Линейная макроскопическая электродинамика

Ю.В. ПИМЕНОВ

ЛИНЕЙНАЯ 

МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ВВОДНЫЙ КУРС   

ДЛЯ РАДИОФИЗИКОВ И ИНЖЕНЕРОВ

2008

Ю.В. Пименов
Линейная макроскопическая электродинамика. Вводный курс для
радиофизиков и инженеров: Учебное пособие / Ю. В. Пименов – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2008. – 536 с.
ISBN 9785915590105

Учебное пособие создано известным советским электродинамиком на основе его лекций в МЭИС (МТУСИ).
Четко, строго и последовательно рассмотрены уравнения Максвелла и граничные условия, задачи распространения электромагнитных  волн в пространстве и в направляющих системах.
Методическое совершенство изложения делает материал книги доступным
для студентов технических специальностей. Необходимый математический аппарат дан в полном объеме в начальных главах книги.
Усвоение этого вводного курса  позволяет перейти к изучению профессиональных руководств по антенным решеткам и СВЧ технике.
Для студентов и преподавателей классических и технических университетов.

ISBN 9785915590105
                              © 2008, наследники
                               © 2008, ООО Издательский Дом
                                   «Интеллект», оригиналмакет,
                                   оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Ю. В. Пименов (1930–2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1
Математические основы электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Векторная алгебра . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Векторный анализ. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3. Основные понятия теории функций комплексного переменного
56
1.4. Некоторые часто встречающиеся функции . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

Г л а в а 2
Основные уравнения макроскопической электродинамики . . . . . . . . 101
2.1. Физические представления, лежащие в основе макроскопической электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2. Макроскопические модели простейших сред. . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3. Уравнения Максвелла и классификация электромагнитных
явлений . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.4. Уравнения Максвелла для монохроматического поля . . .. . . . . . 146
2.5. Граничные условия. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.6. Энергия электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Г л а в а 3
Постановка задач электродинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.1. Классификация задач линейной макроскопической электродинамики. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.2. Теоремы единственности решения краевых задач электродинамики. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.3. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца для векторов
поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.4. Связь задач электродинамики с задачами из других научнотехнических областей. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.5. Электродинамические потенциалы в случае произвольной зависимости поля от времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.6. Электродинамические потенциалы в случае монохроматического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.7. Функция Грина . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.8. Сторонние магнитные токи и заряды . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 226
3.9. Перестановочная двойственность уравнений Максвелла и ее
следствия. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
3.10. Потенциалы Герца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3.11. Потенциалы Дебая . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.12. Двумерные задачи электродинамики . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 245
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Г л а в а 4
Электростатическое поле и поле постоянных токов. . . . . . . . . . . . . . 254
4.1. Основные уравнения электростатики. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 254

D
DD

D
DDОглавление

4.2. Методы решения задач электростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.3. Основные уравнения стационарного электромагнитного поля. . 301
4.4. Примеры расчета магнитных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.5. Электрическое поле постоянного тока . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 319
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Г л а в а 5
Излучение электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.1. Элементарный электрический излучатель. . . . . . .. . . . . . . . . . . 324
5.2. Элементарный магнитный вибратор. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 344
5.3. Элементарный щелевой излучатель. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 351
5.4. Элементарные излучатели, рассматриваемые в плоских задачах электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.5. Эквивалентные источники электромагнитного поля . . .. . . . . . . 356
5.6. Элемент Гюйгенса. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.7. Лемма Лоренца. Теорема взаимности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

Г л а в а 6
Плоские волны в однородной безграничной среде . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.1. Плоские волны в однородной изотропной среде. . . . . . . . . . . . . 367
6.2. Поляризация волн. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.3. Поле плоской волны, распространяющейся в произвольном
направлении в безграничной однородной изотропной среде . .. . 386
6.4. Распространение плоских электромагнитных волн в неограниченной однородной ферритовой среде . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 388
6.5. Распространение плоских электромагнитных волн в намагниченной плазме . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

