О СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.977.1 + 517.926

© А. Ф. Габдрахимов




                О СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ
                СВЯЗЬЮ




Получены достаточные условия стабилизации линейных стационарных управляемых систем с неполной обратной связью в классе кусочно-постоянных управлений для n 6 3.
Ключевые слова: управляемая система, стабилизация, обратная связь.

   Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему
                 её = Ax + Bu, x е Rⁿ, u e Rm.            (1)
   Допустим, что измерению доступны линейные комбинации фазового вектора
y = C*x, y е Rk.                   (2)
   Пусть управление строится по принципу неполной обратной связи в виде u = Uy. Соответствующая замкнутая система будет имеет вид
x = (A + BUC*)x, x е Rⁿ.               (3)
В системе (3) роль управления играет U. Исследуется следующая задача стабилизации. Дана тройка Aampuy A, B, C. При каких условиях существует иатрица U такая, что система (3) является асимптотически устойчивой? Данная задача в работе [1] названа проблемой Брокетта.
   Рассмотрим случай к = 1. Будем предполагать, что система (1) вполне управляема, и система (1), (2) вполне наблюдаема. Тогда (см., например, [2]) без ограничения общности можно считать, что m = 1 и матрицы A, B, C системы (3) имеют вид

   0      1         ■ ■ ■      0          0         c 1 
A= 0      0    ■■       ■        1 , B =  0   , C = cn-1
   ---a 1    ---a 2 ■ ■ ■  ---an         ---1         cn

Из условия полной наблюдаемости необходимо следует, что cₙ = 0. Полагаем без ограничения общности cₙ = 1.