Текстовые фрагменты публикации
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Махова Н.Б., Мацур Ф.К.
Неопределенные и определенные интегралы
Альтаир-МГАВТ
Москва
2010
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Махова Н.Б., Мацур Ф.К.
Неопределенные и определенные интегралы
Методические рекомендации
Альтаир-МГАВТ
Москва
2010
Махова Наталья Борисовна
Мацур Франческа Казимировна
Неопределенные и определенные интегралы
Методические рекомендации
Подписано к печати 2010 г.
Формат: 60 х 90/16. Объем п. л.
Заказ №
Тираж ______ экз.
Альтаир – МГАВТ
Московской государственной академии водного транспорта
117105 г. Москва, Новоданиловская наб., д.2, корп. 1
Махова Н.Б., Мацур Ф.К. Дифференциальные исчисления функции
одной переменной. Методические рекомендации.– Альтаир-МГАВТ, 2010 г.
– 52 с.
Методические рекомендации содержат теоретические сведения по теме
дифференциальное исчисление функции одной переменной по курсу «Высшая
математика». В работе детально разобраны типовые задачи, приведено большое
количество вариантов заданий для самостоятельного решения.
Данные методические рекомендации могут быть использованы при под-
готовке студентов к интернет-тестированию.
Для студентов I курса очного и заочного обучения технических специ-
альностей.
Рецензент – кандидат физико-математических наук, профессор кафедры
Высшей математики Киселев Д.М.
Рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры Высшей
математики (протокол №10 от 10 июня 2010 г.)
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать
материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебно-
методические материалы.
МГАВТ, 2010
Махова Н.Б., 2010
Мацур Ф.К.
Оглавление
§1.Задачи, приводящие к понятию производной
4
§2.Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
5
§3.Производные некоторых функций
8
§4.Основные правила дифференцирования
10
§5.Производная сложной функции
12
§6.Основные формулы дифференцирования
13
§7.Производные высших порядков
15
§8.Производная неявно заданной функции и функции, заданной парамет-
рическими уравнениями
17
§9.Понятие дифференциала, его геометрический и механический смысл
18
§10.Свойства дифференциала
20
§11.Дифференциалы высших порядков
22
§12.Правило Лопиталя-Бернулли
22
Вариант выполнения контрольной работы
26
Варианты контрольных работ №1 - №20
30
Список литературы
50
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Производная – одно из важнейших понятий современной математики. С помощью производной можно
характеризовать скорость изменение функции, скорость протекания некоторого процесса, явления. С введением
производной появилась возможность решать задачи, не доступные методам элементарной математики.
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной
К понятию производной приводят многие задачи геометрии, физики, химии и других
наук. Рассмотрим некоторые из них.
Задача о касательной. Касательной к линии l в точке
0
M
называется предельное положение
T
M 0
(рис. 1) секущей
M
M 0
, когда точка M (произвольным образом) стремится к
0
M
вдоль данной
линии (т. е. угол γ стремится к нулю).
Задача о касательной состоит в следующем: написать уравнение касательной к линии
x
f
y
в точке
0
0
0
, y
x
M
.
Введем декартову прямоугольную систему координат Oxy, рассмотрим график функции
x
f
y
. Пусть
0
0
0
, y
x
M
– фиксированная точка этого графика и
y
x
M
,
– любая другая его
точка, где
x
x
x
0
,
x
x
f
y
y
y
0
. Из треугольника
MN
M 0
находим
,
0
x
y
N
M
MN
tg
где φ – угол, образуемый секущей
M
M 0
с осью Ox.
Рис. 1.
Пусть
0
M
M
вдоль графика
x
f
y
,
T
M 0
– касательная к нему в точке
0
M , α – угол
наклона касательной к оси Ox, тогда
0
x
,
tg
tg
, следовательно,
x
x
f
x
x
f
x
y
tg
x
x
0
0
0
0
lim
lim
.
