Цифровые методы обработки информации

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
И.В. БОРИСОВА 
 
 
 
 
 
 
ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ 
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ 

Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2014 

УДК 004.932(075.8) 
         Б 825 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, доцент В.Н. Легкий, 
канд. техн. наук, доцент В.П. Ющенко 

 
Борисова И.В. 
Б 825              Цифровые методы обработки информации : учеб. пособие / 
И.В. Борисова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. – 139 с. 

ISBN 978-5-7782-2448-3 

Работа подготовлена на кафедре автономных информационных 
и управляющих систем факультета летательных аппаратов 

Представлены базовые сведения по цифровой обработке сигналов и изображений: математическое описание непрерывных сигналов, дискретизация, 
квантование, двумерные унитарные преобразования, способы улучшения, реконструкции и анализа изображения, выделение признаков изображения, 
слияние многоканальной информации и автосопровождение целей. Рассмотрены классические и современные методы и алгоритмы цифровой обработки 
изображений, позволяющие решать задачи распознавания объектов в высокоточных комплексах и информационных системах специального назначения. 
Дается представление об алгоритмах функционирования оптоэлектронных 
систем обработки информации, которые иллюстрируются на тестовых и реальных изображениях. 
Учебное пособие предназначено для аспирантов соответствующих специальностей, а также для студентов старших курсов и магистрантов, обучающихся: по направлению 270000 (220400) «Управление в технических системах» (специализации «Автономные информационные и управляющие системы», «Системы автоматического управления летательными аппаратами»), по 
специальности 170501 (170100) «Боеприпасы и взрыватели» (специализация 
«Автономные системы управления действием средств поражения»), а также 
по направлениям и специальностям в области обработки информации. 

Для обложки использована фотография с сайта InfoHome.com.ua. 
 
 
УДК 004.932(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-2448-3                                             © Борисова И.В., 2014  
© Hовосибиpский государственный 
технический университет, 2014    

ВВЕДЕНИЕ 

В настоящее время наблюдается настоящий бум на системы обработки изображений. Особенным спросом пользуются недорогие системы наблюдения и охраны, во многом благодаря доступности видеокамер как источников изображения. Но также активно развиваются и 
более мощные системы военного и двойного назначения. При этом 
помимо значительного повышения уровня технического развития, существенную роль играют методы цифровой обработки видеоинформации. Они обеспечивают улучшение изображений для визуального восприятия, сжатие видеоданных для хранения и передачи по каналам 
связи, анализ и интерпретацию изображений, распознавание образов 
для принятия решения и управления автономными техническими системами. 
В основу данного учебного пособия положен курс лекций, читаемых 
автором студентам старших курсов, обучающимся по специальности 
220400 «Управление в технических системах». В пособии представлены 
базовые сведения по цифровой обработке сигналов и изображений. Рассмотрены классические и современные методы и алгоритмы цифровой 
обработки. Дается представление об алгоритмах функционирования 
оптоэлектронных систем обработки информации, о представлении в них 
сигналов и изображений. Рассматриваемые алгоритмы иллюстрируются 
на тестовых и реальных изображениях. 
В конце каждой главы приведены вопросы, позволяющие студенту 
осуществлять самоконтроль усвоения материала. 
В тексте пособия отсутствуют библиографические ссылки, за исключением ссылок на конкретные статьи, содержащие описываемые 
алгоритмы. Основные источники, использованные при написании пособия, содержатся в списке литературы, который разбит на две части – 
список учебной литературы и список статей и книг по рассматриваемой тематике.  
Учебное пособие может быть полезно для студентов и магистрантов, изучающих цифровые методы обработки изображений. 
 
 

1. ИЗОБРАЖЕНИЯ И ИХ КОМПЬЮТЕРНОЕ 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 

 
Формальное определение понятия изображение – функция распределения энергии источника светового излучения по пространственным 
координатам, времени и длинам волн. Монохромное (черно-белое) 
изображение, содержащее оттенки серого, представим простой вещественной функцией f(x, y) двух пространственных переменных. Значение этой функции в точке называется уровнем серого или яркостью 
изображения в этой точке, оно предполагается ненулевым и ограниченным, т. е. 0
( , )
,
f x y
M
x y



. Размеры изображения ограничены 
формирующей системой и средой, на которую оно записывается. Когда в рассмотрение включается цвет, функция изображения рассматривается как вектор, однако в данном пособии мы будем рассматривать 
только монохромные изображения.  
В большинстве случаев цифровое изображение получают из естественного непрерывного изображения. Для этого необходимо выполнить операцию дискретизации, т. е. выделения из изображения дискретного множества вещественных чисел – отсчетов, и операцию 
квантования для замены непрерывного множества значений яркости 
дискретным множеством. В большинстве практических ситуаций отсчеты есть значения изображения на дискретном множестве точек 
(обычно регулярно расположенных), или это средние значения по небольшим окрестностям таких точек. Для целей компьютерной обработки такое множество отсчетов может быть представлено как прямоугольный массив вещественных чисел. Отсчеты обычно квантуются на 
множество равноудаленных значений яркости. Если единица измерения выбрана подходящей, эти значения можно сделать целыми, и цифровое изображение будет представлять собой целый массив. В частности, если есть только два уровня яркости – черный и белый, то это булевский массив или бинарное изображение. Элементы цифрового 
изображения называются пикселями или просто точками (от англ. Pixel – 
точка).  
Говоря об изображениях, обычно предполагают двумерный информационный массив, содержащий визуально воспринимаемую 

