Кусочно-линейная аппроксимация при синтезе нелинейных регуляторов посредством иммерсии


Section 2 ■ Секция 2 ■ Секция 2

 Борисевич А.В.
  Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Санкт-Петербург, Россия
  Кусочно-линейная аппроксимация при синтезе нелинейных регуляторов посредством иммерсии
    Синтез управления для нелинейных динамических систем - особенно трудная область теории управления, в которой существуют множество отдельных результатов, но недостаточно общих конструктивных методов. Теория иммерсии динамических систем [1] претендует на общий подход к управлению на основе решения системы дифференциальноалгебраических уравнений и стабилизации динамики нелинейной системы специального вида. В этой работе предложено решение частой задачи регулирования в рамках этой теории - установка полностью наблюдаемой динамической системы в заданное состояние. Преимуществом метода является его полная алгоритмизируемость, а также применимость к широкому классу систем, таких как системы с непостоянной относительной степенью, неминимально-фазовые системы.
    Установка состояния системы х — f(x,u), х G X С Rⁿ, и Е U С IR? в заданное значение г Е W С Rⁿ сводятся, согласно теории иммерсии нелинейных систем, к решению нелинейного алгебраического уравнения f(w,7vᵤ) — 0 относительно 7ги для всех г Е W, т. е. нахождению отображения и — 7rᵤ(w). Второй шаг синтеза управления - это стабилизация системы следующего вида: х — /(ж,7ги(г) + /с(ж,г)(г — w)) в точке х — г посредством статической обратной связи к(х, г) для всех г Е W и х Е X.
    Предлагаемое конструктивное решение задачи синтеза управления основано на афин-ной кусочно-линейной аппроксимации исходной нелинейной системы х — f(x,u) множеством систем х — AiX + BiU + С, каждая из которых определена внутри выпуклого симплекса пространства Д^ С X х U. Декомпозиция X х U на симплексный комплекс основана на триангуляции Делоне вместе с дополнительным условием трансверсальности векторного поля f на границах симплексов «ЭД^: для всех Д^ необходимо добиться, чтобы f(x,u) 7^ 0 для всех (х,и) Е Алгоритм состоит из двух этапов: триангуляция на полигоны Д^ и объединение смежных по границе, вдоль которой условие трансверсальности не выполняется. Внутри каждого симплекса Д^ решение линейного регуляторного уравнения дает лДш) —    + Mi. Глобальная стабилизация систе  мы осуществляется с помощью гибридного автомата, состояния которого соответствуют областям пространства состояний Д j, а переходы - возможным потокам векторного поля /, параметризованным управляющим воздействием и. Управление внутри симплекса параметризовано афинным уравнением и — Ki(q — ж) + тщ, где Ki выбирается методом размещения полюсов, а д(Д^) Е d/\.i - точка выхода из Д^ для перехода в сосденее Д^-. Стратегия переключений в гибридном автомате вычисляется как поиск кратчайшего маршрута между двумя заданными симплексами.
    Работоспособность предложенного метода была проверена на таких механических системах с пассивными связями как перевернутый маятник и маятник Фуруты. Дальнейшие исследования сосредоточены на решении общей проблемы следящего управления на основе описанного подхода.
 Литература
  1. A. Astolfi, D. Kargiannis, R. Ortega, Nonlinear and adaptive control with applications, Berlin: Springer, 2008.








International conference on System Analysis and Information Technologies SAIT 2011 Institute for Applied System Analysis of National Technical University of Ukraine “KPI”, Kyiv, Ukraine, May 23—28, 2011 ISBN 978-966-2153-57-6, revision 0.9.2 (2011.05.12), available at http://sait.kpi.ua/books/sait2011.ebook.pdf