(1)
Таким образом, задача о касательной приводит к необходимости рассмотрения предела от-
ношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Задача о скорости неравномерного прямолинейного движения. Рассмотрим не-
равномерное прямолинейное движение точки M, осуществляемое по закону
t
f
x
, где
OM
x
– длина дуги, t
f
– заданная функция времени t.
Пусть при
0t
t
движущаяся точка совпадает с точкой
0
0
0
, y
x
M
, где
0
0
t
f
x
и в
момент времени t находится в точке M. Приращение пути
x
за промежуток времени
0t
t
t
выразится формулой
0
0
t
f
t
t
f
x
.
Средней скоростью
ср
V
движения за промежуток времени t
называется частное
.
0
0
ср
t
t
f
t
t
f
t
x
V
(2)
Скоростью движения в момент 0t
называется предел отношения (2), когда
0
t
, т. е.
t
t
f
t
t
f
t
x
V
t
t
0
0
0
0
lim
lim
.
(3)
Данная задача также сводится к нахождению аналогичного предела.
Задача о скорости химической реакции. Обозначим через Q количества вещества, вступив-
шего в химическую реакцию к моменту времени t, очевидно,
t
Q
Q
.За промежуток времени
t
это количество увеличится на Q
.
Средней скоростью химической реакции за указанный промежуток времени
t
называется
отношение
t
t
Q
t
t
Q
t
Q
V
ср
,
а скорость реакции в момент времени t – предел указанного отношения при
0
t
:
t
t
Q
t
t
Q
t
Q
V
t
t
0
0
0
0
lim
lim
.
(4)
Итак, три различные задачи привели к необходимости рассмотрения предела отношения при-
ращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Такой предел назы-
вается производной данной функции в данной точке.
§ 2. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
Рассмотрим функцию
x
f
y
, заданную в интервале
b
a,
. Пусть
b
a
x
,
0
и
b
a
x
,
,
тогда приращение функции в точке x0 выразится формулой
0
0
x
f
x
x
f
y
.
Производной функции
x
f
y
в точке
0x
называется предел отношения приращения этой
функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Производную функции
x
f
y
в точке
0x
обозначают символом
0
/ x
f
(читается: эф
штрих от
0x ) или
0
/ x
y
. Следовательно, по определению
x
x
f
x
x
f
x
f
x
0
0
0
0
lim
(5)
или
x
y
x
y
x
0
0
/
lim
.
(6)
Из формул (1) и (5) следует, что
.
0
/
tg
x
f
(7)
Формула (7) выражает геометрический смысл производной: производная от данной функции
в данной точке равна тангенсу угла между осью Ох и касательной к графику этой функции в соответ-
ствующей точке (см. рис. 1).
Уравнение касательной к линии
x
f
y
в точке
0
0
0
, y
x
M
принимает вид
.
0
0
/
0
x
x
x
f
y
y
(8)
Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же
точке. Если
0
0
/
x
f
, то уравнение нормали к линии
x
f
y
в точке
0
0
0
, y
x
M
записывается так:
0
0
/
0
1
x
x
x
f
y
y
.
(9)
Из формул (3) и (6) следует, что
V
t
x
0
/
.
(10)
Формула (10) выражает физический смысл производной: производная от пути по времени равна ско-
рости прямолинейного движения точки.
Если в формуле (5) от точки
0x
перейти к другой точке х, то получим другой предел, поэтому
x
f /
–некоторая функция аргумента x:
x
x
f
x
x
f
x
f
x
0
/
lim
.
(11)
Разумеется, не для всякой функции и не для любой точки x предел в правой части форму-
лы(11) существует. Например, для функции
x
y
в точке
0
x
указанный предел не существует,
поскольку
,1
x
y
при
0
x
и
,1
x
y
при
0
x
.
Замечание. Употребляются и другие символы для обозначения производной функции
x
f
y
или
t
f
x
:
x
y
dx
dy
x
0
lim
,
t
x
x
t
0
lim
.
