Предел функции. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора

Кудрявцев Л.Д.

Предел функции.

Формулы

Ньютона-Лейбница и

Тейлора

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

Предел
функции.
Формулы
Ньютона–Лейбница
и
Тейлора.
!"#$%%&'($%')*+*&
',-'+
&.&)%%'+
,/%'-$
0$*-'1
-+$*+$*',&2&
$%$)'($3
4'(+$*
)'*
5&%&&*&&2&
)6'*
%*$''&%%&&.)%'.)$
7%-''8
/&9:.&
&/%&
&/6$:*.'+;*$
*
$&2&

&.)%'.&
$%%':
&/<,%&
'.&)=(+<+
,/%&1
)'*$*8&
*&&1
,$*'
/&9:<
$%$)'('*(=
+67&+)$+'
1)&$
'
>=:*&%$?1/%'$@,/%&'($%'ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА И ТЕЙЛОРА

A
$-*&B'2'%$)+$*B7&+)%'..)*
$!
"#"#$
%%&$'(%&)*
(
+(%*
#
",(*
'*
#
%./+0
,1*
+*
2
.*2
 
%"3(#2
4'56789
:
7;56<=567>?@2
:58A68B=567>?@

C
<<D9EEE:58?@

F!GH
(I$,('(%*J
*
KL+1+M+
2
!
3KNG2
.*
*
#
K%2
F*#K*J
'2
OPQR
'&&''S

T

+)./
M
+M
2
&T

U0 
#N2
&Содержание

1. Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Предел функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3. Формулы Ньютона–Лейбница и Тейлора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Список литературы . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

1. Предисловие

Понятие предела функции является одним из основных в математическом анализе. Однако его традиционное определение имеет существенные недостатки. Оно не охватывает все случаи предела, встречавшиеся раньше в элементарной математике на интуитивном уровне,
не даёт возможности наглядно пояснить, почему в математике дискретное является частным случаем непрерывного, и иногда приводит
к неоправданным усложнениям формулировок и доказательств теорем,
в которых участвует понятие предела функции.
Существует другое, в определённом смысле более простое определение предела функции, содержащее в себе традиционное как частный
случай, и лишённое его недостатков. Этому вопросу посвящена первая
часть книги.
Далее рассматривается связь формул Ньютона–Лейбница и Тейлора. Формула Тейлора встречается в курсе математического анализа
раньше формулы Ньютона–Лейбница, что имеет достаточное методическое оправдание: изучение дифференциального исчисления предшествует изучению интегрального.
Это приводит к тому, что для доказательства формулы Тейлора приходится применять тот или иной искусственный приём, «придумывать»
какую-либо конструкцию. Вместе с тем по существу формула Тейлора
является прямым следствием формулы Ньютона–Лейбница — в том
смысле, что получается из неё простым «бездумным» доказательством.
Однако, чтобы получить широко используемые записи остаточного
члена в форме Лагранжа и Коши, надо воспользоваться правилом
перемены порядка интегрирования в повторных интегралах. При обычном изложении математического анализа, когда возникает потребность
в формуле Тейлора, это правило ещё не изучено. Поэтому прямая связь
формул Тейлора и Ньютона–Лейбница остаётся учащимся неизвестна.
Этот пробел и восполняет вторая часть книги.

2. Предел функции

2.1. Введение.
Понятие предела функции является одним из основных понятий математики. Первоначально, в школьном курсе математики оно встречается на интуитивном уровне: в геометрии при
измерении длины отрезка, когда она не выражается рациональным
числом; при определении площади прямоугольника, когда длина по
крайней мере одной из его сторон выражается иррациональным числом;
при определении длины окружности и площади круга. В первом случае рассматриваются последовательности рациональных длин отрезков,
приближающихся к длине заданного отрезка. Во втором — последовательности площадей прямоугольников, длины сторон которых выражаются рациональными числами, приближающимися к длинам сторон
данного прямоугольника. Пределы таких последовательностей и называются, соответственно, длиной отрезка и площадью прямоугольника.
В двух последних случаях рассматриваются последовательности вписанных в окружность правильных многоугольников при неограниченном увеличении (иногда удвоении) числа их сторон. Длина окружности
определяется как предел периметров этих многоугольников, а площадь
круга — как предел их площадей.
В старших классах средней школы обычно более или менее чётко
формулируется понятие предела числовой последовательности и тем
самым указанные определения приобретают более чёткий математический смысл, но, конечно, доказательство существования этих пределов
остаётся вне элементарной математики.
В алгебре (точнее, в арифметике) понятие предела встречается при
выполнении арифметических действий над иррациональными числами,
результатами которых являются фактически пределы последовательностей, составленных из результатов соответствующих арифметических
действий над десятичными приближениями заданных иррациональных
чисел. Понятие предела присутствует и при определении бесконечной
суммы членов убывающей геометрической прогрессии, а также при
определении показательной функции ax, a > 0, x — действительное
число. Сначала определяется степень ar с рациональным показателем r, а затем говорится, что полученные значения по непрерывности
распространяются на все действительные числа. При дальнейшем изучении школьного курса математики к этому интуитивному определению, как правило, больше не возвращаются.
Наконец, при изучении начал математического анализа в связи
с необходимостью определить понятие производной функции и доказать её свойства возникает потребность в чётком определении предела
функции.

