Колебания и волны в природе и технике. Компьютеризированный курс

УДК 621.39 
ББК 32.88 
 К12 

Р е ц е н з е н т ы : академик Российской Академии наук, профессор, директор 
института «Радиотехники и электроники» Российской Академии наук  
Ю. В. Гуляев; академик Российской Академии наук, профессор, заведующий кафедрой  Московского физико-технического института (МФТИ) 
А. С. Бугаев; доктор физ.-мат. наук, профессор, главный научный сотрудник  института «Радиотехники и электроники» Российской Академии наук  
Е. И. Нефёдов 

Каганов В. И. 
К12         Колебания и волны  в природе и технике. Компьютеризированный 
курс: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: 
Горячая линия – Телеком, 2015. – 333.: ил. 

ISBN 978-5-9912-0534-4. 

Изложены основы теории колебаний и волн различной физической 
природы в механических, электронных, биологических, химических системах и планетарного вида. Анализируются линейные, нелинейные, параметрические, случайные и хаотические колебания в разнообразных объектах. Исследуется прохождение электромагнитных волн в структурах 
распределенного типа и их распространение в свободном пространстве. 
Анализируются поверхностные, внутренние, уединенные, акустические и 
ударные волны в сплошных средах – жидкостях и газах. Рассматриваются 
волны природного характера, связанные с землетрясениями, цунами и циклонами. Приведено 76 программ на основе универсального математического пакета программ «MathCAD» по большинству разделов дисциплины, позволяющие с помощью компьютера анализировать и рассчитывать 
колебательные и волновые процессы в различных системах и средах, в том 
числе с использованием вейвлет-анализа. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям  направления «Радиотехника», и аспирантов. 

ББК 32.88 

Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Каганов Вильям Ильич 

Колебания и волны в природе и технике
Компьютеризированный курс  

Учебное пособие

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и 
какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru

©  В. И. Каганов 

ПРЕДИСЛОВИЕ

По дисциплине «Колебания и волны» издано большое число монографий, учебников и разного рода пособий, глубоких по содержанию и строгих в математическом плане, значительная часть которых
приведена в списке литературы. И все же автор решился внести свой
дополнительный вклад в эту научную дисциплину. Этот вклад состоит в том, что настоящее учебное пособие имеет три принципиальных отличия от ранее изданных и используемых в учебном процессе.
Первая особенность состоит в анализе разнообразных физических задач, в том числе и повышенной сложности, с помощью компьютерных программ, составление которых вполне посильно студентам, овладевшим навыками программирования в среде MathCAD.
Поэтому изложение материала в настоящем учебном пособии проводится с использованием таких прикладных программ.
Руководствуясь сказанным, в книге при решении сравнительно простых задач используются аналитические методы, а повышенной сложности — численные с применением компьютера. В общей
сложности в книге приведено 76 прикладных программ на языке
MathCAD.
Второе отличие предлагаемой книги состоит в охвате широкого
круга задач и проблем колебательного и волнового характера, встречающихся в природе и технике. Анализируются, например, такие
задачи, как флаттер, приводящий к разрушению самолета; взаимодействие трех тел в поле тяготения; проблема вращения твердых тел,
решенная С.В. Ковалевской; ряд задач по электронике и другие, не
рассматриваемые в изданных книгах.
Третья особенность состоит во введении в учебный курс «Колебания и волны» нового, помимо Фурье-преобразования, более углубленного спектрального метода анализа колебаний с помощью вейвлетов, отсутствующего в существующих учебных пособиях, и использование интеграла Дюамеля при анализе линейных волновых систем.
Автор надеется, что настоящая книга явится учебным пособием
по применению компьютерных технологий при решении разнообразных физических задач по дисциплине «Колебания и волны». Освоив решение таких задач с помощью конкретных примеров и программ, приведенных в настоящей книге, можно будет приступить
к самостоятельному решению новых проблем прикладного характе

Предисловие

ра, с которыми студент сможет встретиться при учебе или в своей
дальнейшей работе.
Считаю своим долгом выразить признательность за помощь и
поддержку член-корреспонденту Российской Академии наук А.П. Реутову и поблагодарить за полезные замечания рецензентов: академиков Российской академии наук Ю.В. Гуляева и А.С. Бугаева, профессора Е.И. Нефедова.

