) 
вращаются z электронов (z  порядковый номер элемента в 
периодической таблице Менделеева). Эта модель была 
названа ядерной, или планетарной, так как в соответствии с 
ней строение атома напоминает миниатюрную Солнечную 
систему, в которой роль Солнца играет ядро, роль планет – 
электроны, 
а 
роль 
гравитационного 
притяжения 
– 
кулоновское 
взаимодействие 
между 
разноименно 
заряженным ядром и электронами. 
Однако 
с 
этой 
моделью 
возникли 
серьезные 
затруднения, так как она не удовлетворяла условию 
устойчивости.  
Дело 
в 
том, 
что, 
согласно 
классической  
электродинамике, заряженная частица, движущаяся с 
ускорением, обязательно должна тратить свою энергию на 

излучение. Электрон, вращающийся вокруг атомного ядра, 
имеет центростремительное ускорение, а значит, из-за 
излучения его энергия должна постепенно уменьшаться. 
Уменьшение энергии будет приводить к снижению 
скорости вращения, т.е. центробежной силы, которая 
перестанет 
уравновешивать 
силу 
кулоновского 
притяжения. В результате электрон начнет по спирали 
приближаться  к ядру и в конце концов упадет на него. 
Выходит, если поверить планетарной модели, то атом надо 
сравнивать не с  Солнцем и планетами, а, скорее, с Землей, 
вокруг 
которой 
в 
пределах 
атмосферы 
вращаются 
искусственные спутники. Из-за сопротивления воздуха 
спутники 
постепенно 
снижают 
свою 
скорость 
и 
приближаются к Земле по спирали. Таким образом, по 
планетарной модели получается, что все атомы должны 
быть неустойчивы. А это противоречит эксперименту. 
Другое, не менее важное, возражение против 
планетарной модели заключается в том, что она допускает 
испускание атомами светового излучения любой длины 
волны, в то время как из опыта следует, что конкретные 
атомы испускают излучение только строго определенных 
длин волн. 
Выход из затруднений был предложен в 1913 г. 
Бором, 
правда, 
ценой 
введения 
предположений, 
противоречащих 
классическим 
представлениям. 
Допущения, 
сделанные 
Бором, 
содержатся 
в 
двух 
высказанных им постулатах: 
1. 
В 
атоме 
существуют 
стационарные 
(не 
изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не 
излучает энергии. Двигаясь по стационарным орбитам, 
электрон должен иметь дискретные квантованные значения 
момента импульса, удовлетворяющие условию 
                 

n
r
v
т
n
е



...
3
,2
,1

n
,                      (1.1) 

где 
е
т   масса электрона; v   его скорость на n-й орбите 

радиуса nr ; 

2
h


   постоянная Планка. 

2. При переходе электрона с одной стационарной 
орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с 
энергией 
                       
m
n
E
E
h



,                                     (1.2) 
равной разности энергий соответствующих стационарных 
состояний. При 
n
т
E
Е 
 происходит излучение фотона, 

при 
n
m
E
E

  его поглощение. Набор возможных 

дискретных частот 

h
E
E
ню
m
n 


  квантовых переходов 

и определяет линейчатый спектр атома. 
На основании расчетов, сделанных по теории Бора, 
были предсказаны и обнаружены экспериментально новые 
спектральные серии атома водорода. В дальнейшем теория 
Бора была усовершенствована другими физиками. 
Круговые орбиты были заменены эллиптическими, 
движение электронов по ним стали рассчитывать не по 
классической, а по релятивистской механике и др.  
Все это позволило еще лучше понять наблюдаемые 
закономерности в оптических спектрах, в частности, 
объяснить поведение излучающего атома в магнитном 
поле, природу тонкого, а впоследствии и сверхтонкого 
расщепления спектральных линий. 
Однако вместе с успехами теории накапливались и 
возражения против нее. Дело в том, что для каждого 
усовершенствования теории в нее приходилось вводить всё 
новые и новые квантовые числа. Вслед за главным 
квантовым числом п в теорию были введены орбитальное 
квантовое число  , а затем магнитное т и спиновое s 
квантовые числа. 

Правда, каждое из них вводилось вполне логично – 
как мера квантования момента импульса или его проекции. 
Но каждый раз эти квантовые числа и диапазон возможных 
значений для них приходилось постулировать. 
Сначала были постулированы возможные значения 
квантовых 
чисел, 
затем 
их 
пришлось 
oграничить 
специальными запретами (правила отбора). Потом для 
объяснения периодической системы элементов Менделеева 
пришлось 
постулировать 
принцип 
Паули, 
который 
запрещает двум электронам находиться в одном и том же 
состоянии (иметь одинаковыми все четыре квантовых 
числа). 
Но, несмотря на это, теория оказалась неприменимой 
уже к следующему атому – атому He. Эта неудача теории 
объясняется тем, что в ней движение электронов в атоме 
происходит по определенным траекториям подобно тому, 
как это имеет место в обычной механике. А между тем 
опыт 
доказывает, 
что 
для 
микрочастицы 
понятие 
траектории теряет смысл. 
 
2. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ 
 
Бессмысленность 
понятия 
траектории 
проще 
всего 
почувствовать на некоторой классической аналогии. 
Представьте себе, что вы находитесь на производственной 
практике по ремонту дома и занимаетесь очисткой стен с 
помощью пескоструйного аппарата. Песчинки, вылетающие из этого аппарата по прямолинейным траекториям, с 
силой ударяются о стену и очищают её от грязи. Что будет, 
если между аппаратом и стеной поставить лист железа с 
прорезью? Ну, конечно, стена будет очищаться только 
напротив прорези. А если две прорези? Тогда на стене 
будут две светлые полосы независимо от того, откроете ли 

вы обе прорези одновременно или сначала одну, а потом 
другую (рис. 2.1 а, б).  
 

а) 
  б) 
  
 
 

в) 
 г) 
 
    ЭП                                              ЭП 
 
Рис. 2.1 
 
А теперь со стройплощадки перейдем в физическую 
лабораторию и поставим следующий опыт. Заменим 
пескоструйный аппарат электронной пушкой (ЭП), которая 
«выстреливает» электроны с одной и той же скоростью в 
одном и том же направлении; железный лист с прорезью 
заменим небольшим листочком фольги (Ф) с двумя узкими 
«щелями» (почему мы взяли слово «щель» в кавычки, 
поясним позже), а кирпичную стену – фотопластинкой 
(ФП). Закроем одну «щель» (например, левую) и включим 
на некоторое время электронную пушку, а затем проявим 

фотопластинку. Опираясь на свой опыт на стройплощадке 
и на здравый смысл, вы вправе ожидать, что на 
фотопластинке 
в 
миниатюре 
получится 
рисунок, 
аналогичный картине на кирпичной стене при одной 
прорези 
в 
железном 
листе. 
На 
самом 
деле 
на 
фотопластинке получится картина, изображенная на рис. 
2.1 в. Вы видите, что по форме она резко отличается от 
картины на стене. Электроны попадают на фотопластинку 
не только в место, расположенное против открытой правой 
«щели», но и на некотором от нее расстоянии по бокам. 
Создается такое впечатление, что часть электронов при 
прохождении через щель отклоняется от прямолинейной 
траектории на строго определенные углы. 
В связи с этим возникают два вопроса. Первый – 
почему 
электроны 
отклоняются 
от 
прямолинейного 
направления 
и 
второй 
– 
почему 
одни 
электроны 
отклоняются, а другие – нет? Ведь все электроны 
одинаковы и испускаются из пушки с одной и той же 
скоростью и в одном и том же направлении. Начнём со 
второго вопроса. Ответ на него выглядит довольно 
неожиданно. Оказывается, все электроны ведут себя 
одинаково, но одинаково странно. Любой из них может как 
отклониться, так и пролететь прямо. 
В том, что дело обстоит именно так, можно убедиться 
опять на опыте. Для этого надо снизить частоту выстрелов 
из нашей пушки настолько, чтобы электроны вылетали из 
нее поодиночке (как снаряды из настоящей пушки). И вот 
если в таких условиях снова облучать фотопластинку 
столько времени, чтобы общее число попавших в нее 
электронов было такое же, как и в первом случае, то 
картина полностью повторится. Другими словами, ни один 
электрон, вылетающий из электронной пушки, не имеет 
определенной траектории. Каждый из них может попасть в 
любую точку затемненной области фотопленки. В этом 

видна некоторая неопределенность движения электрона с 
точки зрения классических представлений. Но в то же 
время все электроны попадают только в затемнённую 
область, 
ни 
один 
электрон 
не 
может 
попасть 
в 
незатемненную область пластинки, и в этом видна какая-то 
закономерность их движения. 
Движение отдельного электрона происходит так, что 
его возможные координаты на пластинке можно указать не 
однозначно, 
а 
только 
с 
некоторой 
вероятностью. 
Вероятность попадания электрона в одни места (наиболее 
затемнённые) велика, в другие (посветлее) – мала, для 
третьих (светлых) она вообще равна нулю. Но сколько бы 
раз мы не ставили опыт, результаты (при одинаковых 
условиях) будут получаться одни и те же. Сравнительная 
интенсивность потемнения пластинки в разных местах, 
расстояния между темными и светлыми местами, градации 
потемнения – все это будет повторяться. Таким образом, 
несмотря на отсутствие траектории, движение электрона 
происходит по определенному закону. Он проявляется в 
неизменности результата при повторении опыта. 
Продолжим наш опыт. Закроем правую «щель», 
откроем левую и повторим опыт. Что случится теперь? 
Здравый смысл подсказывает: то же, что и раньше, но 
центр картины будет находиться против левой «щели». На 
этот раз мы отгадали. 
Ну, а что будет, если открыть обе «щели»? Оказывается, в этом случае опять ничего предсказать не удается. 
Картина на фотопластинке для этого случая (рис. 2.1 г) 
совсем не похожа на классическую картину (две прорези в 
железном листе), изображенную на рис. 2.1 б. Более того, 
она не похожа и на сумму картин левой и правой «щелей». 
Вторая «щель» не добавляет новых деталей к картине от 
первой «щели», а радикально изменяет всю картину в 
целом. И эту новую картину можно опять получить, если