2.2. Первое определение предела функции. Напомним сначала
нужные для дальнейшего изложения понятия и терминологию. Ось

Содержание

действительных чисел R будем называть, как это принято, числовой
осью, а действительные числа — точками этой оси. Пусть x0 — точка
числовой оси и ε > 0. Назовём ε-окрестностью (на числовой оси)
точки x0, и обозначим её U(x0, ε) 1), множество всех точек x числовой
оси, удовлетворяющих неравенству |x − x0| < ε. В символической записи это определение выглядит следующим образом:

U(x0; ε) = {x ∈ R: |x − x0| < ε}.

Таким
образом,
ε-окрестность
точки
x0
является
интервалом
(x0 − ε; x0 + ε) длины 2ε с центром в точке x0. Если из него
удалить точку x0, то оставшееся множество называется проколотой
ε-окрестностью точки x0 и обозначается
◦
U(x0; ε). Таким образом,

◦
U(x0; ε) = {x ∈ R: |x − x0| < ε, x ̸= x0}.

Для простоты будем коротко называть ε-окрестности и проколотые
ε-окрестности точки её окрестностями и, соответственно, проколотыми
окрестностями.
Напомним теперь определение предела функции, обычно приводимое в учебниках по началам математического анализа для средних
школ [1] и в учебниках для высших учебных заведений [2, 3]. Всюду
будут рассматриваться только функции, определённые на тех или иных
подмножествах числовой оси, значениями которых также являются
действительные числа.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть в некоторой окрестности точки x0 числовой оси, кроме, быть может, самой этой точки, задана функция
f(x). Число a называется пределом этой функции в точке x0 (или,
что то же самое, при x, стремящемся к x0), если для любого числа
ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих
неравенствам
|x − x0| < δ,
x ̸= x0,
(1)

выполняется неравенство

|f(x) − a| < ε.
(2)

В этом случае пишут
lim
x→x0 f(x) = a
(3)

или
f(x) → a
при
x → x0,
x ̸= x0.
(4)

В терминах окрестностей существование предела (3) означает, что
для любой ε-окрестности U(a; ε) числа a существует такая δ-окрестность U(x0; δ) числа x0, что

f(
◦
U(x0; δ)) ⊂ U(a; ε).
(5)

1) U — первая буква немецкого слова Umgebung — окрестность.

2. Предел функции
7

Как видно из данного определения предела функции, в точке, в
которой рассматривается предел, функция может быть как определена,
так и не определена. Примером первого случая являются пределы

lim
x→0(x2 + 1) = 1,
lim
x→0 sin x = 0,
(6)

а второго — предел
lim
x→0
sin x

x
= 1.
(7)

Поскольку значение функции в самой точке, в которой берётся предел, не участвует в его определении, то можно с самого начала предполагать, что функция определена лишь в проколотой окрестности этой
точки. Это касается самого определения, а важным частным случаем
является случай, когда функция определена в точке и предел функции
совпадает со значением в этой точке. Такие функции называются
непрерывными. Сформулируем это в виде отдельного определения.
О п р е д е л е н и е 2. Функция f(x), определённая в окрестности

y

x
O

Рис. 1

точки x0, называется непрерывной в
этой точке, если

lim
x→x0 f(x) = f(x0).

Функция, не являющаяся непрерывной в данной точке, называется разрывной в ней.
Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. На интуитивном уровне непрерывность функции в интервале означает, что её график можно нарисовать на листе бумаги карандашом, не отрывая его от листа, то есть
график является «непрерывной кривой» (см. рис. 1).

