Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929


© В. П. Максимов, П. М. Симонов




                ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
                УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ¹




Предлагается краткий обзор современного состояния теории функциональнодифференциальных уравнений, разработанной участниками Пермского семинара [1]. Приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач. Изложение основных результатов следует неопубликованной обзорной статье, подготовленной Н.В. Азбелевым и авторами доклада в 2006 г.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, вариационные задачи, асимптотическое поведение решений.





                Введение





   В монографии [2] предложена теория функционально-дифференциального уравнения
x = Fx.                         (1)


Оператор F здесь действует из банахова пространства ACⁿ абсолют

но непрерывных функций x : [a, b] ^ Rⁿ в пространство Lⁿ суммиру
емых z : [a, b] ^ Rⁿ. Обобщение состоит в замене специфического «ло
кального» оператора Немыцкого (Nx)(t) = f (t,x(t)) на общий оператор

F:ACⁿ^ физм ACⁿ z e Lⁿ, a

Lⁿ. Теория уравнения (1) существенно опирается на изомор
= Ln х Rⁿ

определяемый равенством

(t) =
J a

t
z (s) ds + a,

e Rⁿ. Оказалось, что при замене пространства Ln на про
x

извольное банахово пространство B сохраняются основные утверждения теории уравнения (1). Таким образом возникает дальнейшее обобщение дифференциального уравнения. Уравнение в банаховом пространстве D, изоморфном прямому произведению B х Rⁿ, получило название абстрактного функционально-дифференциального уравнения(ФДУ). Наиболее подробно изучено уравнение Lx = f с линейным ограниченным оператором

   ¹Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 06-01-00744, 07-01-96060).