О свойствах весовых потенциалов для одного класса В-элиптических операторов


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.958


© А. Ю. Сазонов, Ю.Г. Фомичева




                О СВОЙСТВАХ ВЕСОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ¹




Рассматриваются весовые потенциалы для эллиптического оператора второго порядка, содержащего по части переменных дифференциальный оператор Бесселя. Приведена теорема существования потенциала двойного слоя и некоторые свойства потенциалов простого, двойного слоя и объемного.
Ключевые слова: потенциал, оператор Бесселя, эллиптический оператор, сингулярный оператор.


   Пусть Q+ — область в R++m, ограниченная гиперплоскостями yi = 0, i = 1, m и произвольной поверхностью типа Ляпунова Г⁺, образующей с гиперплоскостями yi = 0 углы, равные п/2,
   Rn+m = {х = (х 1 ,х 2,.. .,Xn,y 1 ,y 2, ...,ym) € Rⁿ+m : yi > 0 ,i = 1 ,m},

Г⁰— замыкание оставшейся части границы области Q+.
   В области Q+ рассматривается оператор
     By⁰ = X aijdxidX] + X - эЦ yi dyi), aij = a , ki >⁰, i,j = 1          i  i =1

удовлетворяющий условию B-эллиптичности [1, с. 275-278]: существует 5 > 0 такое, что для любого ненулевого а = (а 1,..., an₊ₘ) имеет место неравенство i P= aij aiaj + p bia n+i > 5 |a|² , y' = (y 1,..., ym).
   Фундаментальное решение уравнения By (•) = 0 определяется следующим образом: при х = 0


                                             2 — n — m— 57 ki i =1

H (0 ,£ ) =

n            m 1
Еа- ¹ Aij Uᵢ + Е b-² ni
i,j =1       i =1


   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00305).