ОБ ОДНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ НЕСКОЛЬКИХ ЛИЦ В КЛАССЕ ПОЗИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.977

© С. В. Лутманов




                ОБ ОДНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ НЕСКОЛЬКИХ
                ЛИЦ В КЛАССЕ ПОЗИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ





Вводится новое понятие решения в дифференциальных играх со многими участниками.

Ключевые слова: дифференциальная игра, позиционные стратегии.

   Рассматривается дифференциальная игра, описываемая системой вида


к
x = A(t)x + '^ui, Ui e Pi,
i =1

где x e Rⁿ, Pi — выпуклыe компакты Rn, i e K = {1,..., k}. Момент T окончания игры фиксирован, а функция платы i -го игрока имеет вид

Ii [U i ,...Uk] = Vi (x (T)),

где функции vi являются достаточно гладкими. В качестве принципа рационального поведения игроков в игре предлагается принцип компромисса. Смысл его состоит в том, что для заданных значений компромиссных оценок строится набор стратегий всех игроков, который обеспечивает результат игры для каждого игрока не «хуже» его верхней компромиссной оценки, а любому «игроку-уклонисту» не позволяет получить значение платы «лучше» его нижней компромиссной оценки.
   Для игры в нормальной форме Г = {к, {Ui}ᵢEK, {Iᵢ}ᵢeKj’ введем понятие компромиссного набора стратегий всех игроков.
   Определение 1. Пусть S* = (S i *,..., Sₖ*), S * = (Si,..., Ski), Si* 6 S*,i e К. Ситуация Wc = (UC,...,UC) называется компромиссной относительно векторов S*, S*, если для всех i e К выполняются неравенства

        Si* 6 min Ii (UC, ...,Ui,...UC) 6 Ii (uc, ...,UC,...UC) 6 s* . Ui


i

В предположении, что для любого вектора s e Rⁿ и всех номеров i e К выполнено неравенство

              min (s, u 1) + ■ ■ ■ + min (s, ui) + ■ ■ ■ + min (s, uₖ) 6 0, u 1EP1               UiEPi                uₖ EPₖ