информацию. Однако многие из рассматриваемых методов могут быть 
распространены на изменяющиеся во времени сигналы и поля общего 
вида, одномерные, двумерные или многомерные.  
Прежде чем переходить к изучению цифровой обработки дискретных сигналов и изображений, рассмотрим представление и математическое описание непрерывных изображений. 

1.1. ТОЧЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ 

Пусть  будет операцией, которая переводит изображение в изображение. Операция  называется линейной, если для нее справедлив 
принцип суперпозиции: 

[
]
[ ]
[ ]
af
bg
a
f
b
g


 
 
,   
 
 
 
 (1.1) 

для любых изображений f, g и констант a, b. 
В анализе линейных операций на изображениях очень удобно понятие точечного источника. Если некоторое произвольное изображение f может быть представлено суммой точечных источников, то знание выхода операции для точечного источника может быть использовано для определения выхода для всего изображения f. Выход  для 
точечного источника на входе называется функцией рассеяния точки 
или импульсным откликом системы. 
Точечный источник может считаться пределом последовательности 
изображений, чьи ненулевые значения становятся все более и более 
пространственно концентрированными. Заметим, что, для того чтобы 
суммарная яркость была одинаковой для каждого из этих изображений, их ненулевые значения должны становиться все больше и больше. 
Рассмотрим пример такой последовательности. Пусть дана функция, 
изображенная на рис. 1.1. 

1, для
1/ 2,
1/ 2,
rect( , )
0, в других точках

x
y
x y




 
 

и пусть 
2
( , )
rect(
,
),
1, 2, ...
n x y
n
nx ny
n



 
Таким образом, n – нулевая снаружи квадрата 1/n  1/n и имеет постоянное значение n2
 внутри этого квадрата. Из этого следует, что 

( , )
1,
n x y dxdy
n








 
. 

y

x

Яркость
1/2

1/2
–1/2

–1/2

 
Рис. 1.1. Функция rect(x, y) 

Так как n  , последовательность n не имеет предела в обычном 
смысле, но удобно трактовать ее так, как будто этот предел существует. Этот предел, обозначаемый , называется дельта-функция Дирака. 
Ясно, что (x, y) = 0 для всех (x, y), отличных от (0, 0), где эта функция 
бесконечна:  

, для
0,
0,
( , )
0, в других точках.
x
y
x y





 

 
 
 
 
 
 
(1.2) 

Из этого следует, что (–x, –y) = (x, y). Смещая центр квадрата в точку 
(, ), получаем  

, для
,
,
(
,
)
0, в других точках.
x
y
x
y

 
 


 
  

 
 
 
 
(1.3) 

Можно получить ряд важных свойств дельта-функции как пре
дельные случаи свойств функции n: 
( , )
1
x y dxdy






 
, более того,  

( , )
1
x y dxdy







 
,   
 
 
 
 
 
(1.4) 

где  – бесконечно мала. 
Среднее значение функции g(x, y) на квадрате 1/n  1/n с центром в 
начале координат в пределе сохраняет просто свое значение в начале 
координат: 

( , ) ( , )
(0,0)
g x y
x y dxdy
g






 
.  
 
 
 
(1.5) 

Если мы сдвигаем  на значения (, ), т. е. используем (x – , 
y – ) вместо (x, y), то аналогично получаем значение g в точке (, ): 

( , ) (
,
)
( , )
g x y
x
y
dxdy
g






 


 
 
.  
 
 
(1.6) 

Это верно для любой области интегрирования, содержащей точку 
(, ). Уравнение (1.6) называется свойством сдвига дельта-функции. 
Двумерная дельта-функция может быть представлена как произведение двух одномерных дельта-функций ортогональных координат: 

( , )
( )
( )
x y
x
y

 

.  
 
 
 
 
 
(1.7) 

Дельта-функция может быть представлена интегралом Фурье: 

exp[
2 (
)]
( , ),
1
i
ux
vy dudv
x y
i








 


 
. 
 
 (1.8) 

1.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ 
К СДВИГУ. СВЕРТКА 

Теперь рассмотрим произвольное входное изображение f(x, y). 
Пользуясь свойством сдвига (1.6) и симметричности дельта-функции, 
это изображение можно представить как линейную сумму точечных 
источников. Можно записать f(x, y) как 

( , )
( , ) (
,
)
f x y
f
x
y
d d






  
 

 
 
.  
 