2.3. Недостатки
первого
определения
предела
функции.
Несмотря на широкую распространённость определений 1 и 2, они
имеют ряд существенных недостатков.
Первый связан с неестественностью того, что впервые чётко сформулированное определение понятия предела не содержит в себе ни
одного из тех частных случаев предела, которые раньше встречались
на интуитивном уровне. Действительно, определение 1 не содержит
в себе ни понятия предела последовательности, ни понятия предела
по множеству рациональных чисел. Поэтому его нельзя использовать
ни при определении длины отрезка, ни при определении площади
прямоугольника, длины сторон которого выражаются произвольными
действительными числами, ни при определениях длины окружности,
площади круга, бесконечной суммы членов убывающей геометрической
прогрессии, ни при определении степени числа с иррациональным
показателем.
В самом деле, всякая последовательность представляет собой функцию, определённую на множестве натуральных чисел (а не в окрестно

Содержание

сти точки числовой оси, как это требуется в определении 1), степень
же с рациональным показателем, с помощью которой определяется
степень с любым показателем, является функцией, определённой на
множестве рациональных чисел, а такие функции не относятся к функциям, рассматриваемым в определении 1. Таким образом, ни в одном
случае речь не идёт о функциях, заданных в окрестности или в проколотой окрестности некоторой точки числовой оси.
Второй недостаток определений 1 и 2 касается связи понятий непрерывности и дискретности в математике.
Множество точек числовой оси называется дискретным, если
у каждой его точки x0 существует окрестность, не содержащая ни
одной точки этого множества, кроме самой точки x0. Примерами дискретных множеств являются любое конечное множество чисел, множество натуральных чисел, множество целых чисел. Множества же

y

x
O
1

1

Рис. 2

рациональных и иррациональных чисел, так же
как и множество всех действительных чисел, не
являются дискретными.
Рассмотрим функцию f(x), определённую на
дискретном множестве, состоящем из двух чисел
0 и 1, равенствами (см. рис. 2):

f(0) = 0,
f(1) = 1.
(8)

Поставим вопрос, какой функцией является
f(x): непрерывной или разрывной в точках, в которых она задана? Определение 1 не применимо к функции (8), так как
оно дано для функций, определённых в проколотой окрестности точки,
в которой рассматриваются их пределы. Функция же (8) не определена
ни в каких проколотых, а тем более целых (не проколотых), окрестностях точек x = 0 и x = 1. Поэтому к этой функции не применимо
и определение 2 непрерывности функции в точке.
Можно для подобных случаев сформулировать самостоятельное
определение непрерывности, т. е. считать по определению, например,
функцию (8) непрерывной или разрывной в точках x = 0 и x = 1.
По здравому смыслу на первый взгляд кажется, что её надо считать
разрывной, так как на интуитивном уровне здесь нет никакой непрерывности, нет никакого плавного перехода от одного значения функции
к другому. Однако с математической точки зрения оказывается, что её
естественно считать непрерывной, поскольку в математике (в отличие
от физики) дискретное является частным случаем непрерывного в том
смысле, что все функции, определённые на дискретных множествах,
целесообразно считать непрерывными. Это оправдывается тем, что все
утверждения для непрерывных функций в смысле определений 1 и 2
имеют прямые аналоги для функций, определённых на дискретных
множествах.
Из этой ситуации есть два выхода. Либо считать по определению
«вопреки здравому смыслу», что все функции, определённые на дис

2. Предел функции
9

кретных множествах, по определению непрерывны, либо попробовать
дать такое более общее определение предела и непрерывности функций, что функции на дискретных множествах в силу этих определений
окажутся непрерывными.
Недостаток первого подхода состоит в том, что при нём аналогичные теоремы придётся доказывать дважды, исходя из разных определений непрерывности: определения 2 и определения непрерывности
для функций, заданных на дискретных множествах. Дополнительные
сложности возникнут для функций, определённых на множествах,
которые условно назовём «частично дискретными», т. е. множествах,
содержащих как точки, у которых существуют окрестности, входящие
в эти множества, так и точки, у которых существуют окрестности, не
содержащие других точек множества, кроме них самих.
Отметим, что определения 1 и 2 можно легко обобщить, отказавшись от предположения, что функция определена во всей проколотой
окрестности точки, в которой берётся предел. Пусть X — произвольное
подмножество числовой оси, функция f(x) определена на этом множестве и x0 ∈ R.
О п р е д е л е н и е 1′. Число a называется пределом функции f(x)
в точке x0 и пишется
lim
x→x0 f(x) = a, если для любого ε > 0 суще
ствует такое δ > 0, что для всех x ∈ X, удовлетворяющих условиям
|x − x0| < δ, x ̸= x0, выполняется неравенство

|f(x) − a| < ε.