Г л а в а 7
Волновые явления на границе раздела двух сред . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.1. Формулы Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.2. Полное прохождение волны во вторую среду . . . . . . .. . . . . . . . 420
7.3. Полное отражение от границы раздела двух изотропных сред 422
7.4. Падение плоской волны на границу поглощающей среды. . . . . 430
7.5. Приближенные граничные условия Леонтовича–Щукина. .. . . . 432
7.6. Поверхностный эффект . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 434
7.7. Падение плоской волны на слой диэлектрика конечной
толщины . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Г л а в а 8
Основные идеи современных методов решения краевых задач электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
8.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
8.2. Строгие методы решения задач электродинамики. . . . . . . . . . . 446
8.3. Анализ волн в однородных линиях передачи. . . . . . . .. . . . . . . . 471
8.4. Численные методы решения краевых задач электродинамики
494
8.5. Приближенные методы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Литература . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
Предметный указатель . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

Предисловие

Эта книга написана блестящим ученым, лектором и учителем Юрием Вадимовичем Пименовым для широкого круга читателей: студентов, преподавателей, исследователей, инженеров. Я хотел бы подчеркнуть слово «учитель»,
потому что именно оно наиболее полно отражает всегда существовавшую
душевную связь между Юрием Вадимовичем и многими поколениями высоко
ценивших его мастерство студентов.
В своей книге Юрий Вадимович ведет читателя, как Д. Толкиен своих
волшебных хоббитов во «Властелине колец», от одного приключения, то есть
физической концепции или уравнения, до другого, предлагая на каждом
шагу простое и изящное решение возникающих проблем (пусть не удивляет
читателя это сравнение: ведь Юрий Вадимович писал книги не только для
взрослых, но и светлые и милые книжки для детей, хорошо понимая желание
как детей, так и студентов получить ясное объяснение сущности окружающего мира).
Читая эту книгу, студенты быстро обнаружат удивительную связь между образами и понятиями теоретической физики и математики и реальным
миром, в котором еще совсем недавно (20–30 лет назад) не было оптических
кабелей, мобильных телефонов, спутниковых навигационных систем и многого другого, что обязано своим существованием электромагнитным волнам
и пониманию человеком законов, эти волны описывающих.
Как профессионал, много лет преподававший этот курс, я вижу в книге в высшей степени ясное и отчетливое объяснение множества явлений в
весьма сложном мире электродинамики, чему в немалой степени способствует сопутствующее сжатое изложение необходимых разделов математики и
прекрасно выполненные иллюстрации.
Так что же интересного может дать чтение книги и изучение законов
электродинамики, основы которой заложил Максвелл в 1861 году? Неужели
за прошедшие 150 лет все или почти все проблемы не были решены? Удивительное подстерегает нас в самых неожиданных разделах книги. Прочитайте,
например, параграф 8.5.2 («Метод краевых волн»). Этот чисто теоретический метод был изложен в небольшой книге П. Я. Уфимцева в 1962 году и
впоследствии стимулировал развитие так называемой технологии «Стелс»,
позволяющей сделать самолеты почти невидимыми для радиолокаторов.
Другой пример, глава 7. В ней дается прекрасное математическое и физическое описание теории отражения и преломления электромагнитных волн
на границе раздела двух сред. Что можно найти удивительного в этом явлении, если законы преломления известны почти 400 лет — с 1621 года? Но
в 1968 году советский физик В. Г. Веселаго теоретически предсказал почти
фантастическое поведение так называемых метаматериалов — искусственных
сред с одновременно отрицательной диэлектрической и магнитной проницаемостью. В 2006 году невероятные свойства метаматериалов были продемонстрированы.
Как бывший коллега Юрия Вадимовича, много лет проработавший с ним
и хорошо знавший его, я рад возможности написать предисловие к его книге,
которой он отдал много сил и над которой он работал с большой любовью
последние годы жизни.

Профессор В. И. Вольман,
Lockheed Martin, USA

Ю. В. Пименов
(1930–2006)

