О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ КОШИ ОДНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929

© Т. Л. Сабатулина

О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ КОШИ одного ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Получены достаточные условия положительности функции Коши одного интегро-дифференциального уравнения. На их основе изучается асимптотическая устойчивость этого же уравнения.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, положительность функции Коши, асимптотическая устойчивость.


   Рассмотрим уравнение

Х(t) = —      k(t, s)x(s) ds, x(t) = 0, t < 0,
                     Jt—h (t)

(1)

где функции k (-,s) и h (•) измеримый о Лебегу на R₊, функция k (t, •) суммируема на каждом конечном отрезке. Дополнительно предположим, что k(t, s) > 0 при всех {t, s} G R'2 и h(t) > 0 при любом t E Ry.
   Для уравнения (1) ставится задача получения эффективных признаков (в терминах параметров исходной задачи) положительности функции Коши. Обозначим р(t) = /   k(t,s) ds. С помощью леммы о дифферен                       t—h(t)
циальном неравенстве [1, с. 65] получается следующая

  Теорема 1. Если, vraisup [  р(s) ds 6 то функция Коши уравнеt  Jthh (t)      е
ния (1) положительна.
   Если подчинить k(t,s) более жёстким условиям, то оценку 1 /е удаётся увеличить почти в два раза.
  Теорема 2. Пусть ш — суммируемая на любом конечном отрезке функция, k(t,s) 6 ш(t)ш(s) и vraisup    ш(s) ds 6 psо (2 — sо), где
sо — корень е—авнения e—s = 1 — s/2. Тогда, функция, Коши уравнения (1) положительна.

  Следствие 1 [2]. Пусть vraisup k(t,s) = k, vraisup h(t) = h и выполнено неравенство kh² 6 s₀(2 — s₀), где s₀ — корень уравнения e—s = 1 — s/2. Тогда, функция, Коши уравнения (1) положительна.