Дифференциальное исчисление


О

вл. логинов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ВЛ. логинов


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ

Москва 2007

Москва 2007

Содержание

УДК 514
ББК 22.143

Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом совете МГАВТ Рецензент доцент Бакулин С.А,

  Логинов В.А. Дифференциальное исчисление. - М. Альтаир, 2007. - 154с.

  Курс лекций по дифференциальному исчислению подготовлен доцентом кафедры высшей математики Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. Логиновым.
  Курс лекций предназначен для студентов МГАВТ и полностью соответствует учебным программам по дисциплине «Математика» для технических и экономических специальностей.
  Изложены теория пределов последовательностей и функций, основы дифференциального исчисления функции одной переменной, приложения производной к исследованию функций и построению их графиков. Даны основы дифференциального исчисления функций многих переменных.

УДК 514
ЕБК 22.143

© Логинов В.А., 2007.

© МГАВТ, 2007.

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................6
1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ...........................    7
1.1. Основные элементарные функции.................7
1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел......7
1.1.2. Основные операции над множествами...........8
1.1.3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу..........................................8
1.1.4. Понятие о функции.......................    9
1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
    бесконечно большие последовательности. Основные теоремы о пределах...........................  20
1.2.1. Предел последовательности..................20
1.2.2. Ограниченные и неограниченные последовательности................................24
1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.............................;.,26
1.2.4. Теоремы о бесконечно малых последовательностях....28
1.2.5. Основные теоремы о пределах................31
1.2.6. Монотонные последовательности..............36
1.2.7. Прнятие о подпоследовательности числовой последовательности................................41
1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. Критерий Коши.................42
1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции....44
1.3.1. Определение предела функции................44
1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела функции)........................................  47
1.3.3. Непрерывность функции в точке..............47
1.3.4. Односторонние пределы......................50
1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке......52
1.3.6. Два замечательных предела..................54
1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их применение для вычисления пределов.................59
1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.....................60

з

1.3.9. ?азрывы первого и второго рода........... 63
1.3.10, Функции, непрерывные нк отрезке..........65
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ................................66
2.1. Производная. Ее физический и геометрический смысл..66
2.2. Ос новные правила и формулы дифференцирования...70
2.3. Дг фференциал функции.......................73
2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически..................75
2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функции ..79
2.6 Производные высшего порядка. Формула Лейбница....79
2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности точки. Локальный экстремум..............................84
2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем.86
2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ингервале.Теорема о производной функции, во: растающей на отрезке.........................88
2.10. Формула Тейлора..........................  90
2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя..95
2.12. Реследование функции одной переменной......99
2.12.1. Отыскание участков монотонности функции......99
2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума........100
2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба..104
2.12.4. Асимптоты графика функции ...................108
2.12.5. Общая схема исследован и а функции и и построения ее графика....................................111
2.13. Наибольшее и наименьшее значения функции, нс прерывной на отрезке.........................115
3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ................116
3.1. Примеры функций нескольких переменных......116
3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных.............116
3.3. Гес метрическое изображение функции двух переменных......................................117
3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных ...118
3.5. Частные приращения и частные производные........120

3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений........................................123
3.7. Сложная функция и ее полная производная.....126
3.8. Производная неявно заданной функции.........129
3.9. Частные производные высших порядков.........131
3.10. Производная по направлению.................133
3.11. Градиент...................................138
3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных.141
3.13. Экстремум функции двух переменных..........145
3.14. Условный экстремум функции многих переменных... 148

5

4

ПРЕДИСЛОВИЕ


     Настоящий курс лекций соответствует утвержденным рабочим программам по дисциплине «Математика» для студентов МГАВТ инженерных и экономических специальностей.
     В лекциях отражены разделы высшей математики, изу-чаемь е студентами во II семестре: теория пределов последовательностей и функций, основы дифференциального исчисления функции одной переменной, приложения производной к исследованию функций и посроению их графиков, основы дифференциального исчисления функций многих переменных.
     В качестве задачника для практических занятий автор рекомендует «Задачи и упражнения по математическому анализу х ля в тузов» под редакцией Б.П. Демидовича, а также задании с П.Е. Данко, А.Г. Попова и Т.Я, Кожевниковой «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть I.

