О некоторых приложениях теории слоений в задачах управления


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.934


° А.Я. Нарманов, А. С. Шарипов


О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СЛОЕНИЙ
В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ


Обсуждается возможность применения теории слоений в теории управления.

Ключевые слова: слоение, система управления, множество управляемости, функция Беллмана.

   Рассматривается система управления

x = f (x, u), x G M,

u G U C Rm,

(1)

где M — гладкое (класса C^) связное многообразие размерности n с некоторой римановой метрикой g, U — компакт, для каждого элемента u G U векторное поле f (-,u) является по л ем класса C ^, а отображение f : M х U ^ TM непрерывно, где TM — касательное расслоение многообразия M .
   Допустимыми управлениями считаются кусочно-постоянные функции u : [0,T] ^ U, где 0 < T < ж. Таким образом, траектории системы (1), соответствующие допустимым управлениям, представляют собой кусочногладкие отображения x : [0, T] ^ M. Цель управления — приведение системы в некоторое фиксированное (целевое) состояние п G M. Будем говорить, что точка xо G M управляема из точки п за время T > 0, если существует такая траектория x : [0 ,T] ^ M системы (1), что x (0) = x₀, x (T) = п ■
   Обозначим через Gₙ (< T) множество точек M, которые управляемы из точки п за время, меньшее T. Считаем, что п G Gₙ(< T) для каждого T > 0. Множество всех точек M, управляемых из точки п, называется множеством управляемости с целевой точкой п и обозначается через Gₙ.
   Известно, что множество всех гладких (класса C^ ) векторных полей на M является алгеброй Ли, в которой произведением векторных полей X и Y служит их скобка Ли [X, Y]. Обозначим через D множество векторных полей {f (-,u) : u G U}, через A(D) — минимальную подалгебру Ли, содержащую D.
   Орбита L(x) множества D, содержащая точку x G M, определяется как множество всех точек у из M вида

у = YtX— (... (Xt¹ (x))...)),