В терминах окрестностей это определение записывается следующим
образом:
f(X ∩
◦
U(x0; δ)) ⊂ U(a; ε).
(9)

Можно сказать, что определение 1 предела функции является определением её предела по проколотой окрестности, а определение 1′ —
её предела по любому множеству, на котором она определена (а задана
она может быть и на более широком множестве).
Если x0 ∈ X и
lim
x→x0 f(x) = f(x0), то функция f(x) называется
непрерывной в точке x0.
Это определение непрерывности уже можно применить к функции (8). Для неё множество X, на котором она определена, состоит
из двух точек x = 0 и x = 1 и, например, для точки x = 0 справедлива импликация: для любого ε > 0 существует δ > 0 (можно взять
любое δ, такое, что 0 < δ < 1), для которого из условий x ∈ X, |x| <
< δ, x ̸= 0 следует, что |f(x) − f(0)| < ε, так как таких точек x
нет, иначе говоря, они образуют пустое множество. Таким образом,
согласно определению 1′ функция (8) непрерывна в точке x = 0 и,
конечно, по аналогичной причине в точке x = 1. С логической точки
зрения такой подход безупречен, однако он лишён наглядности, так

Содержание

как использует «тонкости» формальной логики, связанные с таблицей
истинности импликаций и понятием пустого множества.
Ведь наряду с приведённым выше утверждением о непрерывности
функции (8) в точке x = 0 для неё справедливо и утверждение, что
для любого ε > 0 существует такое δ > 0, для которого из условий
x ∈ X, |x| < δ, x ̸= 0, следует неравенство |f(x) − f(0)| ⩾ ε (так
как по-прежнему множество указанных точек x пусто). Разбираться
в том, каким образом при аналогичных условиях оказалось, что верны
неравенства |f(x) − f(0)| < ε и |f(x) − f(0)| ⩾ ε и почему последнее из
них не противоречит непрерывности функции f в точке x = 0, вряд ли
нужно тому, кто собирается заниматься не самой математикой, а лишь
её простыми приложениями.
Получить «наглядное» представление о непрерывности функций
на дискретных множествах можно с помощью другого определения
предела функции. Это и будет сделано дальше.
Третий недостаток определений 1 и 1′ состоит в условии x ̸= x0.
Часто оно бывает излишним, как это и было в рассмотренных выше
пределах (6). Действительно, как в одном, так и в другом примере
для всякого ε > 0 существует такое δ > 0, что из неравенства |x| < δ
вытекают соответственно неравенства |(x2 + 1) − 1| < ε и | sin x| < ε,
поэтому нет никакой необходимости предполагать, что x ̸= 0.
Конечно, легко доказывается, что в случае непрерывности функций
(которая имеет место в рассматриваемых примерах) в определении 1
предела функции условие x ̸= x0 можно отбросить. Но это фактически
означает введение для данного случая другого определения понятия
предела.
Для предела (7) условие x ̸= 0 также является лишним, так как при
x = 0 функция f(x) = sin x

x
не определена и рассмотрение значения
аргумента x = 0 отпадает само собой.
Если окажется, что можно избавиться от условия x ̸= x0, то это
упростит доказательства всех теорем, в которых участвует предел
функции. Действительно, если доказательство исходит из существования предела функции, то надо будет использовать одним условием меньше (а именно, условием x ̸= x0), а если требуется доказать
существование предела функции, то надо доказывать одним условием меньше. Далее будет приведён пример, когда это наглядно видно
(см. доказательство теоремы 2).
В математике критерием достоинства методики преподавания является сочетание строгого и по возможности простого изложения предмета. Рассмотренные определения 1 и 1′ предела функции, удовлетворяя
требованиям строгости, явно приводят к неоправданным усложнениям
при их использовании в изолированных точках множества задания
функции. Дальше будет дано другое определение предела функции,
показывающее, что от указанных сложностей в рассматриваемом вопросе можно легко избавиться.

2. Предел функции
11

Следует отметить, что определение 1′ благодаря тому, что в нём даётся определение предела функции по любому подмножеству действительных чисел, является более общим, чем определение 1. Поэтому оно
имеет преимущества по сравнению с ним. Например, определение 1′
содержит в себе, как частный случай, понятие предела функции по
множеству рациональных чисел Q, а потому оно даёт возможность
строго сформулировать, чт´о означает непрерывное продолжение показательной функции ar с множества Q рациональных чисел r на
множество всех действительных чисел R.
Однако предел последовательности не является частным случаем
предела функции в смысле определения 1′, если последовательность
рассматривать как функцию натурального аргумента (номера члена
последовательности), так как номера членов стремятся не к конечной
точке числовой прямой, а к бесконечно удалённой. Поэтому естественно дать определение предела функции, содержащее как случай, когда
аргумент стремится к конечному пределу, так и случай, когда он
стремится к бесконечности. Это будет сделано ниже.