ВВЕДЕНИЕ

Теория колебаний — синтетическая наука. Теория колебаний и волн является синтетической научной дисциплиной, изучающей разнообразные по своему физическому содержанию явления
и процессы в природе и технике: от колебаний простого маятника
до разрушительных волн цунами, от химических реакций до изменения популяций в животном мире, от транзисторного автогенератора до тропического циклона, от процессов в ядерной физике до
явлений социологического характера. Этот список примеров можно бесконечно продолжить. Рассмотрение общих законов, которым
подчиняются колебательные и волновые процессы, протекающие в
материальном мире, составляет предмет изучения дисциплины «Колебания и волны».
Основой единого подхода к столь разным по своей физической
сущности процессам является математическая база, используемая
при исследовании колебаний и волн и включающая обыкновенные
и с частными производными дифференциальные уравнения и спектральный анализ детерминированных и случайных колебаний.
Поскольку теория колебаний и волн изучает явления разного
физического содержания, то она тесно взаимодействует с таким научными дисциплинами, как гидродинамика, оптика, акустика, электродинамика, радиоэлектроника, теория упругости, небесная механика, сейсмология, метеорология. Во всех перечисленных научных
дисциплинах изучение колебательных и волновых процессов занимает одно из ведущих мест, что и обусловливает их неразрывную связь
с общей теорией колебаний и волн.
Содержание книги. Книга состоит из 15 глав, 10 из которых
посвящено колебаниям, а пять — волновым процессам.
Исследуются колебания разного вида: вынужденные, свободные, параметрические, случайные, хаотические.
Анализ данных видов колебаний проводится с их привязкой к конкретным физическим структурам — механическим, электромагнитным, электронным, биологическим, химическим. Такой же подход используется и при анализе
волновых процессов в распределенных структурах различного физического свойства: линейных и нелинейных, с потерями и без их
учета, дисперсионных и бездисперсионных, активных и пассивных.
На основе общих методов исследуются акустические и электромаг

Введение

нитные волны, поверхностные и уединенные, распространяющиеся в
твердой, жидкой и газообразной средах. Последняя глава посвящена
волнам природного характера, приносящим громадные разрушения:
сейсмическим, цунами и связанным с циклонами.
Метод решения рассматриваемых задач. С давних времен
в математике решение различных задач проводилось в русле двух основных направлений: аналитическом и численном. В первом случае
конечным продуктом решения является формула, позволяющая рассматривать явление в целом и охватывающая широкий класс задач
определенного класса. Из общего решения, представленного формулой, путем подстановки в нее чисел вытекает решение обширного
множества частных примеров.
Численный способ, связанный с решением конкретной частной
задачи путем продвижения от точки к точке с некоторым весьма
малым шагом, был более ограничен в своих возможностях до появления компьютера. Чтобы охватить какое-либо явление в целом,
необходимо было рассмотреть большое множество частных примеров и выполнить огромный объем рутинных вычислений. Вместе с
тем численные методы имеют одно неоспоримое преимущество: с их
помощью можно решать обширный класс задач, в первую очередь,
нелинейных, которые не поддаются аналитическим методам.
Приведем в этой связи только один пример. Великий математик
Леонард Эйлер потратил 20 лет жизни, чтобы вычислить орбиту
движения Луны с учетом влияния на нее не только Земли, но и
Солнца (так называемая задача о тяготении трех тел).
Теперь с
применением компьютера такая задача по силам студенту.
Итак, аналитический метод дает общее решение. Но при анализе задач повышенной сложности он во многих случаях не позволяет
найти решение. В лучшем случае с его помощью можно найти приближенное решение, внеся упрощения в исходную модель анализируемого процесса. Численный способ позволяет существенно расширить круг решаемых задач, особенно прикладного характера. Однако он требует огромного объема рутинных вычислений. Важное
значение и применение имеют, конечно, оба метода: и аналитический, и численный, дополняя и обогащая друг друга.
Появление компьютера внесло радикальные изменения в применение численных методов при решении громадного множества задач
в самых разнообразных областях прикладных наук. Компьютер дал
как бы «второе дыхание» численным методам, взяв на себя выполнение огромного объема рутинных вычислений с высокой скоростью
и повышенной точностью.

