УПРАВЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ СИСТЕМ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.926+517.977

© С. Н. Попова




                УПРАВЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ СИСТЕМ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ¹





Для линейной равномерно вполне управляемой системы с почти периодическими коэффициентами установлена глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов.

Ключевые слова: линейная управляемая система, почти периодичность, асимптотические инварианты.

   Рассмотрим линейную управляемую систему


x = A(t)x + B(t)и,   x G Rⁿ, u G Rm, t G R,


(1)

с почти периодическими по Бору коэффициентами A(•) и B (•). Пусть управление и(•) в системе (1) формируется по принципу линейной обратной связи и = U (t) x, где U (•) — кусочно-непрерывная и ограниченная на R матричная m х n -функция: U(•) G KCₘₙ(R). Тогда получаем замкнутую систему вида

x = (A(t) + B(t)U(t))x,  x G Rⁿ, t G R.


(2)

Система (2) при произвольной функции U(•) G KCₘₙ(R) принадлежит множеству Mₙ линейных однородных дифференциальных систем с кусочно непрерывными и ограниченными на R коэффициентами, поэтому для нее определены всевозможные инварианты преобразований Ляпунова, то есть величины (свойства) линейных однородных систем, которые не меняются под действием группы преобразований Ляпунова. Зафиксируем какой-либо ляпуновский инвариант ь, то есть отображение i : Mₙ ^ XL, где Xₜ — некоторое множество. Всякую систему x = F(t)x, x G Rⁿ, t G R, принадлежащую множеству Mₙ, будем отождествлять с ее матрицей коэффициентов F(•). Обозначим через i (F) значение инварианта i системы F (•) G Mₙ. Пусть i (Mₙ) — множество значений инварианта ь, то есть i(Mn) = {ЬG XJ 3F(•) G Mn : i(F) = b}.


  ¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-000258).