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

  1.1. Основные элементарные функции

  1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
  В математике множество относится к так называемым первичным, неопределяемым понятиям (в школьной математике такими первичными понятиями являются понятия числа, точки, прямой и т.д.). Под множеством понимается собрание или совокупность каких-либо предметов. Примеры: множество деревьев на поляне; множество всех целых чисел. Обозначаются множества обычно большими латинскими буквами; А, В, С/и т.д. Если х - один из предметов множества Л, то записывают так: хе А (х принадлежит А). Если какой-то элемент не принадлежит множеству А, то пишут так: у е А или у € А.
  В дальнейшем мы будем иметь дело с различными множествами действительных чисел. Наиболее часто используются следующие числовые множества, задаваемые с помощью неравенств:

  ]. а<х<Ь (а < Ь) - это отрезок [а, б]; а и b - граничные точки отрезка; любое число а<х<Ь - это внутренняя точка отрезка;
  2. а<х<Ь, (а,Ь) - интервал;
    а<х<Ь, [а,М]
  3. , >- полуинтервалы;
    a<x<b, {a, J
  4. Любой интервал, содержащий точку С, называют ее окрестностью;
  5. Интервал (С-е, С + е), гдед>0 называется в-окрестностью точки С;
  6. Множество всех вещественных чисел будем называть бесконечной числовой прямой, обозначение: ('-сс. ооД


&

7

7.

8.

полупрямые;

       ?   ' J- открытые полупрямые.
.:<b, (-»,o)J

логичное замечание можно сделать относительно нижней грани.
   Естественно, возникают вопросы: имеется ли среди верхних граней множества наименьшая? Или имеется ли среди нижних граней наибольшая?

  1.1.2. Основные операции над множествами
   1. Объединением множеств Л и В называется множество А и В = {х| х е А или х € В .
   2. Пересечением множеств /. и В называется множество А п В = {х| х & А и х € В}.
   3. Разностью множеств А и В называется множество А \В - (х| х е А и х й в].
   Запись А с В (А содержится ъВ) означает, что каждый элемент множества Л является элементом множества В.
   Множества А и В называются равными, если А с. В и В с А (состоят из одних и тех же элементов).


   1.1.1. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу
   Рассмотрим произвольное множество {х} вещественных чисел, содержащее хотя бы одно число. Отдельные числа этого множества будем называть его элементами.


  Определение.
   Множество вещественных чисел {х} называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число т), что каждый элемент х множества {х} удовлегворяет неравенству х < М (х> т).
   При этом число М (число т) называется верхней гранью (нижней гранью) множества {х}. Любое ограниченное сверху множество {х} имеет бесконечно много верхних граней. Любое М" > М, так же, как и М, является верхней гранью. Ана
  Определение.
   Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества {х} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом х = 5«р{х} - супремум. Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества {х} называется точной нижней гранью этого множества и обозначается х = inf {х}~ инфинум.
   Это определение можно сформулировать по другому.
   Число х( число х) называется точной верхней (точной нижней) гранью множества {х}, если выполнены следующие два требования:
   1) Каждый элемент множества {х} удовлетворяет неравенству х<х(х>х).
   2) Каково бы ни было вещественное число х', меньшее х ( большее х), найдется хотя бы один элемент х множества {х}, удовлетворяющий неравенству х>х' (х < х').


  Теорема.
   Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число х (число х), являющееся точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.
  Формулировка этой теоремы дается без доказательства.


  1.1.4. Понятие о функции
  Если каждому значению переменной х, принадлежащей некоторой области, соответствует одно определенное значе

9

8

ние другой переменной у, то у есть функция от х. Символьная зап ист: y-f(x), у~у(х).
  f( х) - правило, по которому вычисляется у.
  х- независимая переменная или аргумент.


   Определение.
   Со юкупность значений х, для которых определяются значения у в силу правила f(x), называется областью определения (С’ДЗ аргумента функции). Сбозначается D(x).
   D()- множество значений, которые принимает функция y-f(x).
   Фу ткцию можно задать:
  1) таблицей:
^П-'Ч Х₂ ... хп

    УЪ/ lz?


   Существуют, например, таблицы тригонометрических, логарифмических, показательных функций и т.д.


   2) графически:


  3) шалитически (формулой):
     у - х¹ - 2:
     у = 2х - ух.
   Теперь я напомню вам про основные элементарные функции, которые изучались в школьном курсе математики.