Введение
7

Компьютер позволяет глубже понять и усвоить физическую
сущность процессов, протекающих в природе, технических системах
и устройствах; исследовать проблемы, недоступные аналитическим
методам; найти оптимальные решения при решении разнообразных
задач повышенной сложности; провести необходимые расчеты быстро и с высокой точностью.
Поэтому в книге при решении сравнительно простых задач используются аналитические методы, а повышенной сложности — численные с применением компьютера с помощью 76 прикладных программ на языке MathCAD.
Краткая история становления и развития научного направления «Колебания и волны». Трудно отдельно анализировать историю развития такой обобщающей науки, как «Колебания и
волны», становление которой происходило в тесном взаимодействии
со многими другими научными дисциплинами. К какой науке, например, следует отнести ударные волны, сопровождающие взрывы
огромной мощности? К теории волн или физике взрыва? А изучение электромагнитных волн — к теории электромагнитного поля или
общей теории волн? Автоколебания генераторов следует изучать в
рамках радиоэлектроники или общей теории колебаний? И такие
вопросы, не получая по ним однозначного ответа, можно задавать
почти по каждой проблеме из курса «Колебания и волны».
Поэтому, не претендуя на полноту изложения, остановимся
только на нескольких значительных вехах из истории становления
теории колебаний и волн, сыгравших важную роль в ее развитии.
Теория колебаний, по всей видимости, может начинать свой отсчет от маятника, а точнее, от предложения о его применении в часах
для улучшения точности их показаний. Первые часы — солнечные —
появились в Китае и Древнем Египте. Затем человечество обзавелось водяными и песочными часами. Механические часы — стенные
с гиревым заводом и ручные с пружинным — были изобретены в
средние века. Общий недостаток первых механических часов — их
низкая точность из-за сильной зависимости скорости хода от температуры воздуха, степени загустения масла в опорах и других причин.
Вместе с тем потребность человечества в существенном улучшении
точности показания часов, в первую очередь, для целей мореплавания, ведения военных действий и астрономии, все более возрастала.
Для поощрения изобретателей в XVII в.
были установлены даже
высокие денежные премии (например, в Англии — 20 000 фунтов
стерлингов) для тех, кто повысит точность механических часов.
И вот за решение данной проблемы после окончания Лейденского университета взялся молодой Христиан Гюйгенс. Сила его талан

Введение

та состояла в том, что в одном лице соединились глубокий теоретик
и искусный изобретатель, что и помогло ему найти оригинальное решение, позволившее существенно повысить точность механических
часов. Сущность идеи Гюйгенса состояла в применении в часах в качестве устройства, обеспечивающего их равномерный ход, маятника.
С этой идеей современный человек вполне свыкся. Но ее рождение
по своему воздействию на дальнейший ход технического прогресса
неоценимо.
После получения в 1657 г. патента на свое изобретение Гюйгенс
раскрыл устройство новых часов с маятником в опубликованной им
брошюре. Однако после этой публикации ученики Галилея заявили,
что великий ученый еще в 1641 г., т.е. за 16 лет до Гюйгенса, пришел
к той же идее об использовании в часах маятника. В 1642 г. Галилей
умер, не реализовав своей идеи, но успев передать чертежи своим последователям и наказ изготовить часы с маятником, который однако
выполнен не был. В историю техники маятниковые часы вошли под
двойным именем: Галилея—Гюйгенса. Правда, не будем при этом
забывать, что идею Галилея его ученики благополучно схоронили, а
вот Гюйгенс сумел воплотить свою в жизнь.
Обратимся к следующей вехе в науке о колебаниях, сыгравшей
большую роль в деле практического использования результатов теории в технике. В 1784 г. английский изобретатель Джеймс Уатт получил патент на универсальный паровой двигатель с центробежным
регулятором с дроссельной заслонкой для поддержания постоянства
числа оборотов вала.
Отметим, что подобный принцип стабилизации с применением
регуляторов используется теперь и во множестве других устройств,
например, электрических двигателях. Только в них регулятор выполнен иначе — с применением электронных устройств. Но общий
принцип работы остается неизменным: всякое отклонение выходного параметра устройства от нормы вызывает такое противодействие,
которое с помощью регулятора возвращает этот параметр к прежнему значению. Однако в одних случаях регулятор Уатта работал
нормально, устойчиво, а в других переходил в колебательное движение, т.е. неустойчиво. Решил проблему улучшения устойчивости
работы центробежного регулятора профессор Петербургского технологического института И.А. Вышнеградский, опубликовавший в
1876 г. сначала в Петербурге, а затем и в Трудах Парижской академии наук статью «О регуляторах прямого действия», послужившей
отправной точкой развития теории автоматического регулирования
и нового направления в общей теории колебаний, связанного с устойчивостью протекающих процессов.