Если отношение
x
y
при
0x
x
имеет предел справа или слева, то он называется
производной справа соответственно производной слева. Такие пределы называются одно-
сторонними производными.
Односторонние производные функции
x
f
в точке
0x
обозначаются соответственно симво-
лами
0
/ x
f
,
0
/ x
f
:
x
x
f
x
x
f
x
f
x
0
0
0
0
/
lim
- производная слева;
x
x
f
x
x
f
x
f
x
0
0
0
0
/
lim
- производная справа.
Функция
x
f
, определенная в некоторой окрестности в точки
0x , имеет производную
0
/ x
f
тогда и только тогда, когда односторонние производные
0
/ x
f
,
0
/ x
f
существуют и рав-
ны между собой, причем
0
/
0
/
0
/
x
f
x
f
x
f
.
Если для некоторого значения x выполняется одно из условий
,
lim
0
x
y
x
x
y
x
0
lim
,
то говорят, что в точке х существует бесконечная производная, равная соответственно
,
.
Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графи-
ку распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу (рис. 2, а, б).
Аналогично устанавливается понятие об односторонней бесконечной производной, На рис. 2,
в, г изображены графики функций, имеющие острие, направленное вниз или вверх; односторонние
бесконечные производные различны по знаку, но существует единственная вертикальная касательная.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать наличие ко-
нечной производной, если не оговорено противное.
Рис. 2.
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка
b
a,
, называется дифферен-
цируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются в ви-
ду односторонние производные.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции выражается следую-
щей теоремой.
ТЕОРЕМА:
Если функция
x
f
y
дифференцируема в данной точке, то она и непрерыв-
на в ней.
Доказательство. Пусть функция
x
f
y
дифференцируема в точке х, т. е. существует предел
x
у
x
f
x
0
/
lim
.
Так как
,х
х
у
у
то
,0
lim
0
0
lim
lim
lim
0
/
0
0
0
y
x
f
x
x
y
y
x
x
x
x
что и требовалось доказать.
Замечание. Обратное утверждение не всегда верно. Например, функция
1
x
y
непрерывна в
точке
1
x
, но не является дифференцируемой в ней.
§ 3. Производные некоторых функций
Из определения производной следует схема ее нахождения:
1) фиксируется значение х аргумента функции;
2) в точке х аргументу придается приращение х
;
3) вычисляется приращение y
, соответствующее приращению х
;
4) составляется отношение приращения функции к приращению аргумента;
5) находится предел указанного отношения, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных.
П р и м е р 1. Найти производную функции
c
y
, где
const
c
.
Данная функция является постоянной, поэтому
c
y
y
,
0
y
Δy=0,
,0
х
у
,0
lim
0
x
y
x
0
/
c
.
(12)
т. е. производная постоянной равна нулю.
П р и м е р 2. Найти производную функции
x
y
sin
.
Фиксируем некоторое значение х аргумента функции, придадим ему приращение х
, найдем
выражение для соответствующего приращения функции:
.
2
cos
2
sin
2
sin
sin
x
x
x
x
x
x
y
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
2
cos
2
2
sin
2
cos
2
sin
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Переходим к пределу, принимая во внимание непрерывность функции
x
x
f
cos
:
,
cos
cos
1
lim
0
x
x
x
y
x
т. е.
x
x
cos
sin
/
.
(13)
П р и м е р 3. Найти производную функции
n
x
y
, где n– действительное число.
Область определения степенной функции
n
x
y
зависит от n.
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
у
n
n
n
n
1
1
1
и перейдем к пределу при
0
x
:
1
1
0
1
0
1
1
lim
lim
n
n
n
x
n
x
nx
n
x
x
x
x
x
x
x
y
.
При вычислении, были рассмотрены следующие пределы:
e
x
x
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
log
1
lim
log
1
log
lim
1
log
lim
1
0
1
0
0
e
x
x
a
a
x
log
1
log
lim
0
(14)