Ю. В. Пименов начал научную деятельность после окончания Ленинградского политехнического института в 1957 году под руководством чл.-корр.
АН СССР Г. А. Гринберга, считавшего его одним из своих лучших учеников.
К этому времени относятся его первые яркие и талантливые научные работы.
В 1961 году Ю. В. Пименов поступил в аспирантуру Московского электротехнического института связи, на кафедру технической электродинамики и
антенн, которой в то время руководил лауреат Государственной и Ленинской премий, профессор Г. З. Айзенберг. В этом институте, ныне Московском
техническом университете связи и информатики, профессор Ю.В. Пименов
работал до последнего дня своей жизни.
Юрия Вадимовича отличало внимательное отношение к студентам, постоянный поиск способных личностей, в которых он умел разбудить тягу к
науке. Для своих учеников он был Учителем в высшем смысле этого слова,
учил понимать литературу, поэзию, живопись, которые, обладая глубокой
эрудицией, сам великолепно знал и ценил. Его многочисленные воспитанники
ныне успешно работают во многих городах России, ближнего и дальнего
зарубежья.
Ю. В. Пименов широко известен в России и за рубежом как специалист
мирового класса в области прикладной электродинамики и математической
физики. Ссылки на его работы в зарубежных статьях начали появляться с
60-х годов прошлого века. Список только основных его работ: статей, опубликованных в ведущих научных журналах, и монографий составляет более
150 наименований.
Ю. В. Пименов существенно развил предложенный Г. А. Гринбергом метод теневых токов, превратив этот подход в эффективный метод асимптотического решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых
металлических экранах, что позволило решить большое количество практических задач.
Ю. В. Пименовым получены фундаментальные результаты по вопросам
распространения волн в системах многопроводных линий. В частности, разработан метод, позволяющий в строгой постановке рассчитать параметры
собственных волн в открытых и экранированных системах таких линий.
Развитая
Ю. В. Пименовым
и
его
учениками
методика
численного
решения
задач
дифракции
электромагнитных
волн
на
металлических
объектах сложной конфигурации, основанная на использовании интегродифференциальных уравнений, является в настоящее время одной из
наиболее эффективных. На ее основе был разработан программный комплекс
«ЭДЭМ», представляющий собой систему автоматизированного исследования
характеристик сложных электродинамических структур и позволяющий
решать сложнейшие практически важные задачи из области проектирования
антенн, устройств техники СВЧ, электромагнитной совместимости и многих
других областей.
Эта книга — последняя из написанных Юрием Вадимовичем, до последнего дня продолжавшим активную научную и учебную деятельность.

А. Г. Давыдов

Г Л А В А
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

1.1.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1.1.
Основные понятия
Определения. В линейной макроскопической электродинамике оперируют с величинами трех типов: скалярами, векторами и тензорами. В данном разделе рассматриваются величины
первых двух типов.
В соответствии с [1.1] будем называть скаляром величину, которая при выбранной единице меры характеризуется одним (например, отвлеченным, т. е. не имеющим размерности) числом. Если
скалярная величина принимает разные значения в разных точках
пространства, говорят о скалярной функции координат.
Скалярные величины могут иметь разную размерность и, соответственно, разный физический смысл: например, удельная проводимость (σ), объемная плотность зарядов (ρ) и др. Очевидно, что
сравнивать имеет смысл только скаляры, имеющие одинаковую размерность, для которых может быть выбрана одинаковая мера.
Наряду
со
скалярами
в
линейной
макроскопической
электродинамике рассматривают также величины, для определения
которых задания численного значения недостаточно: их важной
характеристикой является направление в пространстве. К таким
величинам относятся скорость, сила, напряженности электрического и магнитного полей и др. Такие величины принято называть
векторами. Численное значение вектора называют модулем, или
длиной вектора.
Для обозначения векторов наиболее часто используют полужирные латинские буквы: a, A и др., или стрелки над соответствующими буквами: −→a , −→
A и др. Для обозначения длины вектора (его
численного значения) будем использовать такие же курсивные буквы, как для самого вектора, или знак модуля: |a| = a, |A| = A и т. д.

D
DD

D
DDГлава 1. Математические основы электродинамики

Два вектора a и b считаются равными, если они имеют одинаковые длины (a = b) и одинаковые направления.
Графически вектор изображают стрелкой, длина которой равна
(или пропорциональна) его модулю.
При определении вектора ни слова не говорилось о начальной и
конечной точках, между которыми проведен вектор. Поэтому параллельные стрелки равной длины, показанные на рис. 1.1.1, фактически изображают один и тот же вектор.

Рис. 1.1.1.

O

A

B

C

Рис. 1.1.2.
O

O1
O2

O1

C

D
B

A

Рис. 1.1.3.