  1. Степенная функция у = ха, а - действительное число;
  2.  Показательная функция у - а¹ (а>О,а* 1);
  3.  Логарифмическая функция у - logₐx (а>0,а* 1):
  4.  Тригонометрические функции
     у = sinx, у = cosx, у = Igx, у = ctgx;
  5. Обратные тригонометрические функции
     у = arcsinx, у = агссозх, у = arctgx, у = arcctgx.
  Рассмотрим области определения и графики этих функций.


  Степенная функция у = х".
  1. а - целое положительное число.
    Область определения: - со < х < °о.







   при |х| < / график более пологий, У при |х| > 1 -более крутой, чем парабола.,

11

10

2. a-целое отрицательное число Область определения: х*0.

б) Если q - четное, то область определения: 0 < х < <ю.

2. Если а - —, где pwq- нат/ральные числа,то:
           Я
а) Ес ли q — нечетное, то область определения: -<х> < х <<х>.

  Пример:

3. Если а = где pnq- натуральные числа, то: Я

а) Если q - нечетное, то область определения: х 0.

  Примеры:

13

б) Если q - четное, то область определения: х>0.

Пример:

Показательная функция у = а\ Напомню, что а>0, а * 1.

Область определения: - оо < х < <».

4. Езди а - положительное иррациональное число, то область определения 0 < х < со,

Логарифмическая функция У - log^x. Здесь такжеа>О,а* 1.
 Область определения х>0.

Примеры:

6, Если а- отрицательное иррациональное число, то облает! определения х>0.

                                       Тригонометрические функции
                                     Аргумент х в тригонометрических функциях y~sinx, y=cosx и т.д. выражается в радианах. Углу в 360° соответствует 2я радиан. Все тригонометрические 15

14

График имеет вид:

функьии - периодические. Дадим общее определение периодической функции.


   On эеделение.
   Функция у- f(х) называете.! периодической, если суще⁻ствует такое постоянное число Т, от прибавления (вычитания) которого к аргументу х значение функции не меняется: f(x + T)~ f(x). Наименьшее та сое число называется периодом функции. Напомню, что период функцийy=sinx ny-cosx Т ~2я:а для функций y~tgx и y~ctgx Т = ;г.

   Функция y=sinx определена при всех х. Ее график имеет вид:

   Функция y=ctgx определена при всех х, за исключением х = як.

  Г рафик имеет вид:

   Функция y=cosx также определена при всех х, а график ее изображен ниже:

Обратные тригонометрические функции
Функция y-arcsinx', область определения: -1 < х < 1. График имеет вид:

   Функция y=tgx определена при всех х, кроме точек x = — + xk,keZ. Z- множество всех целых чисел.

17

и

График имеет вид:

Знгчепия функции заполняют отрезок - — < у < —
¹       2 ' 2


Функцияy=at'ccosx-, область определения: - / < х < 1. График имеет вид:

Зна <ения функции находятся на отрезке 0 < у < п.

Фур кция y=arctgx\ область определения: - да < х < да, Гра )>ик имеет вид:

   Значения функции находятся в интервале 0 <у<л.

   Мы с вами рассмотрели основные элементарные функции. Все эти функции вы изучали в школе.
   Кроме основных элементарных функций в математике имеется понятие об элементарных функциях. Прежде, чем мы с ним познакомимся, введем вначале понятие сложной функции.
   Если у является функцией от и, у = F(и), а и в свою очередь зависит от переменной х, и = <р(х), то у также зависит от х. Эта зависимость записывается так: у — F\<p(х^]; у является сложной функцией от х,


  Пример:
  y-sinu,u-x²,y~ sin(х²) - сложная функция.
  Операция “функция от функции" может производиться не один, а любое число раз. Например, функция у = Zrt[s/nf х² + / j] получена в результате следующих операций: v = x; + 1,и = sinv, у = 1пи.
  Теперь дадим определение элементарной функции.


Значения функции заполняют интервал < у < --Функция y=arcctgx определена при всех х.

   Определение.
   Элементарной функцией называется функция, которая составлена из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. На основании этого

19

определения ясно, что элементарные функции задаются аналитически.