2.4. Второе определение предела функции.
Существует более
простое (а вместе с тем и более общее в том смысле, что определения 1
и 1′ являются его частными случаями) определение функции, которое
лишено всех перечисленных выше недостатков определений 1 и 1′.
Чтобы охватить случай предела последовательности, откажемся от
предположения, что x0 обязательно является точкой числовой оси.
Действительно, последовательность чисел a1, a2, ... , an, ... является
функцией, определённой на множестве натуральных чисел n = 1, 2, ... :
её аргументом является номер n члена последовательности, а соответствующим значением функции — сам этот член an. Номера членов
последовательности неограниченно растут и поэтому не приближаются
ни к какому действительному числу.
Дополним числовую ось двумя новыми элементами, которые обозначим +∞ и −∞ (читается: минус бесконечность и плюс бесконечность), и будем считать по определению, что −∞ меньше любого
действительного числа x, а +∞ — больше него:

−∞ < x < +∞.

Элементы −∞ и +∞ будем называть бесконечно удалёнными точками числовой оси. Введём понятие их ε-окрестностей.
Для любого числа ε > 0 ε-окрестностью элемента +∞ называется множество всех действительных чисел x > 1/ε, дополненное
бесконечно удалённой точкой +∞, а ε-окрестностью элемента −∞ —
множество всех чисел x < −1/ε, дополненное бесконечно удалённой
точкой −∞.
Эти окрестности будем обозначать соответственно U(+∞; ε) и
U(−∞; ε).

Содержание

В неравенствах, определяющих окрестности бесконечно удалённых
точек, пишется не ε, а 1/ε для того, чтобы всегда, как и в случае
ε-окрестностей конечных точек x0 числовой оси, с уменьшением числа
ε «уменьшалась» и ε-окрестность точки в следующем смысле: если
0 < ε2 < ε1, то
U(x0; ε2) ⊂ U(x0; ε1),
U(+∞; ε2) ⊂ U(+∞; ε1),
U(−∞; ε2) ⊂ U(−∞; ε1).

Конечная или бесконечно удалённая точка числовой оси называется
точкой прикосновения множества X ⊂ R, если в любой окрестности
этой точки содержатся точки множества X.
Например, если X = (a, b), a ∈ R, b ∈ R, — интервал числовой
оси, то все точки отрезка [a, b] являются точками прикосновения этого
интервала. Как видно из этого примера, точки прикосновения множества могут как принадлежать ему (в данном примере все точки
интервала (a, b)), так и не принадлежать (концы a и b интервала).
Сформулируем теперь новое определение предела функции. Пусть
x0 и a — две точки, каждая из которых является либо точкой числовой
оси, либо её бесконечно удалённой точкой +∞ или −∞; множество X
является подмножеством числовой оси и x0 — его точка прикосновения. Пусть функция f(x) задана на множестве X (иногда бывает более
естественно называть функцию отображением множества X).
О п р е д е л е н и е 3. Точка a называется пределом функции f(x)
в точке x0 (или, что то же самое, при x → x0), если для любой
ε-окрестности U(a; ε) точки a существует такая δ-окрестность U(x0; δ)
точки x0, что
f(X ∩ U(x0; δ)) ⊂ U(a; ε).
(10)

Из сравнения включений (10) и (9) видно, что при новом определении
рассматривается не образ пересечения множества X с проколотой
окрестностью
◦
U(x0; δ) точки x0, а образ пересечения этого множества
с целой окрестностью U(x0; δ) точки x0, т. е. не требуется условия x ̸=
̸= x0.
Само собой разумеется, что определения 1 и 3 отличаются ещё и
тем, что в определении 3 любая из точек x0 и a может быть бесконечно
удалённой.
Для нового понятия предела сохраняется прежнее обозначение:

lim
x→x0 f(x) = a.
(11)

Если a — конечная точка числовой оси, т. е. действительное число,
то предел (11) называется конечным, в противном случае — бесконечным.
Следует заметить, что требование о том, что точка x0 является
точкой прикосновения (конечной или бесконечно удалённой) множества X, на котором задана функция, естественно. Действительно,