Сложение и вычитание векторов. Поместим начало вектора A
в произвольную точку O, а начало вектора B совместим с концом
вектора A (рис. 1.1.2). Затем соединим начало вектора A с концом
вектора B. Получающийся при этом вектор C естественно рассматривать как сумму векторов A и B, то есть считать, что C = A + B.
Вектор C можно было построить иначе. Совместим начала векторов A и B с точкой O (рис. 1.1.3) и построим параллелограмм
OO1О2O
′
1. Легко видеть, что диагональ OO2 этого параллелограмма
соответствует вектору C = A + B.
Вычитание векторов определим как действие, обратное сложению. Если A + B = C, то вектор B можно рассматривать как разность C − A.
Таким образом, если на двух векторах A и B, имеющих общее начало, построить параллелограмм, то одна из его диагоналей будет соответствовать сумме (C = A + B), а другая — разности
(D = A − B) рассматриваемых векторов (рис. 1.1.3). Следует только
помнить, что при построении разности векторов A − B, имеющих
общее начало, соединяется конец второго вектора с концом первого,
а не наоборот.
Коллинеарные и компланарные векторы. При умножении вектора A на скаляр ψ ̸= 0 получается вектор B = ψA, направление
которого при ψ > 0 совпадает, а при ψ < 0 противоположно направлению исходного вектора A. При ψ = 0 произведение ψA равно нулю. Векторы, имеющие одинаковое или противоположное направление, называют коллинеарными. Если векторы A и B коллине

1.1. Векторная алгебра
D
DD

D
DD9

арные, то всегда можно подобрать такие скаляры α и β, при которых αA + βB = 0. Это равенство можно рассматривать как условие
коллинеарности векторов A и B. Пусть A и B — два произвольных неколлинеарных вектора. Так как векторы можно переносить
параллельно самим себе, то A и B можно считать исходящими из
одной точки. Тогда вектор C = mA + nB, будет параллелен плоскости, содержащей векторы A и B.
Векторы, параллельные одной плоскости, принято называть компланарными. Следовательно, векторы A, B и C являются компланарными. Для компланарных векторов всегда можно подобрать такие скаляры α, β и γ, при которых αA + βB + γC = 0. Это равенство
можно рассматривать как условие компланарности векторов A, B
и C.
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Пусть
заданы три некомпланарных вектора A, B и C. Любой другой вектор D может быть представлен в виде диагонали параллелепипеда, ребра которого параллельны заданным векторам и такое представление D = mA + nB + pC единственно. Действительно, предположим, что справедливо еще одно разложение D = m′A + n′B +
+ p′C. Приравнивая выписанные выражения для вектора D, получаем (m − m′)A + (n − n′)B + (p − p′)C = 0. Если скобки (m − m′),
(n − n′) и (p − p′) отличны от нуля, то последнее равенство означает,
что векторы A, B и C компланарны. Но это противоречит исходному
предположению. Следовательно, m′ = m, n′ = n, p′ = p, и разложение
вектора по трем некомпланарным векторам единственно.
Важным является случай, когда исходные некомпланарные векторы направлены вдоль осей декартовой системы координат. При
этом удобно ввести в рассмотрение единичные векторы, ориентированные вдоль положительных направлений осей X, Y и Z. Такие единичные векторы принято называть координатными ортами
переменных x, y и z. В математике эти орты обычно обозначают
буквами i, j и k. В электродинамике данные буквы, как правило,
используются для обозначения других величин. Поэтому во избежание недоразумений координатные орты переменных x, y и z мы
будем обозначать полужирными буквами, соответствующими этим
переменным, с нижним индексом «нуль»: x0 , y0 и z0. Разложение
вектора D по введенным таким образом векторам принимает вид

D = x0Dx + y0Dy + z0Dz.
(1.1.1)

Коэффициенты (см. рис. 1.1.4, на котором обозначено x0Dx =
= A,
y0Dy = B,
z0Dz = C) при координатных ортах x0 , y0 и z0
представляют собой проекции рассматриваемого вектора на оси X,
Y и Z декартовой системы координат.

D
DD

D
DDГлава 1. Математические основы электродинамики

Часто возникает необходимость представить рассматриваемый
вектор в виде D = d0D, где d0 — единичный вектор, показывающий
направление вектора D (т. е. орт вектора D), а D — его длина.

X

Y
C

A

B

y

y0

D

x0

z0

Z

z

x

Рис. 1.1.4.

Из рис. 1.1.4 очевидно, что

D =
D2x + D2y + D2z .
(1.1.2)

Соответственно орт d0 может быть представлен в виде

d0 = x0 cos ϕx + y0 cos ϕy + z0 cos ϕz,
(1.1.3)

где cos ϕx, cos ϕy и cos ϕz — направляющие косинусы вектора d0:

cos ϕx = Dx/D,
cos ϕy = Dy/D,
cos ϕz = Dz/D.
(1.1.4)

1.1.2.
Произведение двух векторов

Скалярное произведение. Скалярным произведением
векторов A и B называют скаляр, равный произведению длин этих
векторов на косинус образованного ими угла ϕ (рис. 1.1.5).

