УСТОЙЧИВОСТЬ И ВЫПУКЛОСТЬ: ОТ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ДО РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.96


© В. М. Гилязев, М. М. Кипнис

УСТОЙЧИВОСТЬ И ВЫПУКЛОСТЬ:
ОТ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ДО РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Показано, что выпуклость последовательности коэффициентов способствует устойчивости разностных уравнений и дифференциальных уравнений с запаздываниями.

Ключевые слова: выпуклость, разностное уравнение, устойчивость.


Известен следующий результат [1, theorem 1.2.20].

   Теорема 1. Если а(т) дважды дифференцируемо,, монотонно убывает, Ж
выпукла на [0; ж), интеграл f а(т) (dr сходит,ся а а(т) Д 0, то нулевое о
решение интегро-дифференциального уравнения


                  dx
                  dt +


I   а (т) x (t
о

t > 0

— т) dт = 0,

(1)

асимптотически устойчиво.

   Положим Aaₘ = aₘ₊i—aₘ, A²aₘ = aₘ—2aₘ₊i+aₘ₊₂ ■ Последовательность (aₘ) m ₌i назовем вы пуклой, если A² aₘ > 0 при 1 6 m 6 k — 2 и aₖ-1 > 2aₖ > 0.

  Теорема 2. Если A² a о > 0, A² aₘ > 0 при 1 6 m 6 k — 2 и ak- 1 > 2aₖ > 0, то уравнение


dx a о ...                           ,,         .     „     , _ „
dt + “2“ x (t) + / , amx (t — тт) = 0, t > 0


(2)

асммптотически тстойчиво при тюбом т > 0 .

   Теорема 2 улучшает результат работы [2], в которой при тех же услови-k
ях утверждалась устойчивость уравнения dx+a₀ x (t)+ P aₘx (t—тт) = 0 . m=i