ПОЛУЯВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 519.622


° А. В. Лекомцев


            ПОЛУЯВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


Рассматриваются системы, содержащие эффект запаздывания и дополнительные алгебраические связи. Конструируются полуявные численные методы типа Розенброка. Приведена теорема о порядке глобальной погрешности.

Ключевые слова: функционально-дифференциально-алгебраические уравнения, численные методы, метод Розенброка.


   Рассмотрим систему функционально-дифференциально-алгебраических уравнений

       y⁽ t) = f ⁽t,y ⁽t) ,z ⁽t) ,yt ⁽■) ,zt ⁽■)), 0 = g ⁽t,y ⁽t) ,z ⁽t) ,yt ⁽■) ,zt ⁽■)) (1)

с начальными условиями

У (t o) = y о, z (t o) = z о,

       yt0(■) = {y⁰(s), -T 6 s < 0}, ztо(■) = {z⁰(s), -T 6 s < 0},
где t G [ tо ,t о + 0 ] C R, y G Rⁿ, z G Rm.
   Предположим, что существует единственное решение задачи (1) на [tо,tо + 0]. Кроме того, предположим, что матрица Якоби gz существует и обратима в своей области определения.
   S-этапным методом типа Розенброка, а набором коэффициентов Ор ai, aij, Yij будем называть численную модель следующего вида:

               s                              s
  Ui+1 = Ui + ^&i ■ ki(Uti(■),vti (■)), vi +1 = vi + ^&i ■ Pi(Uti(■), Vti (■)), (2) i=1                                         i=1

где отображения ki(uₜₗ(■),vₜₗ(■)) и pi(uₜₗ(■),vₜₗ(■)) определяются как последовательное решение следующих s систем относительно неизвестных ki и pi:


  ki = A ■ f (ti + aiA,n,wi,utₗ + »iд(■),vtₗ + »iд(■))+
           + A X Yij⁽dfU ■ kj ⁺ f ■ Pj ⁾ ⁺ A2 X Yij dtf, i = 1 ,--.,s, (3)
               j=1                          j=1