A

B

Рис. 1.1.5.

Скалярное произведение обозначают A · B,
или (A, B). Из определения скалярного произведения A · B ≡ (A, B) = AB cos ϕ следует, что
для него справедлив переместительный закон
(свойство коммутативности):

(A, B) = (B, A).
(1.1.5)

Скалярное произведение положительно, если угол между перемножаемыми векторами острый, и отрицательно, если угол — тупой. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. Поэтому равенство

(A, B) = 0
(1.1.6)

1.1. Векторная алгебра
D
DD

D
DD11

при отличных от нуля векторах A и B можно рассматривать как
условие их взаимной перпендикулярности.
Из сказанного очевидно, что выполняются соотношения

(x0, y0) = 0,
(x0, z0) = 0,
(y0, z0) = 0.
(1.1.7)

Скалярное произведение одинаково направленных векторов равно
произведению их длин, в частности,

(A, A) = A2 = A2
x + A2
y + A2
z.
(1.1.8)

Из последней формулы следует также, что

(x0, x0) = 1,
(y0, y0) = 1,
(z0, z0) = 1.
(1.1.9)

Нетрудно показать, что при вычислении скалярного произведения
можно раскрывать скобки как при обычных алгебраических преобразованиях, например,

(A + B, C) = (A, C) + (B, C),
(1.1.10)

т. е. для скалярного произведения справедлив распределительный
закон.
Запишем в скалярном произведении векторы A и B в виде
разложения
по
координатным
ортам
(A, B) = (x0Ax + y0Ay +
+ z0Az , x0Bx + y0By + z0Bz). Используя формулу (1.1.10) и соотношения (1.1.7) и (1.1.9), получаем

(A, B) = AxBx + AyBy + AzBz.
(1.1.11)

Зная скалярное произведение двух векторов, легко найти угол между ними из соотношения

cos ϕ = (A, B)

AB
= AxBx + AyBy + AzBz

AB
,
(1.1.12)

а также величину проекции одного вектора на направление, определяемое другим вектором. Например, проекция Ab вектора A на
направление вектора B определяется формулой

Ab = (A, B)

B
= AxBx + AyBy + AzBz

B
= AxBx + AyBy + AzBz
2x +
2y +
2z
.
(1.1.13)

Векторное произведение. Векторным произведением векторов A
и B называют вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно плоскости этого параллелограмма и определяется правилом буравчика (правилом правого винта) при повороте от первого вектора ко второму по кратчайшему пути. Векторное произведение принято обозначать одним из следующих способов: А×B,
[A, B], [A B]. Из определения векторного произведения следует,

D
DD

D
DDГлава 1. Математические основы электродинамики

что |[A, B]| = AB sin ϕ. При перестановке входящих в него векторов
векторное произведение изменяет знак:

[A, B] = − [B,A].
(1.1.14)

Ориентация векторов A, B и их векторного произведения [A, B]
показана на рис. 1.1.6, а, б.

a

B

A

A

B

[ , ]
AB

б

[ , ]
AB

Рис. 1.1.6.

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, в
частности
[x0, x0] = [y0, y0] = [z0, z0] = 0.
(1.1.15)

Из определения векторного произведения следует также, что

[x0, y0] = z0, [y0, z0] = x0, [z0, x0] = y0.
(1.1.16)

Изменение порядка сомножителей приводит к изменению знака:
[y0, x0] = −z0, [z0, y0] = −x0 и т. д.

z0

x0

y0

Рис. 1.1.7.

Выписанные соотношения легко запоминаются,
если использовать правило циклических перестановок. Запишем координатные орты x0, y0, z0 как показано на рис. 1.1.7. Если перемножать координатные
орты по часовой стрелке, получается следующий по
порядку орт, например, умножая x0 на y0, получаем z0, умножая y0 на z0, получаем x0 и т. д. При
перемножении векторов, расположенных в обратной
последовательности (против часовой стрелки), нужно ставить знак
«минус»: [y0, x0] = −z0, [z0, y0] = −x0 и т. д.
Отметим также, что для векторного произведения справедлив
распределительный закон

[A, B + C] = [A, B] + [A, C] ,
(1.1.17)

и что скалярные множители можно выносить за знак произведения:

[mA, nB] = mn [A, B] .
(1.1.18)