   Пример элементарной функции: 1g х + 4Цх + 2tgx
  ? ’   10х -х +2


  1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
     Основные теоремы о пределах

  1.2.1. Предел последовательности


   Он/ ^деление.
   Если каждому числу п натургльного ряда чисел 1,2, ..., п, ... ставится в соответствие по переделенному закону некоторое действительное число хп, то множество занумерованных чисел X], х₂, ..., х„. ... будем называть последовательностью. Числа назыЕДЮтся членами или элементами последовательности.
   Примеры вам хорошо известны:
  1)  c,ₙ=aₜ+d( п~ 1)- арифметическая последовательность;
   2)   п„-^г ч"~'~ геометрическая последовательность. Примеры других последовательностей:

1                       
Хп =                    
п             <22.-     
     2п       2 3       
х„ ~--------> 2 2 £     
" Зп + 4      7* 5'13’"'

   Обычно последовательности обозначают символом { {х {<3„} И Т.Д.
   Пог ятие предела последовательности связано с поведением последовательности при п -> оо.

  Определение.
  Число А называется пределом последовательности {хл), если для любого £ > 0 найдется такой номер N = N(c), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство |х - А\ < £.
  При этом записывают: Нт х = А или х -> А при п -> оо. п->оо
  Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, в противном случае ее называют расходящейся.
  Отметим следующие два обстоятельства:
  1) Неравенство jx„ - А\ < е означает, что А-е <хп < А + е. Таким образом, если последовательность сходится, то при любом £>0 начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся внутри s -окрестности тонкий;
  2) Номер, начиная с которого все члены попадают в £ - окрестность точки А, зависит от выбранного значения £: N = N(e).

  Примеры: 14 d                                     , ¹ ¹
  1) Рассмотрим последовательность < — к т.е. [nJ 2 3
  Покажем, что число 0 является пределом этой последовательности, т.е. что Нт---0. В соответствии с определени-ем предела это означает, что для любого £ > 0 необходимо найти П = П(е), так чтобы при n>N 1 1 — < £ ИЛИ П > —. п            £                      .
     Пусть е = 0,01. Тогда - = 100 и при п > 100 все члены, £ начиная с 101-го будут меньше, чем 0,01. Почему? Потому что при п =101

— О <е, т.е. п

21

20

х,п =----< 0,01, при п = 102 х,., ----< х.„, < 0,01. и т.д.
 '° 101          ¹            '°' 102    ¹⁰¹
Действительно, все члены, начиная со 101, оказываются меньше, чем 0,01. Как это выглядит геометрически?

Ит— = 0.
П—НО
В приведенном примере все члены нашей последовательности оказываются больше, чем предел и стремятся к нему при п —>оо, приближаясь справа. Но это совсем не обязательно.

                             ■<101
                              I х........._—.— -------J---------_
           а                     0,01      X

2) Пусть хп = х—L.ₜ т е. имеем последовательность

В интервал (0; 0,01) попадает бесконечное число членов последовательности, причем ни один из них из этого интервала не выходит.

Пусть с = 0,001. Тогда - -- 1000 и картина будет такая: £

При этом Нтх - 0 также. Но как ведут себя члены после-довательности?

                                      *1001

                                      ______J_________—
                                          0,001 х

Л----------1--LJ______L
X,       A'j 0 -*< Х₂

X

Начиная с номера 1001, все члены последовательности попадают в интервал (0; 0,001)

А если £ произвольно? Тогда поступим так: поскольку £

может

оказаться числом не целым, то положим

’У’

1

N(s) =

/I , г/                   / - «
- •+■ 1, где — - целая часть — ( дробная часть от


£

Е

£

брошена). Тогда при п > N(e) все члены последовательности находятся в интервале (0; е).


Таким образом, мы показали, что, выбирая N(e)~ — + / , Е

пол/чаем, что для всех n>N(e) ^-0 <Е, т.е. число 0 яв

ляе 'ся пределом нашей последовательности и мы можем записать:


Члены последовательности “сгущаются” около 0, оказыва


ясь попеременно то справа, то слева от предельного значения. Но если взять любую е - окрестность точки 0 (а


именно это утверждается в определении предела), то для


все члены последовательности оказываются в


этой е - окрестности нуля.


3)  Приведу примеры расходящихся последовательностей: а)х„=и;              1,2,....
Ни к какому конечному числу эта последовательность не стремится.
б) х,=1+ (-])’';          О, 2,0, 2,0, 2, ....

         ______I______________I_________
О              2 х


23