 
(1.9) 

Другими словами, f(x, y) есть линейная сумма точечных источников, 
размещенных в точке (, ) на плоскости XY. В этой сумме точечный источник в отдельном значении точки (, ) имеет интенсивность f(, ). 
Линейная система является инвариантной к сдвигу (или пространственно инвариантной), если ее импульсный отклик зависит только от 
разностей координат x – , y – , т. е. выход операции просто сдвигается на значения ,  в направлениях x, y соответственно. 

На выходе линейной системы получаем функцию 

( , )
[ ( , )]
( , ) (
,
)
g x y
f x y
f
x
y
d d







 
 
  
 

 





 
. 

Изменим порядок выполнения операций линейного преобразования 
и интегрирования и учтем, что линейный оператор действует только на 
множитель, зависящий от пространственных переменных x, y. Тогда 

( , )
( , ) [ (
,
)]
g x y
f
x
y
d d






   
 

 
 
. 

Обозначим импульсный отклик системы через h: 
( , ;
, )
h x y     
[ (
,
)]
x
y
  
 
 . Для пространственно-инвариантной системы справедливо ( , ;
, )
(
,
)
h x y
h x
y
  
 
 .  

( , )
( , ) (
,
)
g x y
f
h x
y
d d






 
 

 
 
. 
 
 
(1.10) 

Правая часть уравнения (1.10) называется сверткой f и h и часто 
обозначается f
h

. Подынтегральное выражение – это произведение 
двух функций f(, ) и h(, ), где последнее повернуто на 180° и 
сдвинуто на x и y. 

x

y

 
               
( , )
f                     ( , )
h          (
,
)
h x
y
 
  
( , ) (
,
)
f
h x
y
 
 
  

Рис. 1.2. Иллюстрация операции свертки 

Интеграл свертки симметричен, т. е. 

( , )
(
,
) ( , )
g x y
f x
y
h
d d





 

 
 
 
, f
h
h
f



. 
(1.11) 

Процесс свертки иллюстрируется на рис. 1.2. В затемненной области подынтегральное выражение не равно 0. 
Функция на выходе g(x, y) может быть найдена сканированием 
входной функции скользящим окном – обращенным импульсным откликом и интегрированием по области, в которой эти функции перекрываются. 

1.3. ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 
И ЕГО СВОЙСТВА 

Пусть f(x, y) – функция двух независимых пространственных переменных x и y. В результате прямого двумерного преобразования Фурье 
этой функции получается спектр F(u, v), который определяется следующим уравнением: 

( , )
( , )exp[
2 (
)]
F u v
f x y
i
ux
vy dxdy








 
. 
 
(1.12) 

В общем случае спектр – комплексная функция от переменных u и 
v, представляющих собой пространственные частоты. Его можно разложить на действительную R(u,v) и мнимую I(u,v) части: 

( , )
( , )
( , )
F u v
R u v
iI u v


, 

или представить с помощью амплитуды A(u, v) и фазы (u, v): 

( , )
2
2
( , )
( , )
,
( , )
( , )
( , ),
i
u v
F u v
A u v e
A u v
R u v
I
u v




 

( , )
( , )
arctg
( , )
I u v
u v
R u v


. 

Для примера, пусть 
( , )
rect( , )
f x y
x y

. Спектр этой функции есть 

функция sinc(u, v): 
sin
sin
( , )
u
v
F u v
u
v







 (см. рис. 1.3). 

Преобразование Фурье от функции может и не существовать, если эта 
функция не удовлетворяет определенным условиям. Следующие условия 
есть обычный набор достаточных условий для его существования: 
1) функция должна быть абсолютно интегрируема: 

( , )
f x y dxdy




 
 
; 

Рис. 1.3. Одномерная и двумерная функция sinc 

2) функция может иметь только конечное число точек разрыва и 
конечное число максимумов и минимумов на любом конечном прямоугольнике; 
3) функция не должна иметь бесконечных скачков. 
Некоторые удобные математические функции, например дельтафункция Дирака, не удовлетворяют предыдущим условиям. Иногда 
возможно представить эти функции как пределы последовательности 
«хорошо себя ведущих» функций, которые удовлетворяют этим условиям. Преобразования Фурье членов этой последовательности также 
будут формировать последовательность. Если эта последовательность 
преобразований Фурье имеет предел, то этот предел называется обобщенное преобразование Фурье исходной функции. Обобщенные преобразования могут быть приведены к такому же виду как обычные, и 
различия между ними игнорируются. 
Преобразование Фурье от дельта-функции есть предел последовательности Фурье преобразований sinc(u/n, v/n): 

( , )
lim sinc( / ,
/ )
1
n
F u v
u n v n


 . 

Исходная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье: 

( , )
( , )exp[ 2 (
)]
f x y
F u v
i
ux
vy dudv







 
.   
 
(1.13) 

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это 
преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится 
преобразование по координате х, затем по координате y (или наоборот):