Введение
9

Рассмотрим еще один важный вклад в теорию колебаний. Одним из часто встречающихся видов движения в материальном мире
является вращение твердого тела, сопровождающееся колебательными процессами. Так, невидимая ось Земли при своем вращении
колеблется, описывая круг с периодически изменяющимся радиусом
словно «волчок», вращающийся по твердому полу. В технике, как и
природе, многим видам вращения свойственны определенные виды
колебаний. Исходя из важности теоретического осмысления данной
проблемы, Парижская академия наук в 1888 г. объявила конкурс на
соискание премии за лучшую работу на тему: «О движении твердого тела». По условиям конкурса необходимо было усовершенствовать или существенно дополнить теорию по названной проблеме
в области механики. Лучшей из представленных на конкурс работ,
удостоенной первой премии, оказалась работа Софьи Ковалевской —
математика из России, профессора Стокгольмского университета.
Тема научного труда Ковалевской имела такое название: «О
движении твердого тела вокруг неподвижной точки». Ранее данной
проблемой занимались такие выдающиеся математики, как Эйлер,
Лагранж и Пуассон. Первым глубоко разобрался в этой замысловатой задаче Эйлер, изложив теорию вращения «волчка» для одного из
частных случаев в работе «Теория движения твердых тел» (1765 г.).
Другой частный случай исследовал Лагранж и на этом дело застопорилось. И вот теперь данную проблему в полном объеме решила
женщина-математик Софья Ковалевская.
Обратимся теперь к еще одному виду колебаний и волн — акустическим. Здесь одной из первых научных работ следует назвать
труд английского физика Дж. Рэлея, опубликовавшего в 1877 г. книгу «Теория звука» и заложившему начала новой науки — акустики,
как составной части теории колебаний и волн.
Следует отметить, что теория колебаний, образно выражаясь,
развивалась вширь, охватывая все большее число разнообразных
физический явлений — из механики, оптики, акустики, электродинамики, и вглубь, переходя от линейных моделей изучаемых явлений,
к более совершенным — нелинейным. На этом пути — развитии теории нелинейных колебаний — первостепенную роль сыграли работы
выдающихся математиков А. Пуанкаре, Дж. Биркгофа и А.М. Ляпунова.
В русле данного направления проводил исследования и голландский физик Ван-дер-Поль, обосновавший метод медленно меняющихся амплитуд для исследования нелинейных колебательных процессов и применивший его для анализа лампового автогенератора.

Введение

Еще одной областью исследования общей теории колебаний в начале ХХ в. явились химия и биология. Первым теоретически обосновал возможность колебательного характера протекания определенного класса химических реакций американский математик А. Лотка,
опубликовавший в 1910 г. статью «Теория периодических реакций».
Первым экспериментально 40 лет спустя подтвердил данную идею
наш соотечественник, химик Б.П. Белоусов.
Колебательный характер развития видов как важной черты эволюционного процесса был замечен биологами в животном мире. Но
первым, кто придал математическую форму такому процессу, явился выдающийся итальянский математик В. Вольтерра.
Отправной точкой в теории волновых процессов явились исследования по проблеме колебаний натянутой струны — источнике звука. Современное понимание данной проблемы впервые было сформулировано французским ученым Д′Аламбером, опубликовавшим в
1747 г. работу «Исследование по вопросам о кривой, которую образует натянутая струна, приведенная в колебание», явившейся началом
развития математической физики. В становлении нового научного
направления, вобравшем в себя изучение волновых процессов, помимо Д′Аламбера деятельное участие приняли крупнейшие математики Эйлер, Лагранж и Фурье.
В 1873 г. английский физик Д.К. Максвелл, основываясь на экспериментах М. Фарадея, опубликовал выдающийся научный труд
«Трактат об электричестве и магнетизме», заложившей основы теории электромагнитного поля и обосновавшей возможность распространения в пространстве электромагнитных волн. В 1888 г. Генрих
Герц опубликовал статью «Силы электрических колебаний, рассматриваемые согласно теории Максвелла», придав более ясную и законченную форму уравнениям основателя теории и экспериментально
подтвердившим существование электромагнитных волн. Так было
положено начало новому направлению в общей теории колебаний и
волн, связанному с распространением электромагнитных волн.
Важное открытие, связанное с распространением волн в жидкостях и газах, в 1834 г. сделал английский исследователь Скотт
Рассел, обнаруживший существование уединенной волны, названной
позже солитоном. Книга ученого «Волна переноса» была опубликована в 1885 г., спустя три года после смерти ее автора, а теоретическое объяснение открытия Рассела состоялось только спустя 60 лет.
Авторами теории, объяснившей условия возникновения и существования уединенной волны, явились голландские ученые Кортевега и
де Фрис. Составленное и решенное ими нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, доказывающее возмож