Поглощаемость, неблуждаемость и рекуррентность множества достижимости управляемой системы


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.911/517.93


° Е.А. Панасенко, Л. И. Родина, Е. Л. Тонков

ПОГЛОЩАЕМОСТЬ, НЕБЛУЖДАЕМОСТЬ
И РЕКУРРЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ¹

Исследуются условия, при которых множество достижимости управляемой системы поглощается заданным множеством, обладает свойством неблуждаемости, рекуррентности или эргодичности.

Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, достижимость, инвариантность, неблуждаемость, рекуррентность, эргодичность.





                Введение





Пусть (У, ht)— фиксированная топологическая динамическая система² с компостным фазовым пространством У, f (a,x,u)— непрерывная функция переменных (a, x,u) Е У х Rⁿ х Rт, удовлетворяющая локальному условию Липшица, по переменной x равномерно относительно (a, и) на множестве У х U, где U— заданное компактное множество в Rт.
   Рассмотрим управляемую систему


X =

                        f f (h
                        Ju


a, x, и)pₜ(du),

(o.i)

где pt— допустимое управление³ и отвечающее системе (0.1) дифференциальное включение


                  X Е F(hta,x), F(a,x) = co f (a,x,U).              (0.2)


Здесь co A — замыкание выпуклой оболочки множества A.


   ¹Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 07-01-00305 и 06-01-00258).

   ² То есть ht — однопараметрическая группа преобразований фазового пространства У в себя, непрерывная по (t,a) (см. [1, 2]).

   ³ Функция t ^ nt называется допустимым управлением, если при каждом t гц вероятностная мера Радона с носителем в U и для любой непрерывной функции a (и), функция t ^ a a(и)nt(du) измерима по Лебегу (см. [3, 4] и библиографию в [4]).
              Ju