Построение неправильной предельно-периодической системы линейных дифференциальных уравнений


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.926


© Т. В. Серёгина




                ПОСТРОЕНИЕ НЕПРАВИЛЬНОЙ
                ПРЕДЕЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
                ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ¹




Получено рекуррентное выражение для матрицы коэффициентов неправильной предельно-периодической системы.

Ключевые слова: линейная дифференциальная система, почти периодичность, правильность.


   Одним из важнейших вопросов в теории линейных систем с почти периодическими коэффициентами следует считать классическую проблему Н. П. Еругина: все ли линейные дифференциальные системы с почти периодической матрицей коэффициентов являются правильными по Ляпунову? Эта проблема полностью решена В.М. Миллионщиковым в [1]: он доказал существование неправильных систем с предельно-периодической матрицей коэффициентов любого класса гладкости. А. В. Липницкий в работе [2], используя метод поворотов В.М. Миллионщикова, на основе идей работы [1] осуществил конструктивное построение неправильной системы с двумерной предельно-периодической матрицей коэффициентов любой степени гладкости. Но в работе А. В. Липницкого элементы предельнопериодической матрицы коэффициентов системы A(t) не построены явно, а выражены через угловое поведение некоторого решения этой системы. В настоящей работе приведено рекуррентное выражение для матрицы коэффициентов неправильной предельно-периодической системы.
   Зафиксируем семейство функций [1,2]

...(;T,u): T > 1, u Е R}


таких, что £(-,T,u) : R ^ R представляет собой T -периодическую функцию, принадлежащую классу C^ (R, R), удовлетворяющую условиям


/ T £ (t)
Jo


dt = 1,

   ¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-000258).